計算方法課件

第五章

非線性方程的數(shù)值解法2/47本章內(nèi)容§5.1引言§5.2二分法§5.3迭代法§5.4牛頓—雷扶生法§5.5正割法§5.6迭代法的收斂階和Aitken加速方法（*）小結(jié)作業(yè)與實驗3/47本章要求1.理解方程有根的判別定理；2.掌握二分法基本原理，掌握二分法的算法流程;3.掌握理解單點迭代的基本思想，掌握迭代的收斂條件；4.掌握Newton迭代的建立及幾何意義，了解Newton迭代的收斂性；5.掌握Newton下上法，掌握正割法，了解拋物線法。4/47§5.1引言本節(jié)內(nèi)容一.非線性方程定義二.方程求根特點返回章節(jié)目錄5/47§5.1引言在科學(xué)研究中，常常會遇到非線性方程或非線性方程組的問題。例如解方程或一般的，我們記非線性方程為6/47§5.1引言一.非線性方程定義方程f(x)=0，當(dāng)f(x)是一次多項式時，稱f(x)=0為線性方程；否則稱之為非線性方程。7/47§5.1引言（1）求解f(x)=0，解x*稱為方程的根，即f(x)的零點。（2）f(x)為n次多項式就是n

次代數(shù)方程(n>=5，不能用解析式表示解)，f(x)為超越函數(shù)時，就是超越方程。（3）若f(x)=(x-x*)m

g(x)，g(x)0，m為正整數(shù)，則稱x*為f(x)=0的m重根，或為f(x)的m重零點。m=1時，稱x*為f(x)=0的單根。8/47

§5.1引言9/47

線性的（一次解）

單個方程多項式（n個解）代數(shù)方程非線性超越的（解的數(shù)目不定）線性（一組解）方程組非線性（多組解）

f(x)=0根或f(x)零點，當(dāng)f(x)復(fù)雜時，很難求實際應(yīng)用中只需求得滿足一定精度的近似根即可（找近似有效簡單方法）。§5.1引言10/47§5.1引言二.方程求根特點1.根的存在性方程有沒有根，有幾個根？定理1（代數(shù)基本定理）：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n次代數(shù)方程至少有一個根。

f

(x)=anxn+an-1xn-1+……+a1x+a0=0

其中：n—正整數(shù)，x—復(fù)變量，

a0—an為實、復(fù)常數(shù)。定理2：n次代數(shù)方程有n個根。11/47§5.1引言2.根的分布（有根區(qū)間）求根的隔離區(qū)間，定一個[a,b]，使[a,b]內(nèi)有且只有一個x*使f(x*)=0定理3：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且f(a)*f(b)<0，則在[a,b]內(nèi)f(x)=0有且僅有一個實根。通常有兩種做法來確定隔離區(qū)間：（1）作y=f(x)的草圖，看f(x)在x軸的交點位置來定區(qū)間[a,b]（2）逐步搜索，在連續(xù)區(qū)間[a,b]內(nèi)，選取適當(dāng)?shù)膞1，x2(a,b)，若f(x1)*f(x2)<0，則[x1,x2]內(nèi)有根。12/47例1：求xex-2=0的有根區(qū)間解：變形ex=2/x。則分別做f(x)=ex,g(x)=2/x的草圖,f(x)與g(x)的交點的橫坐標(biāo)即是根的大致位置[0.5，1]內(nèi)有唯一實根。1230123§5.1引言13/47例2：求f(x)=x3-3x2+4x-3=0的有根區(qū)間。解：三次多項式，作圖復(fù)雜

f’(x)=3x2-6x+4=3(x-1)2+1

在(-∞，+∞)內(nèi)f’(x)>0，即f(x)為一單調(diào)遞增函數(shù)。那么f(x)=0在（-∞，+∞）內(nèi)最多只有一個實根。又

f(0)=03-3*02+4*0-3=-3<0

f(1)=13-3*12+4*1-3=-1<0

f(2)=03-3*22+4*2-3=1>0

f(0)*f(2)<0，故在[0，2]內(nèi)有唯一實根?！?.1引言14/473.根的精確化已知根的近似值后，將其精確化，滿足精度要求。如例2中若取根x*=0.5*（0+2）=1，不精確但若將[0，2]進(jìn)一步縮小，則f（1.5）<0，故[1.5，2]內(nèi)有根，取x*=1/2（1.5+2）=1.75，這樣精度就提高了?！?.1引言15/47§5.2

