第四章積分變換法

第四章積分變換法4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)4.2傅立葉變換的應(yīng)用4.3拉普拉斯變換的概念和性質(zhì)4.4拉普拉斯變換的應(yīng)用定義：假設(shè)I

是數(shù)集(實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù))，K(s,x)為上的函數(shù),這里[a,b]為任意區(qū)間。如果

f(x)在區(qū)間[a,b]有定義,且K(s,x)f(x)為[a,b]上可積函數(shù),則含參變量積分定義了一個(gè)從f(x)到F(s)的變換,稱(chēng)為積分變換,K(s,x)為變換的核。常見(jiàn)的積分變換有傅立葉變換和拉普拉斯變換。

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換

記作：假設(shè)f(x)

在上有定義，在上絕對(duì)可積，在任一有限區(qū)間上有有限個(gè)極大值、極小值，且至多有有限個(gè)第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)，則函數(shù)稱(chēng)為f(t)的傅立葉變換。即是區(qū)間上，核為的積分變換

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉逆變換定義為：記作：當(dāng)f(x)滿(mǎn)足上述條件時(shí)，有傅立葉積分定理：

t是連續(xù)點(diǎn)t是第一類(lèi)間斷點(diǎn)特別的，當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí)

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)傅立葉變換具有如下性質(zhì):1)線性性質(zhì)：設(shè)f,g是絕對(duì)可積的函數(shù)，為數(shù)

2)微分運(yùn)算性質(zhì)

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)3)對(duì)傅立葉變換后的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)4)卷積性質(zhì)設(shè)f(x)，g(x)

在上絕對(duì)可積,定義卷積：

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)5)乘積運(yùn)算

傅立葉變換在乘積運(yùn)算和卷積運(yùn)算之間建立了一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。6)平移性質(zhì)

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)思考：對(duì)于u(x,y),若以y

為參數(shù),對(duì)x

作傅立葉變換由傅立葉變換的線性性質(zhì)同理,是參數(shù)

4.1傅立葉變換的概念和性質(zhì)4.2傅立葉變換的應(yīng)用例用積分變換法解方程：解：由自變量的取值范圍，對(duì)x進(jìn)行傅立葉變換，設(shè)那么方程轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

4.2傅立葉變換的應(yīng)用解得為了求出原方程的解,下面對(duì)關(guān)于進(jìn)行傅立葉逆變換.t是參數(shù)！

4.2傅立葉變換的應(yīng)用例用積分變換法解方程：解：作關(guān)于的傅立葉變換。設(shè)方程變?yōu)?/p>

4.2傅立葉變換的應(yīng)用可解得而則上式兩邊關(guān)于x作逆傅立葉變換，得

4.2傅立葉變換的應(yīng)用

4.2傅立葉變換的應(yīng)用例赴用積沈分變烤換法米求解張初值賽問(wèn)題來(lái)：解：生作關(guān)逝于x的傅戶(hù)立葉黑變換恥。設(shè)t是參斯數(shù)4.充2傅立嶺葉變寒換的饅應(yīng)用于是攻原方璃程變?nèi)瓰闈M(mǎn)足捕初始松條件4.水2傅立艦葉變餡換的升應(yīng)用的通串解為由初蘆始條省件ω是參戶(hù)數(shù)解常附微分吧方程判：4.責(zé)2傅立防葉變摔換的例應(yīng)用取傅輸立葉田逆變隙換，來(lái)得其中盈：注意燃到而4.康2傅立建葉變賭換的再應(yīng)用所以取傅立葉逆變換，得t是參強(qiáng)數(shù)4.躍2傅立落葉變潔換的濤應(yīng)用所以取傅立葉逆變換，得t是參刑數(shù)4.尼2傅立狹葉變滔換的沒(méi)應(yīng)用4.青3拉普南拉斯叢變換星的答概唱念和罵性質(zhì)拉普亞拉斯秧變換傅立葉變換要求函數(shù)f

在有定義并且絕對(duì)可積。很多常見(jiàn)函數(shù)，如常函數(shù)，多項(xiàng)式，三角函數(shù)等都不滿(mǎn)足條件。以時(shí)間t

為自變量的函數(shù)在區(qū)間也無(wú)意義。這些都限制了傅立葉變換的應(yīng)用。為此引入拉普拉斯(Laplace)變換。拉普拉斯變換的積分核為（單揮邊）迅拉普撓拉斯棋變換愈：4.鉆3拉普附拉斯雀變換底的概華念和腹性質(zhì)在復(fù)參數(shù)p

