第章MALAB解方程與函數(shù)極值

第7章MATLAB解方程與函數(shù)極值7.1線性方程組求解7.2非線性方程數(shù)值求解7.3常微分方程的數(shù)值解法※7.4函數(shù)極值7.1線性方程組求解7.1.1直接解法1．利用左除運算符的直接解法對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運算符“\”求解：x=A\b例7-1用直接解法求解下列線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';x=A\b2．利用矩陣的分解求解線性方程組矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法將一個矩陣分解成若干個矩陣的乘積。常見的矩陣分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇異分解等。(1)LU分解矩陣的LU分解就是將一個矩陣表示為一個交換下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積形式。線性代數(shù)中已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的，LU分解總是可以進行的。MATLAB提供的lu函數(shù)用于對矩陣進行LU分解，其調(diào)用格式為：[L,U]=lu(A)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個變換形式的下三角陣L(行交換)，使之滿足A=LU。注意，這里的矩陣X必須是方陣。[L,U,P]=lu(A)：產(chǎn)生一個上三角陣U和一個下三角陣L以及一個置換矩陣P，使之滿足PA=LU。當然矩陣A同樣必須是方陣。實現(xiàn)LU分解后，線性方程組Ax=b的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，這樣可以大大提高運算速度。例7-2用LU分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[L,U]=lu(A);x=U\(L\b)或采用LU分解的第2種格式，命令如下：[L,U,P]=lu(A);x=U\(L\P*b)

(2)QR分解對矩陣X進行QR分解，就是把X分解為一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積形式。QR分解只能對方陣進行。MATLAB的函數(shù)qr可用于對矩陣進行QR分解，其調(diào)用格式為：[Q,R]=qr(A)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R，使之滿足A=QR。[Q,R,E]=qr(A)：產(chǎn)生一個一個正交矩陣Q、一個上三角矩陣R以及一個置換矩陣E，使之滿足AE=QR。實現(xiàn)QR分解后，線性方程組Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。例7-3用QR分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';[Q,R]=qr(A);x=R\(Q\b)或采用QR分解的第2種格式，命令如下：[Q,R,E]=qr(A);x=E*(R\(Q\b))

(3)Cholesky分解如果矩陣X是對稱正定的，則Cholesky分解將矩陣X分解成一個下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即X=R'R。MATLAB函數(shù)chol(X)用于對矩陣X進行Cholesky分解，其調(diào)用格式為：R=chol(X)：產(chǎn)生一個上三角陣R，使R'R=X。若X為非對稱正定，則輸出一個出錯信息。[R,p]=chol(X)：這個命令格式將不輸出出錯信息。當X為對稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的結(jié)果相同；否則p為一個正整數(shù)。如果X為滿秩矩陣，則R為一個階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足R'R=X(1:q,1:q)。實現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組Ax=b變成R‘Rx=b，所以x=R\(R’\b)。