難點(diǎn)11 函數(shù)中的綜合問(wèn)題

124124難點(diǎn)11函中的綜合問(wèn)題函數(shù)綜合問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一般度較大查內(nèi)容和形式靈活多樣.本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能●難點(diǎn)磁場(chǎng)(★★★★★)設(shè)函數(shù)f)的定義域?yàn)镽對(duì)任意實(shí)數(shù)、y都f+yf(x)+(),當(dāng)x>0時(shí)f且f－4.(1)求證：(x為奇函數(shù)；(2)在區(qū)間［－9］上，求f)的最值●案例探究［例f()是定義在R上偶函數(shù)象關(guān)于直線=1對(duì)意0,12都有f(x+)=f·(x),且f(1)=a1121(1)求f)、f);4(2)證明f)是周期函數(shù)；

(3)記fnn

n

),求lim(lna).nn命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能知識(shí)依托：認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件)=f(x·fx找到問(wèn)題1212的突破口.錯(cuò)解分析：不會(huì)利用f+)=f)·(x進(jìn)行合理變112xxxxx技巧與方法：由fx)=f(x)fx變形為f()()f()())是決121問(wèn)題的關(guān)鍵.解因?yàn)閷?duì),x∈［12x∈［0,1］

xx］都f(x+xfx·x),所以fx)=f()()≥22又因?yàn)閒(1)=

111+)=f·()=f］2222f)=()=f)·()=［（44

2又fa>011∴()=af)=a2(2)證明：依題意設(shè)y=f)關(guān)于直線x=1對(duì)，故(xf－x),即f(x)=－x∈R又由fx)是偶函數(shù)知f－f(x∈∴(－)=f－xR將上式中－x以代得f()=fx，這表明)是R上周期函數(shù)，且2是的一個(gè)周期(3)解：由(知fx≥0,x∈］

n2minn2min∵(

111)=fn)=f－)=f)·f－1)·)2n22n=……=f

1)·f·……·()nn=［f(

12

)］

n

=a∴(

12n

)=2n

又∵f)的一個(gè)周期是21∴n)=f因=an22∴)(n

n

)0.［例甲兩相距千米汽車(chē)從甲地勻速到乙地度不得超過(guò)c米/小時(shí)，已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)可變部分和固定部分組成，可變部與速度v(km/h)平方成正比，比例系數(shù)為b,定部分為a元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元表示為v的函數(shù)，并出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽應(yīng)以多大速度行駛？命題意圖本考查建立函數(shù)的型、不等式性質(zhì)、最值等知識(shí)查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能知識(shí)依托：運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等思想方.錯(cuò)解分析：不會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問(wèn)題，易忽略對(duì)參變量的限制條技巧與方法：四步法(1)題；(2)建模；求解；評(píng).解法一：(1)依意知，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為Say·+bv·S(+bvvvv

Sv

全運(yùn)輸成本為∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥S(

v

+bvv∈(0,c]

(2)依題意知，S、abv均正數(shù)∴(+bv≥Sabv

①當(dāng)且僅當(dāng)

a

a=bv即=時(shí)，①式中等號(hào)成立.若≤c則v時(shí)，有y；b若

ab

>則當(dāng)v∈]

a時(shí)，有S()－(+)=［(

a－)+(－)］(－)(－)vc

22minb2222minb22∵c－v≥0,且c>,∴abcv≥－>0∴(

a+bv)≥(),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)號(hào)成立，也即當(dāng)v=，有y；vc綜上可知為使全程運(yùn)輸成本最時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c解法二：(1)同解法一.

abab≤c時(shí)駛度應(yīng)為=當(dāng)>b(2)∵函數(shù)y=+

kx

(x∈(0,+∞),當(dāng)x∈

k)，y單減小，當(dāng)∈(

k∞時(shí)ya單調(diào)增加，當(dāng)x=時(shí)y取最小值而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為(+),v∈(0,].v∴當(dāng)

aa≤c時(shí)則當(dāng)=時(shí)y最，若時(shí)則當(dāng)v時(shí)最小結(jié)論同上.bb●錦囊妙計(jì)在解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)要真析、處理好各種關(guān)系握題的主線運(yùn)相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化分討論數(shù)結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用綜合問(wèn)題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技.因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題★★★★)函數(shù)y=+a與y=logx圖象可能是()a2.(★★★定義在區(qū)－∞)的奇函數(shù)fx)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0∞)的圖象與f()的圖象重合，設(shè)ab>0,給出下列不等式：①f)－f－)>g(a)－(－b②()－(－)<g(a)－g－)③()－(－)>()－g(－a④(a－f－b()－g－其中成立的()①④②③二、填空題

C.①與③D.②與④★★★★)若關(guān)于的程

+2

+a實(shí)根實(shí)數(shù)取值范圍三、解答題★★★★)設(shè)a為數(shù)，函數(shù)fx)=x+|－|+1,∈R.(1)討論f)的奇偶性；(2)求fx)最小值★★★★設(shè)f(x)=

lg.x1(1)證明：(x在其定義域上的單調(diào)；

-12-12(2)證明：方程f有一；1(3)解不等式f［x－)］<.2★★★★★)定義在(－，上的函數(shù)fx滿①對(duì)任意

x∈－都有f)+fy)=f

x

②∈(－1,0)時(shí)，()>0.1求證：f())f()5n2

★★★★某工廠擬建一座平面(如下圖)為矩形且面積為200平米的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)米如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米元，池底建造單價(jià)為平方米元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋)(1)寫(xiě)出總造價(jià)y(元與污水處理池長(zhǎng)米)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義.(2)求污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求最低總造8.(★★★★)已函數(shù)(x)在(－,0)∪(0,+∞上定義，且在∞)上增函數(shù)，f又gθ)=sinθ－mcos－2mθ∈［求M∩N

