微分方程的基本概念

安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.1微分方程的基本概念Basicconceptofdifferentialequations三、微分方程的解一、問題的提出二、微分方程的定義微積分電子教案引例

一曲線通過點(diǎn)(1,2),且在該曲線上的任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x,

求該曲線的方程。解：設(shè)所求曲線方程為：y=f(x)兩邊對x求積分：即

y=x2+C將x=1,y=2代入，得：2=1+C即

C=1故所求曲線為：y=x2+1一、問題的提出由題意得：定義1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程。2.1、微分方程二、微分方程的定義定義1

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程。如：2.1、微分方程二、微分方程的定義未知函數(shù)是多元函數(shù)，即含有偏導(dǎo)數(shù)的微分方程，稱為偏微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程常微分方程定義2微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階。二階微分方程n階微分方程的一般形式為：F(x，y，y，y，…，y(n))=0一階微分方程二、微分方程的定義2.2、微分方程的階二、微分方程的定義2.3、微分方程的分類分類1:常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程分類2:分類3:線性(未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次)非線性微分方程分類4:單個(gè)微分方程與微分方程組.定義3

若將某函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)代入微分方程,可使方程成為恒等式,則稱此函數(shù)為微分方程的解三、微分方程的解3.1、微分方程的解三、微分方程的解例1

驗(yàn)證下列函數(shù)都是微分方程y－2y+y=0的解.解:代入原方程∴

是原方程的解.代入原方程：∴

是原方程的解.三、微分方程的解例1

驗(yàn)證下列函數(shù)都是微分方程y

－2y+y=0的解.解:代入原方程：∴

是原方程的解.解的線性組合也是解y=0也是解。均為解，有何區(qū)別？⑴

通解：

微分方程的解中含有任意常數(shù)，這些常數(shù)相互獨(dú)立(即不能合并了)，且個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解。3.2、通解與特解三、微分方程的解⑵特解：確定了通解中任意常數(shù)的解。例1中：——通解——特解——既非通解，也非特解，是個(gè)解?！娼猓ǖ皇翘亟猓谎芯浚┩ń猓和ㄓ玫慕?，含有任意常數(shù)；特解：特殊的解，不含有任意常數(shù)⑴

通解：

微分方程的解中含有任意常數(shù)，這些常數(shù)相互獨(dú)立(即不能合并了)，且個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解。3.2、通解與特解三、微分方程的解⑵特解：確定了通解中任意常數(shù)的解。特解可以從通解中通過某個(gè)條件求出常數(shù)得到特解稱為定解條件，也稱為初始條件一般地，n階微分方程就有n個(gè)定解條件三、微分方程的解求特解步驟：先求通解，代入初始條件，確定通解中任意常數(shù)的值，可得特解。微分方程微分方程的通解定解條件如引例求解得：微分方程的特解三、微分方程的解解的圖像:微分方程的積分曲線.通解的圖像:

積分曲線族.3.3、微分方程解的幾何意義過定點(diǎn)的積分曲線;一階:二階:過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題:求微分方程滿足初始條件的特解的問題.解例3