例7-4用Cholesky分解求解例7-1中的線性方程組。命令如下：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';R=chol(A)???Errorusing==>cholMatrixmustbepositivedefinite命令執(zhí)行時，出現(xiàn)錯誤信息，說明A為非正定矩陣。7.1.2迭代解法迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和兩步迭代法。1．Jacobi迭代法對于線性方程組Ax=b，如果A為非奇異方陣，即aii≠0(i=1,2,…,n)，則可將A分解為A=D-L-U，其中D為對角陣，其元素為A的對角元素，L與U為A的下三角陣和上三角陣，于是Ax=b化為：x=D-1(L+U)x+D-1b與之對應的迭代公式為：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b這就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收斂于x，則x必是方程Ax=b的解。Jacobi迭代法的MATLAB函數(shù)文件Jacobi.m如下：function[y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)ifnargin==3eps=1.0e-6;elseifnargin<3errorreturnendD=diag(diag(A));%求A的對角矩陣L=-tril(A,-1);%求A的下三角陣U=-triu(A,1);%求A的上三角陣B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;%迭代次數(shù)whilenorm(y-x0)>=epsx0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end例7-5用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。設迭代初值為0，迭代精度為10-6。在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下：A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10];b=[9,7,6]';[x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)2．Gauss-Serdel迭代法在Jacobi迭代過程中，計算時，已經(jīng)得到，不必再用，即原來的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改進為Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b該式即為Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊分量，精度會高些。Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函數(shù)文件gauseidel.m如下：function[y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)ifnargin==3eps=1.0e-6;elseifnargin<3errorreturnendD=diag(diag(A));%求A的對角矩陣L=-tril(A,-1);%求A的下三角陣U=-triu(A,1);%求A的上三角陣G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;y=G*x0+f;n=1;%迭代次數(shù)whilenorm(y-x0)>=epsx0=y;y=G*x0+f;n=n+1;end例7-斃6用Ga禿us逮s-Se央rd蔽el迭代篇法求騾解下外列線鑼性方么程組寫。設搞迭代困初值跟為0，迭況代精土度為10-6。在命閃令中惰調(diào)用褲函數(shù)俘文件ga斑us束ei深de宣l.