二分法本節(jié)內(nèi)容一.原理二.過程三.方法四.二分法收斂性五.二分法優(yōu)缺點六.二分法的N－S圖返回章節(jié)目錄16/4疑7二分層法（Bi貫se返ct剝io俘n章Me兵th艦od）又譜叫對偵分法湖，是北一種方直接皆法，羊直觀紋、簡郊單。一.原理設(shè)f(x)=史0在[a,b]內(nèi)連杯續(xù)，焦嚴(yán)格計單調(diào)繩，且f(a)掀*f(b)<往0，則f(x)=茫0在[a,b]內(nèi)必有一根。二.過程將區(qū)煮間對雷分，咱判別f(x)的符羊號，秒逐步摧縮小遵有根滋區(qū)間紡。§5.2二分烤法17/4伯7§5.2二分詞法三.方法取xmi謠d=0眼.5盟*(a+b)若f(xmi娃d)夕<(預(yù)先享給定種的精敲度)，則xmi尤d即為根。否則煤，若f(a)*f(xmi牢d)<眉0，則駱取a1=a，b1=xmi淹d若f(a)*f(xmi什d)>暫0，則肚取a1=xmi者d，b1=b此時姐有根濟(jì)區(qū)間直縮小拳為[a1,b1]，區(qū)嫌間長愉度為b1-a1=0鉛.5胞*(b-a)再對[a1,b1]進(jìn)行惹上述糊過程貓，直到佳滿足。18/4忌7§5.2二分渡法abx1x2ab中止肢條件或不能在保證x的精水度x*2xx*19/4刪7§5.2二分匹法四.二分該法收紅斂性20/4驢7§5.2二分坡法四.二分移法收算斂性21/4幫7注：用二須分法豎求根盜，最手好先酷給出f(x)草圖屯以確醉定根軍的大鴨概位征置。燥或用彎搜索侵程序頁，將[a,b]分為洞若干講小區(qū)異間，望對每免一個旋滿足f(ak)支*f(bk)腐<痛0的區(qū)宰間調(diào)飯用二賠分法帳程序潛，可撓找出壟區(qū)間[a,b]內(nèi)的戀多個墊根，樂且不蝕必要昂求f(a)迎*f(b)潔<協(xié)0?！?.2二分售法22/4需7§5.2二分粥法23/4汽7§5.2二分肚法24/4凱7§5.2二分往法25/4瘋7§5.2二分村法例3：用二分尼法求f(x酬)=x6-x-1攪=0于[1堅,2窄]內(nèi)的舟一個惑實根額，且鉆要求每精確槳到小明數(shù)后潑第3位（糞即要緞求|x*-xk|<喉1/食2*酬10-3）。解：由ε=0杜.5霞*1填0-3，由k>[臺ln襯(b-a)-綱lnε]/架ln番2可確蟻定所微需分釣半次哲數(shù)k=1滴1。計亭算結(jié)監(jiān)果見普表5－1。即結(jié)鳥果是x11=1醋.1艱34朗27丙726/4鋤7§5.2二分降法五.二分殃法優(yōu)軍缺點優(yōu)點錘：計側(cè)算簡羽單，糞方法洪可靠涂，只溜要求f(x)連續(xù)嶺，在腎兩個儀點上占異號隱。缺點閉：不耳能求槽偶數(shù)讀重根,也不辯能求竟復(fù)根,收斂捧速度疾不算姐太快(與以1/叢2為比閑值的芒等比并級數(shù)發(fā)相同)。因此情，一沉般在粱求方寶程近根似根懷時，蔑不單億獨使撕用，投常用痕來為其籌它方穗法提超供好館的初袖值。對于遺方程萄求根沸，最度常用車方法倡是迭代鋼法。27/4抹7§5.2二分游法定義仗函數(shù)f(x)=…讀入聰數(shù)據(jù)a，b，ep越sx=(a+陽b)/2，k=1|x-a|<疤=ep侵sor刷|f(x)|挪<=ep笑s輸出x，f(x)f(x)*f(b)<哭0YNa=xb=xx=(a+b)/白2，k=k+1結(jié)束NY六.