驗(yàn)證:函數(shù)是微分方程的解.并求滿足初始條件的特解.三、微分方程的解所求特解為練習(xí)：為微分方程的特解.三、微分方程的解函數(shù)是微分方程的解嗎？如是解，請問是什么解?安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§1濃0.徑2愈一階尤微分從方程Ba駱si國c川co子nc圖ep滿t飼of書d彎if何fe莫re忠nt餃ia詳l雙eq蘋ua脖ti沒on才s三、紅齊次夜方程一、淺一階蜓微分殊方程塞的形雕式四、擦一階匯線性窮微分陽方程微積分電子教案二、堤可分患離變稿量的炭微分用方程⑴一般范形式:F(x,y,y)壯=0⑵正規(guī)巧型:⑶微分錦型:f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正規(guī)型可化為如：下面賴只討管論一梳階微樓分方學(xué)程中鼻最常兔見的戰(zhàn)幾種辯類型琴及解騰法,包括饅：可分少離變領(lǐng)量的廢微分瀉方程、齊次釣微分示方程、線性馳齊次窄微分羨方程、線性冷非齊身次微館分方藏程。一、勸一階華微分齊方程田的形桂式y(tǒng)=f(x,y)⑴形式雹：即變量x的函標(biāo)數(shù)和魂微分與變量y的函言數(shù)和持微分已分辨離在趣等式連兩邊侮（或?yàn)a已分晚離開團(tuán)來）.⑵解法餡：直接叛積分康。例1、求通捧解：解：兩邊憤積分故原稱方程汗的通研解為該：2.退1、已障分離索變量拍的微翁分方社程二、優(yōu)可分項(xiàng)離變臟量的職微分恭方程例2求通跪解：解：兩晃邊積叔分得：二、茅可分抄離變菜量的客微分福方程故原雨方程狀的通例解為匯：結(jié)論1:通解梁既可列用顯攜函數(shù)稠表示,也可翁用隱編函數(shù)清表示.⑴形式界：二、憤可分筋離變尊量的掌微分驕方程2.脖2、可分躬離變做量的心微分之方程⑵解法共：先分礎(chǔ)離變與量，纏再兩毫邊積豬分即急可。或例3解微磚分方肅程解:先分殘離變姥量，二、芒可分賠離變褲量的電微分遮方程再兩器邊積充分故原活方程米的通謎解為二、污可分藥離變辟量的雕微分貿(mào)方程⑵若積陽分后秤出現(xiàn)斤對數(shù),則可雖將任周意常跑數(shù)寫唱成lnC的形交式,以利單化簡.說明:⑴在解微分方程時(shí),對形如…積分,可直接得lnx,lny,…不必加絕對值；òdxx1òdyy1例3解題揭過程慶可簡泰化為佩：先分垮離變第量：再兩滅邊積采分解：二、咱可分圓離變引量的其微分陣方程例4求方權(quán)程滿足貞初始寒條件y(1濟(jì))=務(wù)2的特頸解.分離境變量積分堅(jiān)得：故通背解為:將x=1粒,y=2代入促通解故所歪求特蘇解為：得：C=1延0例5已知聽某商魯品的除需求掏量Q對價(jià)捕格p的彈線性為ep=-0.庭02p,且該岔商品街最大儉需求來量為24劑0,求需述求函易數(shù)Q=Q(p).解:依題鵲意,得窄:二、六可分送離變球量的掃微分忘方程整理嗚得：積分欣得:將p=0礦,Q=2扎40代入,得:C=2艘40故求露需求續(xù)函數(shù)婦為：例6設(shè)f(x)在(-余∞，模+∞挺)連續(xù),且滿耳足:求f(x).注：⑴積怠分方橫程求直導(dǎo)后漂化為框微分妙方程;⑵注歉意隱其條件.二、愧可分赤離變坡量的畜微分碌方程ò+=xdttfxxf0)(2)(解：原方程對x求導(dǎo)：即：分離讀變量級得：兩端毅積分貝得：由原秤方程躬可知夕：f(0扶)=閑0代入嗎通解C=2故解：⑴∵f(tx,ty)=機(jī)50砍(tx)(ty)2=5辟0t3xy2=t3f(x,談y)故⑴是齊次抱函數(shù),且是3次齊次妨函數(shù);故⑵是齊次賴函數(shù),且是0次齊次兵函數(shù).三、醋齊次委方程⑴復(fù)習(xí):證明函數(shù)⑴f(x,y)=50xy2;都是齊次函數(shù),并說明是幾次齊次函數(shù).yxyxyxf+-=),(⑵),(),(⑵yxfyxyxtytxtytxtytxf=+-=+-=3.端1、齊腿次方碗程的燒引入3.御2、齊睡次方此程及檔其解梯法⑷解法：①化標(biāo)準(zhǔn)形式；②變量替換；③分離變量；④求通解；⑤回代。⑵標(biāo)準(zhǔn)瘦形式幕：⑶常見肉形式苗：如三、榴齊次梯方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式⑴定義:微分方程

中,若為0次齊次函數(shù),則稱該方程為齊次微分方程,簡稱為齊次方程.⑴—關(guān)于y的微鐘分方聞程代入澤原方攀程,得：⑵—關(guān)于u的微屈分方康程分離晶變量,得：積分?jǐn)R、整萬理得通解：回代得：是⑴的解翻。三、遞齊次堂方程解：分離珍變量寇得：三、窯齊次索方程例1.求微漿分