的某個(gè)區(qū)域內(nèi)收斂。（單邊）拉普拉斯變換對(duì)函數(shù)f(t)的要求：定理：若函數(shù)f(t)滿(mǎn)足下列條件：在任意有限區(qū)間上分段連續(xù)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)一個(gè)指數(shù)函數(shù)，即則：的Laplace變換在半平面存在。4.丹3拉普踢拉斯統(tǒng)變換楊的概寺念和甜性質(zhì)基本蜻性質(zhì)紹：1)基本灶變換:4.秤3拉普鹿拉斯邊變換就的概繳念和角性質(zhì)2)線性恰性質(zhì)3)微分濟(jì)性質(zhì)若則4.搭3拉普湊拉斯堆變換辨的概陜念和細(xì)性質(zhì)4)積分耍性質(zhì)6)位移性質(zhì)7)延遲性質(zhì)5)對(duì)拉普拉斯變換求導(dǎo)4.亞3拉普棚拉斯飯變換覽的概瞇念和嬌性質(zhì)8)卷積性質(zhì)應(yīng)用：拉斃普拉探斯變泄換既止適用霧于常勁微分?jǐn)胤匠?如P3踏8),也適邪用于響偏微媽分方酬程。4.舟3拉普軌拉斯抽變換相的概勿念和蛛性質(zhì)例解常賓微分爆方程濁的初段值問(wèn)粉題:解：對(duì)t進(jìn)行刻拉普蔽拉斯器變換,設(shè)則原帝方程謹(jǐn)變?yōu)?.途3拉普頁(yè)拉斯平變換女的概和念和組性質(zhì)對(duì)p進(jìn)行叔拉普工拉斯某逆變鼠換,考慮果到有4.縮慧3拉普奇拉斯如變換購(gòu)的概訪念和燭性質(zhì)例隸設(shè)桂，嗚求解寶常微月分方近程的忠初值遲問(wèn)題:解攏對(duì)僚進(jìn)行牢拉普微拉斯擋變換,設(shè),則4.植3拉普寺拉斯塘變換屋的概臥念和籍性質(zhì)于是降原方復(fù)程變贊為由上鹿式得:對(duì)斷進(jìn)醋行拉先普拉術(shù)斯逆終變換,得4.仙3拉普悅拉斯胃變換音的概烈念和搬性質(zhì)拉普大拉斯雀變換插的反察演公淺式：4.苗3拉普路拉斯謀變換創(chuàng)的概榆念和堡性質(zhì)利用走留數(shù)找基本味定理為，可灘得4.孫3拉普菊拉斯建變換岡的概檢念和爪性質(zhì)4.陜3拉普仍拉斯慣變換順的概瞇念和亭性質(zhì)4.替3拉普摧拉斯仔變換忘的概賓念和酬性質(zhì)4.贏4拉普隱拉斯炒變換憶的應(yīng)舉用例：設(shè)x>0,半y禮>0,求解蛛定解鮮問(wèn)題解：對(duì)y進(jìn)行挎拉普答拉斯拌變換今。設(shè)則方鹽程變炭為：4.似4拉普涂拉斯贈(zèng)變換豪的應(yīng)扶用而變?yōu)?/p>

解OD遮E:對(duì)p取拉太普拉胞斯逆封變換誤，得4.哪4拉普個(gè)拉斯味變換坑的應(yīng)慣用解默問(wèn)題接歸結(jié)姥為求念解下派列定丟解問(wèn)延題:例靠一撕條半逢無(wú)限砌長(zhǎng)的腦桿，微端點(diǎn)房誠(chéng)溫度懷變化勝已知查，桿畏的初羽始溫勸度為0，求勺桿上落溫度晌分布樹(shù)規(guī)律攀。對(duì)t進(jìn)行斷拉普適拉斯伶變換怎么賣(mài)變換與？為什鄰么？知道的值了4.唉4拉普裂拉斯業(yè)變換交的應(yīng)臂用分析由于姑，故踢不能瓶用傅膨立葉波變換歷，而伐要用頭拉普潛拉斯興變換衛(wèi)。如念果對(duì)御進(jìn)行司拉普名拉斯況變換省，由炮于方隔程中技出現(xiàn)泥了,在變君換中柿需要奶知道哪以及堤的值碰；如氏果對(duì)進(jìn)行掛拉普濟(jì)拉普肝拉斯盟變換扮，由離于方炸程中羽出現(xiàn)葵了屢，在跑變換罪中需針要知休道會(huì)。荒因此虹，我膝們對(duì)透進(jìn)行慮拉普響拉斯蒜變換。4.智4拉普屑拉斯拔變換塊的應(yīng)咬用對(duì)t進(jìn)行暈拉普猾拉斯嘴變換罵，設(shè)于是雀方程架變?yōu)檫@是改二階雖常微唯分方頌程的葵邊值爽問(wèn)題圣，它范的通皆解為二階賠方程園，但惜是僅心有一類(lèi)個(gè)邊殊界條賞件！冤需要跪引入莖自然滿(mǎn)邊界葵條件.4.藍(lán)1傅立圍葉變遵換的敵概念校和性懇質(zhì)4.梅4拉普消拉斯損變換棕的應(yīng)覆用考慮鮮到具柴體問(wèn)尊題的幼物理莖意義幟：u(x,貧t)表示或溫度內(nèi)，從而D=生0.再由邊值條件可知，C=F(p).

為求債出u(x,凱t),在上弱式中姐對(duì)p進(jìn)行偵拉普殃拉斯閉逆變斷換4.檔4拉普蹈拉斯伴變換姑的應(yīng)塑用由拉考普拉偉斯變扇換表巖知，4.謀4拉普傍拉斯悶變換偽的應(yīng)堪用4.午4拉普謎拉斯示變換體的應(yīng)冰用積分魄變換蒙法求粗解定肺解問(wèn)目題的深原則邪和步仙驟：1)選取恰當(dāng)?shù)姆e分變換。主要考慮自變量取值范圍，傅立葉變換要求取值范圍是，拉普拉斯變換要求取值范圍是3)注意定解條件的形式。假如對(duì)x進(jìn)行拉普拉斯變換，而原方程是關(guān)于為x的k

階方程，則定解條件中必須出現(xiàn)2）傅結(jié)立葉稅變換逃要求僚原象桑函數(shù)表在R上絕萄對(duì)可腳積,許多潔函數(shù)愿不能茅作傅自立葉跌變換數(shù)學(xué)心物理扣方程+定解巧條件解常微累分方找程+定解松條件解積分鳳變換逆變嗎換選取哭恰當(dāng)亦的積他分變示換，近對(duì)某顆個(gè)（