二分曲法的N－S圖28/4蓄7§5.3迭代辮法本節(jié)圓內(nèi)容一.迭代銹格式濕的構(gòu)括造二.迭代制過程勺的幾半何表獻(xiàn)示三.迭代云法的艷收斂脅性四.整體票收斂朋性五.局部蜂收斂冬性六.迭代抽法N-談S圖返回添章節(jié)悼目錄解x=g(x)的簡悼單迭匯代法29/4很7f(x)銜=岡0x=g(x)等價變換f(x)的根g殿(x斃)的不母動點§5.3迭代備法迭代管法/*Fi帖xe避d-作Po修in蝴t濾It胸er煤at阻io拉n篩*/30/4愿7§5.3迭代較法一.迭代擋格式斃的構(gòu)他造31/4敲7§5.3迭代嶼法二.迭代饒過程帽的幾穴何表束示O諷x*x2x1x0xyy=綠xy=藝g(牧x)P0P1P2P*Q1Q232/4蓋7§5.3迭代睛法例1：用孝迭代晉法求著方程f(x)=x2-2x-3深=0的根姥（x1=3，x2=膊-1）解：(1后)方程嶄改寫紛成x=(妨2x+3漁)1/遣2建立知迭代兔公式xk+企1=(賺2xk+3雜)1/市2(k=0夠,1翅,2獨…)，取x0=4，x1=3車.3塵16，x2=鈔3.銳10傲4，x3=3害.0穩(wěn)34，x4=晉3.握01移1，x5=史3.柱00我4當(dāng)k∞，xk3，收斂；(2蜻)方程注改寫岡成x=1頸/2吳*(x2-3附)建立午迭代趙公式xk=羨1/詢2個*(xk2-3嗎)損(k=0核,1揚,2艦…)，取x0=4，x1=6扎.5，x2=1干9.逢62蕉5，x3=換19盼1.菌0當(dāng)k∞，xk錄∞，發(fā)散。33/4裁7§5.3迭代窯法例2：求押方程f(x)=x3-x-1胡=0在x0=1伏.5附近揮的根x*。解：(1殃)方程儲改寫哈成x=(x+1捧)1/爪3，收掙斂；(2懼)方程丸改寫惰成x=(x3-1接)，發(fā)乖散。34/4披7§5.3迭代燙法例3：對f(x)=x3+4x2-1處0=攜0（此墓方程稿在[1弓,2馳]中有鞋唯一栗根）新用不陪同方艦法化謝成等漿價方凡程。解：歸可化鉛成很虹多不走同等災(zāi)價方琴程，慕例如35/4濱7§5.3迭代親法取初浩始近魔似值x0=1棚.5，迭豈代結(jié)果迭代夸過程(a)、(b)不適苗定，(c)、(d)、(e)都收業(yè)斂，劈燕但收鼻斂速寒度相芳差很駕大。36/4售7§5.3迭代后法三.迭代風(fēng)法的色收斂由性g(x)如何漿構(gòu)造基本排問題{xk}的收姜斂性(收斂確否？特如何呼加速?)誤差臭估計從幾賣何上南考察誰迭代愚法的騰收斂膛性，姿見下槐頁（另屯見教楚材P1昆8）37/4掙7§5.3迭代鈔法0<g’(x*)<1-1<g’(x*)<0g’(x*)>1g’(x*)<-1xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p138/4葵7§5.3迭代讀法具體捉的迭盟代收婚斂定算理,以及速如何探加速攜收斂,待續(xù)貧。39/4但7§5.3迭代毀法四.整體飲收斂值性40/4億7§5.3迭代居法證明：①②③依此虎類推41/4吵7§5.3迭代私法④⑤⑥可用來控制收斂精度；即判斷迭代是否中止L越小收斂越快見上頁42/4損7§5.3迭代塘法五.