叔m，命蒼令如殊下：A=釣[1淹0,記-1虎,0抬;-蹈1,仇10侍,-歷2;顆0,笑-2襯,1投0]撥;b=崖[9商,7零,6球]'改;[x,舅n]=瓣ga桐us傭ei可de梳l(絲式A,膜b,嚼[0巷,0常,0盜]'坊,1夕.0缺e-急6)例7-延7分別劣用Ja貸co尊bi迭代掛和Ga期us刮s-Se圓rd鳳el迭代決法求悶解下來列線皇性方漁程組進，看巾是否爐收斂私。命令屠如下飽：a=奮[1畝,2券,-耽2;仁1,侮1,瞇1;盆2,協(xié)2,修1]靈;b=摩[9疫;7躲;6輸];[x,哀n]=扁ja責co挽bi擠(a團,b范,[炎0;掙0;沫0]測)[x斯,n陰]=名ga得us腸ei桑de俯l(鍬a,闖b,惜[0矩;0乏;0做])7.析2非線城性方牧程數(shù)魯值求姨解7.券2.郊1單變漲量非瓶線性唐方程撕求解在MA泛TL敘AB中提孫供了嫌一個fz想er劫o函數(shù)欣，可馬以用慮來求阿單變?yōu)┝糠请`線性茂方程忠的根灰。該傭函數(shù)傳的調(diào)捉用格姓式為崖：z=觸fz怨er襯o(噴'f慎na玻me蝕',辭x0攝,t旬ol黎,t蜓ra矛ce暢)其中fn合am楊e是待挎求根辨的函詞數(shù)文售件名怒，x0為搜修索的胖起點惡。一廈個函外數(shù)可肌能有順多個雪根，必但fz崇er雹o函數(shù)正只給茶出離x0最近嘆的那訪個根室。to零l控制越結(jié)果饅的相妥對精致度，解缺省朗時取to綿l=ep盞s，tr逼ac坑e指定閃迭代茶信息謠是否亞在運東算中鐘顯示烤，為1時顯滋示，眉為0時不潛顯示架，缺筐省時嗎取tr婦ac貸e=營0。例7-孕8求f(壇x)=植x-票10x+2陰=0在x0究=0甲.5附近荷的根漠。步驟么如下勁：(1赴)建立狐函數(shù)倚文件fu撕nx禿.m。fu珠nc毫ti犧onfx=fu播nx謹(x)fx=x吊-1均0.伯^x泄+2壟;(2艙)調(diào)用fz砌er凍o函數(shù)璃求根龍。z=筒fz野er擺o(塔'f臂un夜x'直,0析.5家)z育=0.酸37繡587.廁2.排2非線筆性方裹程組捉的求莊解對于蜓非線否性方千程組F(略X)降=0，用fs既ol井ve函數(shù)筑求其夢數(shù)值泰解。fs吩ol稈ve函數(shù)鼠的調(diào)沙用格槍式為棒：X=犬fs飽ol去ve指('溉fu充n'隸,X銀0,啦op歸ti臭on青)其中X為返動回的寨解，fu構(gòu)n是用致于定高義需丙求解尺的非浩線性獵方程柄組的煙函數(shù)驕文件攝名，X0是求覺根過姓程的盼初值沸，op估ti叫on為最燙優(yōu)化臨工具帖箱的好選項媽設定政。最腿優(yōu)化炒工具笛箱提般供了20多個叨選項恭，用轉(zhuǎn)戶可詠以使博用op躲ti熊ms跳et命令航將它犯們顯禾示出元來。新如果有想改狹變其殺中某覺個選掛項，倉則可飄以調(diào)持用op幸ti注ms洞et()函數(shù)旬來完述成。閑例如微，Di伍sp慢la厭y選項賤決定哄函數(shù)甘調(diào)用悠時中園間結(jié)容果的頁顯示所方式吳，其桿中‘of測f’為不蝕顯示噸，‘it禁er’表示賞每步桶都顯碎示，‘fi到na瓣l’只顯隔示最衫終結(jié)幕果。op鑰ti棋ms努et枯(‘驕Di省sp瞇la正y’惜,‘輪of娃f’)將設階定Di外sp佩la罷y選項堵為‘of競f’。例7-蜻9求下鉗列非錢線性詳方程翠組在(0遇.5環(huán),0與.5困)附近胸的數(shù)償值解德。(1痕)建立柿函數(shù)巷文件my縣fu戲n.劇m。fu份nc記ti衫on賺F飽=my朋fu削n(玩X)x=頁X(椅1)淡;y=床X(略2)梢;F=碰ze苗ro先s(抵2,叫1)恩;F(接1)酬=x塊-0松.6滔*s后in浮(x芹)-岡0.詞3*co稼s(押y);F(襲2)躍=y森-0鳴.6冤*c釀os窩(x閑)+鋤0.黃3*si巷n(猴y);(2紡)在給里定的礎初值x0抗=0叢.5名,y績0=福0.淚5下，眾調(diào)用fs付ol悄ve函數(shù)次求方艱程的碌根。x=罰fs瓶ol軟ve虛('蹲my咐fu絡n'調(diào),[誤0.謀5,屑0.困5]梨',欄op綿ti不ms冊et懸('玩Di伐sp趁la賽y'喘,'榜of學f'噴))x什=0.絡63駛540.現(xiàn)37旅34將求聽得的高解代亡回原握方程綠，可邁以檢削驗結(jié)沒果是夾否正奪確，巡壽命令倒如下嗽：F=my桐fu戒n(劉x)F關=1.頸0e稠-0快09吳*0.輔23粗750.基29霞57可見你得到叨了較續(xù)高精屆度的緞結(jié)果鴿。7.被3常微濁分方枯程初塵值問賽題的鴿數(shù)值圓解法7.蛇3.孝1龍格會－庫挪塔法絨簡介7.利3.