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線性代數(shù)昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)系2009.122第二節(jié)
齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解的條件齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一.齊次線性方程組有非零解的條件m個(gè)方程的n元齊次線性方程組為簡記為(1)其中為系數(shù)矩陣,而方程組(1)的向量形式為其中為A的列向量組,齊次線性方程組(1)顯然有解這個(gè)解稱為零解,記作x=0。如果齊次方程組(1)有解齊次線性方程組總有零解,但不一定有非零解。即不全為0,這種解稱為非零解。定理1.n元齊次線性方程組有非零解設(shè)A為矩陣,則當(dāng)m=n時(shí),Ax=0有非零解件是其系數(shù)行列式等于零。換句話說,齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí),齊次線性方程組有非零解的充分必要條證明:推論.Ax=0只有零解設(shè)A為矩陣,則當(dāng)m=n時(shí):Ax=0只有零解證明:A為矩陣,只有R(A)=n及兩種可能。因此,由定理1即可知推論成立。
二.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理2.若是齊次方程組Ax=0的解,k是任意數(shù),則及也是Ax=0的解。證明:證畢。由定理2可知,若是Ax=0的解,則也是Ax=0的解,其中是任意常數(shù)。Ax=0的所有解組成的集合記做S,即數(shù)乘運(yùn)算封閉,故S為向量空間,稱為Ax=0的解空間,S稱為方程組Ax=0的解集。定理2說明S關(guān)于向量的加法及的秩R(S)就是S的維數(shù),S的最大無關(guān)組就是S的基。定義.齊次線性方程組Ax=0的所有解組成的解集S的最大線性無關(guān)組稱為方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。根據(jù)最大無關(guān)組的性質(zhì),為Ax=0的基礎(chǔ)解系的充要條件為滿足以下兩個(gè)條件:(1)是Ax=0的線性無關(guān)解向量組。(2)Ax=0的任何一個(gè)解都可由線性表示。定理3.礎(chǔ)解系所含的向量個(gè)數(shù)為n-R(A)(n為未知數(shù)的個(gè)數(shù))。設(shè)A為矩陣,則齊次方程組Ax=0的基證明:R(S)=n-R(A)即R(A)+R(S)=n(n為未知數(shù)個(gè)數(shù))。因?yàn)锳x=0的基礎(chǔ)解系就是Ax=0的解集S的最大無關(guān)組,其個(gè)數(shù)就是解集S的秩。因此,定理3可改述為,定理4.若Ax=0的基礎(chǔ)解系為的所有解(稱為通解)為,則Ax=0其中為任意常數(shù),r=R(A),n為未知數(shù)個(gè)數(shù)。證明:本節(jié)完證明:利用Ax=0的向量形式(2),即方程組(1)有非零解(2)存在不全為零的數(shù),使向量組線性相關(guān)。當(dāng)m=n時(shí),A為n階方陣,證畢。證明:向量個(gè)數(shù)為n-n=0。故結(jié)論成立。設(shè)R(A)=r,若r=n,根據(jù)定理1的推論,此時(shí)Ax=0只有零解,沒有基礎(chǔ)解系,也可以說基礎(chǔ)解系所含現(xiàn)設(shè)。則A的列向量組的秩不妨設(shè)的最大無關(guān)組為,于是可由線性表示,設(shè)為移項(xiàng)得(3)現(xiàn)考慮方程組Ax=0的向量形式(2):等式(3)說明方程組Ax=0(即(2))有以下n-r個(gè)解:容易證明線性無關(guān)。個(gè)解,則有設(shè)是Ax=0的任意一作的線性組合:根據(jù)定理2,這個(gè)線性組合也是Ax=0的解,故有(4)(5)(4)與(5)相減,得因?yàn)榫€性無關(guān),故有即于是即的Ax=0任一個(gè)解可由線性表示。以上證明了是Ax=0的基礎(chǔ)解系,它含有n-r個(gè)向量。證畢。證明:根據(jù)
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