局部剃收斂粗性43/4頓7§5.3迭代傷法證明宮：44/4販7§5.3迭代棍法45/4在7§5.3迭代換法六.迭代覽法N-接S圖定義迭代函數(shù)g(x)=…讀入數(shù)據(jù)x0,epsx=g(x0),k=1|x-x0|<=eps輸出k,xx0=xx=g(x0)結(jié)束定義函數(shù)f(x)=…k=k+1YN46/4屢7§5.4牛頓跨－雷嗓扶生遵法本節(jié)然內(nèi)容一.迭代暮格式取的構(gòu)女造二.Ne濫wt辭on迭代宵法的園幾何塑意義三.Ne什wt鄙on迭代漫法收剖斂定方理四.牛頓屢迭代企法N-協(xié)S圖五.簡化族牛頓額法返回幣章節(jié)悟目錄解f(x)=頭0的Ne浩wt津on迭代毅法47/4熔7§5.4牛頓隱－雷兵扶生蒸法牛頓術(shù)－雷灣扶生摘法（Ne罰wt嚷on梅-裙R槐ap擁hs噸on碎M悄et凍ho糕d）一般肌迭代溫法的滲特例既，且晝迭代頭函數(shù)磚有固婆定的夏形式分。一.迭代誰格式角的構(gòu)漠造1.原理構(gòu)造g(x)的一根條重猛要途苦徑：盡用近貧似方運程代等替原蒙方程分求根詢。牛頓瞞法是伍將非妻線形隸方程短線性稍化。48/4圈7——臭Ta鞭yl景or展開芳線性凍化（醒重要碑思想通）§5.4牛頓皆－雷拐扶生梳法2.方法49/4遭7§5.4牛頓績－雷山扶生主法二.狀Ne督wt忙on迭代型法的面幾何此意義實際韻上牛瞧頓迭冶代公懂式是盲曲線爐在xk點上駝的切踢線與x軸交混點的亂橫坐火標(biāo)，晴即用竹切線殘與x軸交周點的拘坐標(biāo)雖近似壟代替月曲線值與x軸的捷交點現(xiàn)坐標(biāo)第，故健也稱切線獵法。50/4衣7產(chǎn)生妹的序起列單澇調(diào)有嚇界,保證丸收斂.§5.4牛頓哲－雷柏扶生補法1.收斂陡的充蔬分條燙件設(shè)fC2[a,b]，若(1饞)f(a)f(b)友<區(qū)0；(2懷)在整宅個[a,b]上f”不變啄號且f’(x)桌撓0；(3囑)選取x0倍[a,b]使得f(x0)f”(x0)褲>糞0；則牛忽頓法游產(chǎn)生雙的序煌列{xk}收斂泉到f(x)在[a,b]的唯伙一根誤。有根根唯放一三.賽Ne墨wt溪on迭代學(xué)法收錄斂定妻理51/4哥7§5.4牛頓跪－雷茄扶生兩法52/4家7§5.4牛頓炎－雷預(yù)扶生末法53/4讓7§5.4牛頓濤－雷完扶生曾法由Ta儉yl鉆or展開票：只要f’(x*)0，則令可得結(jié)論。在單驢根/*鄉(xiāng)豐si縮慧mp濤le堵r毒oo讀t周*/附近染收斂汪快此時揉可直胖接使臣用定理(見教并材)54/4軟7§5.4牛頓塵－雷造扶生往法3.x0的選啊取對體牛頓率法收襯斂性房誠的影既響即：闖牛頓隸法的念收斂悼性依借賴于x0的選梳取。取x0使f(x0)f”愧(x0)>宗0，則撇收斂捷速度天增大義。常用二充分法蝕獲取死初值x0，再見進(jìn)行樓迭代孤求解。迭代申過程堡中若f’(x0)≈歷0或迭嚷代次鐮數(shù)超晚過某首個上界M,仍達(dá)饅不到甜要求蔥的精姻度,則迭菜代計高算失素敗。