］設(shè)={g(θ)<0,∈},={f［(θ)

［學(xué)法指導(dǎo)］怎樣學(xué)好函數(shù)學(xué)習(xí)函數(shù)要重點(diǎn)解決好四個(gè)問(wèn)題確深刻地理解函數(shù)的有關(guān)概念示認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)(一)準(zhǔn)確、深刻理解函數(shù)的有概念概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終數(shù)、式、方程、函數(shù)、排列組合、數(shù)列極限等是以函為中心的代近十年來(lái)，高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主.(二)揭并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.函是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線與方程等內(nèi)容.在利用函數(shù)和方程的思想進(jìn)行思維中，動(dòng)與靜、變量與常量如此生動(dòng)的辯證統(tǒng)一，函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形所謂函數(shù)觀點(diǎn)質(zhì)是將問(wèn)題放動(dòng)態(tài)背景上去加以考題涉5個(gè)面(1)原意義上的函數(shù)問(wèn)題；(2)方程、不等式作為函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點(diǎn)；(4)輔助函數(shù)法；(5)集合與映射，作為基本語(yǔ)言和工具出現(xiàn)在試題.(三)把握數(shù)形結(jié)合的特征和方函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類(lèi)函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱(chēng)變.(四)認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象數(shù)量特征函關(guān)系，求得問(wèn)題的解決.縱觀近幾年高考題，考查函數(shù)思想方法尤其是應(yīng)用題力度加大，因此一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化應(yīng)用意參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)）證明：令x=y=0,f(0)=0令y－x得ffx)+f－),即f－x)=fx)∴()是奇函數(shù)°任實(shí)數(shù)－x＜x,時(shí)－f(x)－f(x(x－)+］1121212－(xf－x)+(x－－－x)22因?yàn)閤>0時(shí)f)＜∴fx)－f(x)>01∴()在［－，9］上是減函數(shù)故fx)最大值為f(－最小值為f而ff(3+3+3)=3f－－9)=－∴()在區(qū)間［－，］上的最大值為，最小值為12.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：分類(lèi)討論當(dāng)a>1和當(dāng)0＜1時(shí)答案：解析：特值法，根據(jù)題意，可設(shè)f)=x,(x|,設(shè)a則fa)=ag(a)=||,()=b,()=||,(a)f)=(2)f(－1)=2+1=3.(b－g(－a)=(1)(－2)=12=－1.∴f(a)－f－)>(1)－g－2)=1－2=1.又fb)－(－)=(1)－(－2)=1+2=3.(a－g(－b)=(2)－1=1,∴f(b)－(－a)=g(a－g－b

22222222222-1---1-00或22222222222-1---1-00或即①與③成答案：二、3.解析：設(shè)

=t>0，則原方程可變?yōu)閠++

①方程①有兩個(gè)正實(shí)根，則

at2解得：a∈－－22]答案：(1，－2]三4.解當(dāng)時(shí)函數(shù)f－x)=(－x－xf此fx為偶函數(shù)；當(dāng)≠，f)=a+1,f－a)=a+2|af－a≠f(－a≠－f(a此函數(shù)f)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f(x)=x

3－x++1=(－)若≤則數(shù)f(x在(－∞a]上4單調(diào)遞減，從而，函數(shù)f()在(∞a]上最小值為f)=+1.若a>

1則函數(shù)f)在(－∞a]的最小值為f()=且f≤(a).2②當(dāng)x≥a，函數(shù)f(x)=x+a+1=(+)－a+當(dāng)≤－時(shí)則函數(shù)f()在,+∞211)上的最小值為(－－a,f()≤(a).若a－,則數(shù)fx)在［a∞)上單調(diào)遞22增，從而，函數(shù)(x)在［∞］上的最小值(a)=a

31綜上，當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f()的最小值是－,－＜≤時(shí)，函數(shù)(x)最小值4是a+1;>

3時(shí)，函數(shù)f(x的最小值是a.4證明：由

得fx)的定義域?yàn)椋?1)，易判斷fx在(－1內(nèi)是減函

(2)證明：∵(0)=

1∴()=0,即x=是方程f的一個(gè)解若方程f(x)=0還2另一個(gè)解x≠則f(x由函數(shù)的定義知(0)=x≠,已知矛盾，故方程有惟一解.(3)解：［xx－)＜,即f［x－)］＜f21x(x)111()2

(

2xxx2xxx2xxx2xxx6.證：對(duì)fx)+fy)=

xyxy

)中x,,令x=得(0)=0,再令=－又fx)+(－x)=f(0)=0,即(xf(f)∈上奇函設(shè)1x＜x＜則fx)f(x)+(－1121xf(2

x1112

),∵－1x＜x＜0,∴－x＜－xx>0.∴122

x1112

＜0,于是由②知f

x1112

)從f(－(x)>0,f(xfx),故(x)在x∈(－1,0)上是單調(diào)遞減函數(shù)根據(jù)奇11函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，知f)在x∈上是遞減函數(shù)，且f)＜f(

)f[

(n

]f[

(n(n2)

]f(

1)f()f()nf()f)(11

2

n

)1111f()f)]f()f()]f()f)]f()f(33nn1,有f)1f()f()f(故原結(jié)成立7.解因污水處理水池的長(zhǎng)為

200米價(jià)yx×)+248×x××200=800(x+

x

由題設(shè)條件2000