第四章積分變換法

第四章積分變換法4.1傅立葉變換的概念和性質4.2傅立葉變換的應用4.3拉普拉斯變換的概念和性質4.4拉普拉斯變換的應用定義：假設I

是數(shù)集(實數(shù)或者復數(shù))，K(s,x)為上的函數(shù),這里[a,b]為任意區(qū)間。如果

f(x)在區(qū)間[a,b]有定義,且K(s,x)f(x)為[a,b]上可積函數(shù),則含參變量積分定義了一個從f(x)到F(s)的變換,稱為積分變換,K(s,x)為變換的核。常見的積分變換有傅立葉變換和拉普拉斯變換。

4.1傅立葉變換的概念和性質傅立葉變換

記作：假設f(x)

在上有定義，在上絕對可積，在任一有限區(qū)間上有有限個極大值、極小值，且至多有有限個第一類不連續(xù)點，則函數(shù)稱為f(t)的傅立葉變換。即是區(qū)間上，核為的積分變換

4.1傅立葉變換的概念和性質傅立葉逆變換定義為：記作：當f(x)滿足上述條件時，有傅立葉積分定理：

t是連續(xù)點t是第一類間斷點特別的，當f(x)連續(xù)時

4.1傅立葉變換的概念和性質傅立葉變換具有如下性質:1)線性性質：設f,g是絕對可積的函數(shù)，為數(shù)

2)微分運算性質

4.1傅立葉變換的概念和性質3)對傅立葉變換后的函數(shù)求導數(shù)4)卷積性質設f(x)，g(x)

在上絕對可積,定義卷積：

4.1傅立葉變換的概念和性質5)乘積運算

傅立葉變換在乘積運算和卷積運算之間建立了一個對偶關系。6)平移性質

4.1傅立葉變換的概念和性質思考：對于u(x,y),若以y

為參數(shù),對x

作傅立葉變換由傅立葉變換的線性性質同理,是參數(shù)

4.1傅立葉變換的概念和性質4.2傅立葉變換的應用例用積分變換法解方程：解：由自變量的取值范圍，對x進行傅立葉變換，設那么方程轉變?yōu)?/p>

4.2傅立葉變換的應用解得為了求出原方程的解,下面對關于進行傅立葉逆變換.t是參數(shù)！

4.2傅立葉變換的應用例用積分變換法解方程：解：作關于的傅立葉變換。設方程變?yōu)?/p>

4.2傅立葉變換的應用可解得而則上式兩邊關于x作逆傅立葉變換，得

4.2傅立葉變換的應用

4.2傅立葉變換的應用例赴用積沈分變烤換法米求解張初值賽問題來：解：生作關逝于x的傅戶立葉黑變換恥。設t是參斯數(shù)4.充2傅立嶺葉變寒換的饅應用于是攻原方璃程變拳為滿足捕初始松條件4.水2傅立艦葉變餡換的升應用的通串解為由初蘆始條省件ω是參戶數(shù)解常附微分吧方程判：4.責2傅立防葉變摔換的例應用取傅輸立葉田逆變隙換，來得其中盈：注意燃到而4.康2傅立建葉變賭換的再應用所以取傅立葉逆變換，得t是參強數(shù)4.躍2傅立落葉變潔換的濤應用所以取傅立葉逆變換，得t是參刑數(shù)4.尼2傅立狹葉變滔換的沒應用4.青3拉普南拉斯叢變換星的答概唱念和罵性質拉普亞拉斯秧變換傅立葉變換要求函數(shù)f

在有定義并且絕對可積。很多常見函數(shù)，如常函數(shù)，多項式，三角函數(shù)等都不滿足條件。以時間t

為自變量的函數(shù)在區(qū)間也無意義。這些都限制了傅立葉變換的應用。為此引入拉普拉斯(Laplace)變換。拉普拉斯變換的積分核為（單揮邊）迅拉普撓拉斯棋變換愈：4.鉆3拉普附拉斯雀變換底的概華念和腹性質在復參數(shù)p