x*x0x0x055/4錘7改進(jìn)興與推齒廣重根/*圈m拔ul招ti棉pl怖e坑ro仗ot嗚*陸/：加旁速收隆斂法正割蒜法/*濁S癢ec熄an倉t祖Me注th購od旨*裝/下山冊法/*購D塌es宇ce估nt擋M朗et鵝ho蒜d抵*/：牛轎頓法蓮局部暮微調(diào)§5.4牛頓掀－雷徑扶生銳法56/4箱7例1：§5.4牛頓而－雷觀扶生帳法57/4浸7§5.4牛頓判－雷夕扶生索法58/4劍7例2：§5.4牛頓呀－雷紗扶生肯法59/4團(tuán)7§5.4牛頓占－雷診扶生叢法例4：用配牛頓饅法求x-s功inx=0足.5的根輕，精鋼確到0.盡00綿01解：f(x)=x-s攜inx-0居.5∵f(1賄)=翅-0償.3江4<屬0，f(2歇)=躲0.骨59券1>室0∴[疏1,需2]間有互一個哄根。f’(x)=功1-誰co役sx枕,f”(x)=羨si甜nx∴xk+老1=xk-f(xk)/f’(xk)=xk-(xk-s陶inxk-0咱.5)/禽(1科-c右osxk)f’(餐2)哀>0，f”(紛2)什=s味in劈燕2>端0即f(2線)*f”(堂2)虜>0，故斤選擇x0=2x1=x0-(x0-s皺inx0-5硬)/叮(1叫-c泄osx0)=腸1.泥58碎29x2=1待.5癢00勇9，x3=1您.4永97臉3，x4=1聰.4光97額3x4-x3=0聾<0煌.0擁00陜1故取x=x4為近很似值輪。60/4喂7§5.4牛頓藍(lán)－雷崗扶生傳法四.牛頓酸迭代果法N-慈S圖定義撒導(dǎo)數(shù)鄭函數(shù)f1滴(x凡)=彈….讀入渾數(shù)據(jù)x0居,e嗎psx=顫x瞞0-榆f(殃x0菜)/占f1器(x蹤蝶0)臨,謝k=川1|x稻-x德0|熊>=巡壽ep嗽s輸出k,xx0倉=xx=匪x蠅0-咱f(衡x0源)/極f1宿(x蒸0)結(jié)束定義籮函數(shù)f(余x)放=…辟.k=腎k+挑161/4戀7§5.4牛頓占－雷坑扶生浙法牛頓班法需檢計算f’(xk)，若鋤用一虎個給程定常周數(shù)值c代f’(x)，則xk+材1=xk-f(xk)/c要使文該式患收斂培，則g(x)早=x-f(x)/cg’(x)曲=刺1-f’(x)/cg’(x)=1減-f’(x)/c<陰1即0<f’(x)/c<2取c與f’(x)同號候，且f’(x)/c<2即可沿，這健是切塞線方覺程的固思定斜杏率。五.簡化柔牛頓逢法62/4京7例6：在氣例4中，x*在1.中57附近晝。f’(僵1.循5)乳=1煤-c點os前1.可5≈0.馬9取c=飲0.煩9f’(蜂1.亭5)察/c間<2xk+冷1=xk-(xk-s憤inxk-0洪.5危)/假0.帝9取x0=2經(jīng)x1……x5=1擊.4訊97顧20魄9,x6=1改.4特97搜30迭代功了6次。收斂產(chǎn)速度可降低證，但拐計算溝量減喜小了渡。例4：用牛嬸頓法幸求x-接si掙nx習(xí)=0其.5的根宇，精富確到0.幟00齒01§5.4牛頓磨－雷詳扶生益法63/4昆7§5.4牛頓卻－雷柔扶生牙法六.牛頓昌下山彼法64/4問7§5.4牛頓控－雷鳥扶生獅法65/4拐7§5.4牛頓稱－雷剃扶生熟法66/4史7§5.4牛頓玩－雷卡扶生質(zhì)法舉例:求在1.5附近的根.解:若取店初值1.弊5,滿足蔬收斂纏條件.但若縱取計算久得與可曲能值頑的差系距加下大,即使凍能收虧斂速秤度也駕會很何慢.此時創(chuàng)用牛腳頓下棍山法,設(shè)下坐山因拐子為t,則計稱算結(jié)慈果如摸下表:此時,計算艙方法:67/4癢7§5.4牛頓包－雷快扶生池法

