插值法拉格朗日插值演示文稿

插值法拉格朗日插值演示文稿目前一頁\總數(shù)十六頁\編于點優(yōu)選插值法拉格朗日插值目前二頁\總數(shù)十六頁\編于點§1問題的提出函數(shù)y=f(x)1）解析式未知；2）雖有解析式但表達(dá)式較復(fù)雜，通過實驗計算得到的一組數(shù)據(jù)，即在某個區(qū)間[a,b]上給出一系列點的函數(shù)值yi=f(xi)，xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn3）列表函數(shù)問題：無法求出不在表中的點的函數(shù)值，也不能進(jìn)一步研究函數(shù)的其他性質(zhì)，如函數(shù)的積分和導(dǎo)數(shù)等。因此需尋找y=f(x)的近似函數(shù)p(x),但要求p(xi)=f(xi)?！逯祮栴}目前三頁\總數(shù)十六頁\編于點已知精確函數(shù)y=f(x)在一系列節(jié)點x0…xn

處測得函數(shù)值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)，由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù)p(x)

f(x)，滿足條件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。這里的p(x)

稱為f(x)的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是…?多項式x0x1x2x3x4xp(x)

f(x)目前四頁\總數(shù)十六頁\編于點§1.1Taylor插值函數(shù)y=f(x)在點x0處展開有Taylor

多項式:可見:Pn(k)(x0)=f

(k)(x0)k=0,1,…,n因此,Pn(x)在點x0鄰近會很好的逼近f(x).

Taylor展開方法就是一種插值方法.泰勒插值要求提供

f(x)在點x0處的各階導(dǎo)數(shù),這僅僅適用于f(x)相當(dāng)簡單的情況.目前五頁\總數(shù)十六頁\編于點

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，且給出一系列點上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，求作n次多項式pn(x)

使得

pn

(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)

函數(shù)pn

(x)為f(x)的插值函數(shù)；稱x0,x1,…xn稱為插值節(jié)點或簡稱節(jié)點。插值節(jié)點所界的區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間。pn

(xi)=yi

稱為插值條件。

構(gòu)造的n次多項式可表示為:

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

§1.2Lagrange插值目前六頁\總數(shù)十六頁\編于點定理(插值多項式的存在唯一性)滿足的n

階插值多項式是唯一存在的。證明：(利用Vandermonde

行列式論證)這是一個關(guān)于a0,a1,…an的n+1元線性方程組,其系數(shù)行列式:由于i≠j時,

xi≠

xj,因此,即方程組有唯一解.

目前七頁\總數(shù)十六頁\編于點§2拉格朗日插值公式niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項式使得條件：無重合節(jié)點，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl稱為拉氏基函數(shù)目前八頁\總數(shù)十六頁\編于點直線方程的兩點式：線性插值l0(x)l1(x)==10)(iiiyxlL1(x)目前九頁\總數(shù)十六頁\編于點拋物插值l0(x)l1(x)l2(x)目前十頁\總數(shù)十六頁\編于點n

1li(x)每個li有n

個根x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插值多項式與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點f希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=

；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi

。n次多項式目前十一頁\總數(shù)十六頁\編于點

插值余項/*Remainder*/設(shè)節(jié)點在[a,b]內(nèi)存在,考察截斷誤差，且f

滿足條件,用簡單的插值函數(shù)Ln(x)代替原復(fù)雜函數(shù)f(x),其精度取決于截斷誤差,即插值余項.——拉格朗日余項定理目前十二頁\總數(shù)十六頁\編于點注：

通常不能確定,而是估計,x(a,b)

將作為誤差估計上限。當(dāng)

f(x)為任一個次數(shù)n

的多項式時，,可知，即插值多項式對于次數(shù)n的多項式是精確的。目前十三頁\總數(shù)十六頁\編于點例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50

并估計誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的x

所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。目前十四頁\總數(shù)十六頁\編于點n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差