的某個區(qū)域內收斂。（單邊）拉普拉斯變換對函數(shù)f(t)的要求：定理：若函數(shù)f(t)滿足下列條件：在任意有限區(qū)間上分段連續(xù)的增長速度不超過一個指數(shù)函數(shù)，即則：的Laplace變換在半平面存在。4.丹3拉普踢拉斯統(tǒng)變換楊的概寺念和甜性質基本蜻性質紹：1)基本灶變換:4.秤3拉普鹿拉斯邊變換就的概繳念和角性質2)線性恰性質3)微分濟性質若則4.搭3拉普湊拉斯堆變換辨的概陜念和細性質4)積分耍性質6)位移性質7)延遲性質5)對拉普拉斯變換求導4.亞3拉普棚拉斯飯變換覽的概瞇念和嬌性質8)卷積性質應用：拉斃普拉探斯變泄換既止適用霧于常勁微分斬方程(如P3踏8),也適邪用于響偏微媽分方酬程。4.舟3拉普軌拉斯抽變換相的概勿念和蛛性質例解常賓微分爆方程濁的初段值問粉題:解：對t進行刻拉普蔽拉斯器變換,設則原帝方程謹變?yōu)?.途3拉普頁拉斯平變換女的概和念和組性質對p進行叔拉普工拉斯某逆變鼠換,考慮果到有4.縮慧3拉普奇拉斯如變換購的概訪念和燭性質例隸設桂，嗚求解寶常微月分方近程的忠初值遲問題:解攏對僚進行牢拉普微拉斯擋變換,設,則4.植3拉普寺拉斯塘變換屋的概臥念和籍性質于是降原方復程變贊為由上鹿式得:對斷進醋行拉先普拉術斯逆終變換,得4.仙3拉普悅拉斯胃變換音的概烈念和搬性質拉普大拉斯雀變換插的反察演公淺式：4.苗3拉普路拉斯謀變換創(chuàng)的概榆念和堡性質利用走留數(shù)找基本味定理為，可灘得4.孫3拉普菊拉斯建變換岡的概檢念和爪性質4.陜3拉普仍拉斯慣變換順的概瞇念和亭性質4.替3拉普摧拉斯仔變換忘的概賓念和酬性質4.贏4拉普隱拉斯炒變換憶的應舉用例：設x>0,半y禮>0,求解蛛定解鮮問題解：對y進行挎拉普答拉斯拌變換今。設則方鹽程變炭為：4.似4拉普涂拉斯贈變換豪的應扶用而變?yōu)?/p>

解OD遮E:對p取拉太普拉胞斯逆封變換誤，得4.哪4拉普個拉斯味變換坑的應慣用解默問題接歸結姥為求念解下派列定丟解問延題:例靠一撕條半逢無限砌長的腦桿，微端點房誠溫度懷變化勝已知查，桿畏的初羽始溫勸度為0，求勺桿上落溫度晌分布樹規(guī)律攀。對t進行斷拉普適拉斯伶變換怎么賣變換與？為什鄰么？知道的值了4.唉4拉普裂拉斯業(yè)變換交的應臂用分析由于姑，故踢不能瓶用傅膨立葉波變換歷，而伐要用頭拉普潛拉斯興變換衛(wèi)。如念果對御進行司拉普名拉斯況變換省，由炮于方隔程中技出現(xiàn)泥了,在變君換中柿需要奶知道哪以及堤的值碰；如氏果對進行掛拉普濟拉普肝拉斯盟變換扮，由離于方炸程中羽出現(xiàn)葵了屢，在跑變換罪中需針要知休道會。荒因此虹，我膝們對透進行慮拉普響拉斯蒜變換。4.智4拉普屑拉斯拔變換塊的應咬用對t進行暈拉普猾拉斯嘴變換罵，設于是雀方程架變?yōu)檫@是改二階雖常微唯分方頌程的葵邊值爽問題圣，它范的通皆解為二階賠方程園，但惜是僅心有一類個邊殊界條賞件！冤需要跪引入莖自然滿邊界葵條件.4.藍1傅立圍葉變遵換的敵概念校和性懇質4.梅4拉普消拉斯損變換棕的應覆用考慮鮮到具柴體問尊題的幼物理莖意義幟：u(x,貧t)表示或溫度內，從而D=生0.再由邊值條件可知，C=F(p).

為求債出u(x,凱t),在上弱式中姐對p進行偵拉普殃拉斯閉逆變斷換4.檔4拉普蹈拉斯伴變換姑的應塑用由拉考普拉偉斯變扇換表巖知，4.謀4拉普傍拉斯悶變換偽的應堪用4.午4拉普謎拉斯示變換體的應冰用積分魄變換蒙法求粗解定肺解問目題的深原則邪和步仙驟：1)選取恰當?shù)姆e分變換。主要考慮自變量取值范圍，傅立葉變換要求取值范圍是，拉普拉斯變換要求取值范圍是3)注意定解條件的形式。假如對x進行拉普拉斯變換，而原方程是關于為x的k

階方程，則定解條件中必須出現(xiàn)2）傅結立葉稅變換逃要求僚原象桑函數(shù)表在R上絕萄對可腳積,許多潔函數(shù)愿不能茅作傅自立葉跌變換數(shù)學心物理扣方程+定解巧條件解常微累分方找程+定解松條件解積分鳳變換逆變嗎換選取哭恰當亦的積他分變示換，近對某顆個（