如表鴿所示愁，用暗牛頓添下山遮法，厭第1次就豆落入將了局宏部收秧斂的綠領(lǐng)域殲，到塑第4次時弦近似訊值的黑精度貝已經(jīng)堆相當(dāng)舅高了鞭。68/4遍7§5.5正割居法本節(jié)沾內(nèi)容一.引入抱意義二.正割擋法基便本思常想三.正割聯(lián)法幾鄭何意購義四.正割把法算同法實胸現(xiàn)返回碧章節(jié)看目錄弦截事法69/4時7§5.5正割姓法一.引入畜意義牛頓智迭代驚法雖獸然具魯有收調(diào)斂速改度快恒的優(yōu)郊點，還但每貝迭代倦一次蚊都要基計算騾導(dǎo)數(shù),當(dāng)眼比較閃復(fù)雜飼時,不僅嫂每次燈計算旅帶見來很打多不蜘便，煌而且芬還可盤能十隙分麻階煩，鍬如果哨用不賴計算賓導(dǎo)數(shù)價的迭顆代方茶法，要往往懇只有緊線性講收斂喂的速蛇度。葬本節(jié)霜介紹懶的弦加截法抹便是寧一種抄不必局進(jìn)行盜導(dǎo)數(shù)弦運算蹄的求包根方謝法。乳弦截磁法在朝迭代買過程舟中不梯僅用贈到前羽一步下處的負(fù)函數(shù)意值，頌而且渣還使粉用船處帥的函沉數(shù)值膨來構(gòu)悔造迭采代函瘦數(shù)，體這樣旦做能賽提高棕迭代璃的收倘斂速槳度。70/4診7§5.5正割疏法二.正割如法基編本思悄想71/4軟7§5.5正割惠法三.正割墾法幾淘何意瞎義72/4憤7§5.5正割率法例：用正調(diào)割法殃解方頭程的誼根由正盾割法達(dá)到每精度10-8正割餡法迭帽代5次x0觸=0婚.5叮;李x1但=0團(tuán).4真;x2詞=斤0常.3姻43唐09龍62閉34養(yǎng)3x3之=俱0羽.3鋪47線38維97斬27閑4x4饅=掙0之.3緒47杠29澤65潑09陸3x5午=己0龍.3推47怨29仙63薪55版3x6仁=己0臘.3界47折29飄63崖55控373/4戲7§5.5正割研法例：慈用線正割菜法求雹方程居在污初衣始值鄰券近的扯一個壇根。烤要求解：識取,裕,令利用接正割靠迭代騾公式計算裹過程系略，取近疲似根則可炸滿足尾精度抬要求料。74/4乖7§5.5正割牙法四.正割熊法算摔法實撇現(xiàn)75/4妻7§5.軍6迭代紗法的鑰收斂惰階和Ai具tk類en加速咽方法本節(jié)測內(nèi)容一.迭代么過程波的收跟斂速棉度二.常見飲迭代柴過程革的收僅斂階三.埃特片金(Ai撓tk跑en)加速庫法四.斯蒂饅芬森(St撒