萄2龍格喂－庫舒塔法否的實蹄現(xiàn)基于遺龍格回－庫吐塔法植，MA崇TL剃AB提供吐了求贊常微育分方要程數(shù)久值解門的函艱數(shù)，院一般朗調(diào)用愁格式縫為：[t,榴y]=斤od徐e2餐3(籃'f責na伴me各',目ts叛pa襖n,延y0乳)[t,螞y]=渾od熟e4烘5(定'f厭na巾me微',監(jiān)ts洲pa涼n,絕y0櫻)其中fn斧am振e是定劉義f(潤t,仰y)的函逃數(shù)文執(zhí)件名析，該殺函數(shù)污文件所必須渾返回換一個濱列向擁量。ts執(zhí)pa撐n形式展為[t甲0,但tf寧],表示令求解彼區(qū)間支。y0是初濟始狀郵態(tài)列院向量送。t和y分別易給出柏時間夢向量仗和相顛應的祝狀態(tài)蛾向量宰。例7-遣10設有姐初值廊問題雁，試海求其蛇數(shù)值蛛解，澤并與被精確法解相把比較(精確勿解為y(足t)=確)。(1壯)建立捐函數(shù)理文件fu爬nt坦.m。fu僚nc筋ti覆onyp=fu丙nt停(t過,y)yp=(勿y^川2-絲式t-邪2)臥/4歡/(可t+胞1)該;(2音)求解流微分火方程狹。t0刮=0浸;t掘f=葡10循;y0嫌=2嗓;[t,醬y]=死od偉e2撒3(執(zhí)'f完un權(quán)t'夜,[惱t0照,t蓮f]判,y跨0)閱;綱%求數(shù)練值解y1軋=s奪qr抬t(楊t+浙1)合+1倉;脹%求精念確解pl激ot錫(t糾,y燃,'看r')ho得ld邊o會npa設us鐮epl曾ot堵(t傍,y腸1,捏'g降')%y為數(shù)耗值解值，y1為精越確值饒，顯伴然兩扯者近替似。7.衛(wèi)4函數(shù)仰極值MA振TL蜘AB提供正了基反于單描純形芳算法坑求解質(zhì)函數(shù)夕極值廢的函英數(shù)fm移in和fm絲式in姑s，懼它們霧分別容用于億單變乎量函嫁數(shù)和呀多變膚量函課數(shù)的閣最小位值，園其調(diào)湖用格膝式為駛：x=州fm鼻in覺('灶fn歪am溫e'坐,x閱1,恭x2正)x=舉fm微in悄s(烈'f浪na銷me惠',礎x0斤)這兩綢個函算數(shù)的返調(diào)用咸格式茂相似簽。其賞中fm紹in函數(shù)殲用于臨求單債變量支函數(shù)穿的最棄小值英點。fn津am默e是被匠最小臟化的途目標斗函數(shù)采名，x1和x2限定檔自變抄量的筑取值城范圍骨。fm伸in咳s函數(shù)鎮(zhèn)用于穗求多旺變量膨函數(shù)醫(yī)的最竄小值忽點，x0是求皮解的絨初始丑值向踩量。MA唱TL把AB沒有微專門比提供偵求函然數(shù)最迫大值級的函拌數(shù)，辜但只概要注預意到-f(倡x)在區(qū)迅間(a,京b)上的日最小袍值就今是f(賺x)在(a,巷b)的最侍大值通，所遷以fm深in炊(f盟,x汪1,苗x2渴)返回瞧函數(shù)f(囑x)在區(qū)風間(x餃1,奸x2層)上的批最大握值。例7-園13求f(記x)=效x3-2盈x-狐5在[0歐,5彎]內(nèi)的斑最小懂值點酬。(1芬)建立肚函數(shù)逐文件my地mi挪n.武m。fu罩nc義ti藍onfx=my粉mi臂n(盆x)fx=x胸.^土3-濫2*道x-奇5;(2若)調(diào)用fm米in函數(shù)劑求最傭小值恰點。x=源fm判in之('橡my叮mi朽n'厘,0舍,5弦)x=0.殘81詢65結(jié)束在優(yōu)怨化工斬具箱涌中還習有兩疾個求克多變齡量函歇數(shù)的棗最小衡值的戚函數(shù)fm鑒in蠢se郊ar騎ch和fm損in蟲un陵c，其楚調(diào)用軟格式激為：x迷=閃fm裂in冬se詢ar江ch抄(f絮un厘,x租0)x咐=南fm楊in根se匠ar圓ch浴(f剖un亡,x斯0,米op燒ti俗on姿s)x盆=濾fm悅in腎se諷ar段ch產(chǎn)(f賢un遭,x釋0,怕op他ti床on磚s,戴P1林,P謙2,終..酒.)[x,荒fv垮al]嚼=fm幻玉in僅se武ar穗ch(.尸..捐)[x,并fv課al著,e弄xi蠶tf迷la幸g]崗=fm慢in振se有ar政ch(.畜..騙)[x,介fv霸al論,e格xi謎tf蘆la鹽g,誰ou辱tp妙ut]攔=fm儉in連se谷ar銳ch(.廟..袍)x纖=駛fm哪in鮮un孫c(丑fu輪n,抄x0讀)x莖=縮慧fm限in晴un捧c(按fu容n,攜x0請,o坑pt茶io洞ns覺)x鄰=連fm語in吹un頁c(漆fu積n,涼x0壤,o曠pt海io拖ns枯,P經(jīng)1,每P2蘋,.補..劑)[x,戀fv雞al]預=fm篩in娃un盆c(.慕..裹)Eg.Mi套ni澡mi株ze盡t新he齒f鈴un杯ct皇io