第2課時(shí) 不等式的證明方法 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

2.2.1第2課時(shí)不等式的證明方法第二章等式與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論.2.掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式.3.熟練靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式.01實(shí)例探究例1比較x2-x和x-2的大小.[解]因?yàn)?x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1，又因?yàn)?x-1)2≥0，所以(x-1)2+1

≥1＞0，從而(x2-x)-(x-2)＞0，因此x2-x＞x-2.配方法作差法01實(shí)例探究1.作差法：其實(shí)質(zhì)是通過比較兩式之差的符號(hào)來(lái)判斷兩式的大小，這種方法通常稱為作差法.2.綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法.下面我們用綜合法來(lái)得出幾個(gè)常用的不等式性質(zhì)的推論.02新知探索推論1如果a+b>c，那么a>c-b.證明a+b>c?a+b+（-b）>c+（-b）?a>c-b.推論1表明，不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊.推論1通常稱為不等式的移項(xiàng)法則.推論2如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向.同向不等式02新知探索

推論3如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.證明根據(jù)性質(zhì)2有

a>b，c>0?ac>bc，

c>d，b>0?bc>bd，再根據(jù)性質(zhì)4可知

ac>bd.很明顯，這個(gè)推論也可以推廣為更一般的結(jié)論：幾個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向.02新知探索

推論4如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）.

嘗試與發(fā)現(xiàn)證明推論5中不等式的方法具有什么特征？推論5中證明方法的實(shí)質(zhì)是：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法.02新知探索03新知鞏固

03新知鞏固[證明]

(1)因?yàn)閍>b，c<d，所以a>b，-c>-d，根據(jù)推論2，得a-c>b-d.

(3)因?yàn)?＜c＜d，根據(jù)(2)的結(jié)論，得又因?yàn)?，所以根?jù)推論3可知即03新知鞏固

可以看出，例2中所使用的方法是綜合法.綜合法中，最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已經(jīng)得出的結(jié)論，所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結(jié)論.嘗試與發(fā)現(xiàn)你能證明

嗎？用綜合法證明這個(gè)結(jié)論方便嗎？你覺得可以怎樣證明這個(gè)結(jié)論？03新知鞏固直接證明并不容易，因此可以考慮用反證法，請(qǐng)同學(xué)們自行嘗試.不過，為了方便起見，人們通常用下述方式來(lái)證明這個(gè)結(jié)論：要證，只需證明

展開得，即，這只需證明即21＜25.因?yàn)?1＜25成立，所以成立.的證明過程也可簡(jiǎn)寫為：因?yàn)橛忠驗(yàn)?1＜25成立，所以結(jié)論成立.上述這種證明方法通常稱為分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為p?q，其中p是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論成立的充分條件.03新知鞏固03新知鞏固

[證明]因?yàn)閙>0，所以3+m＞0，從而

又因?yàn)橐阎猰＞0，所以結(jié)論成立.

04課堂小結(jié)1.證明不等式的方法配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法.2.推論推論1

如果a+b>c，那么a>c-b.推論2

如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.