向量的數(shù)乘運(yùn)算　【核心知識精研精講】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊

向量的數(shù)乘運(yùn)算1.了解向量數(shù)乘的概念.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律

進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法．向量的數(shù)乘運(yùn)算1狗、貓和老鼠老鼠由B處以6m/s的速度向正東奔跑，狗由A處以6m/s的速度向正西奔跑，貓由A處以5m/s的速度向正東奔跑，問：老鼠和狗能否相遇？貓和老鼠能否相遇？可以用向量解決這個(gè)問題嗎？已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它們的長度和方向分別是怎樣的？向量的加法問題一提示：a＋a＋a的長度是a長度的3倍，與a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)是a長度的3倍，與a的方向相反．分別記作：3a和-3aaaaa?a?a?a知識梳理一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)

，這種運(yùn)算叫做向量的

，記作

，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝

.(2)λa(a≠0)的方向：特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝

.當(dāng)λ＝－1時(shí)，(－1)a＝

.向量當(dāng)

時(shí)，與a的方向相同；當(dāng)

時(shí)，與a的方向相反.數(shù)乘λa|λ||a|λ>0λ<00－a(1)數(shù)乘向量與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別，前者的結(jié)果是一個(gè)向量，后者的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．(2)要注意實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算.注意aλa

λa

例1(多選)已知λ，μ∈R，且a≠0，則在以下各命題中，正確的命題是A.λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向一定相反B.λ＝0時(shí)，λa與a是共線向量C.|λa|＝λ|a|D.λμ>0時(shí)，λa的方向與μa的方向一定相同√√√方向的規(guī)定0與a是共線向量|λa|＝|λ||a|方向的規(guī)定λ的正負(fù)決定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小決定λa的模.反思感悟跟蹤訓(xùn)練1√向量的模向量的線性運(yùn)算2類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律，你能猜想向量的數(shù)乘有哪些運(yùn)算律？問題二提示：結(jié)合律，分配律．知識梳理1.數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么(1)λ(μa)＝

.(2)(λ＋μ)a＝

.(3)λ(a＋b)＝

.特別地，(－λ)a＝－λa＝

，λ(a－b)＝

.(λμ)aλa＋μaλa＋λbλ(－a)λa－λb(1)結(jié)合律是指實(shí)數(shù)的結(jié)合；(2)分配率有兩種形式.注意2.向量的線性運(yùn)算向量的

、

、

運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝

.加減數(shù)乘λμ1a±λμ2b(1)若a＝2b＋c，則化簡3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于A.－a B.－bC.－c D.以上都不對√解析

原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.例2運(yùn)算律例2(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________.解析

由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.運(yùn)算律4b－3a方程法向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的基本方法向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).類比法跟蹤訓(xùn)練2計(jì)算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；解

原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).解

原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.用已知向量表示其他向量3例3如圖所示，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則

等于√解析

利用向量的三角形法則，可得∵E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則用已知向量表示其他向量的兩種方法直接法方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.跟蹤訓(xùn)練3√解析

如圖，△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，向量共線定理4知識梳理(1)向量共線定理中規(guī)定a≠0；(2)λ的值是唯一存在的；(3)向量共線定理可分為判定定理與性質(zhì)定理.注意向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.b＝λaWhy?例4設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量.(1)若

＝2a－b，

＝3a＋b，

＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；∴A，B，C三點(diǎn)共線.向量共線定理的判定定理例4(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值.解

∵8a＋kb與ka＋2b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.向量共線定理的性質(zhì)定理證明

∵A，B，C三點(diǎn)共線，令x＝1＋λ，y＝－λ，∴x＋y＝1.延伸探究向量共線定理的應(yīng)用三點(diǎn)共線求參數(shù)已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.判定A，B，C三點(diǎn)是否共線