結(jié)構(gòu)力學(xué)-力矩分配法分解

結(jié)構(gòu)力學(xué)——力矩分配法分解學(xué)習(xí)目的和要求

目的：力矩分配法是計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架的一種實(shí)用計(jì)算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到桿端彎矩。運(yùn)算簡(jiǎn)單，方法機(jī)械，便于掌握。

要求：熟練掌握力矩分配法的基本概念與連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架的計(jì)算。掌握無(wú)剪力分配法的計(jì)算，了解用力矩分配法計(jì)算有側(cè)移剛架。

第一節(jié)力矩分配法的基本概念一、引言

對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算，我們前面學(xué)習(xí)了兩種基本的方法—力法和位移法，二者的共同特點(diǎn)是都要建立和求解聯(lián)立方程組，當(dāng)未知量太多時(shí)，計(jì)算量也相應(yīng)的增大，同時(shí)，在求得未知量后，還需要利用桿端彎矩的疊加公式求得桿端彎矩，整個(gè)計(jì)算求解過(guò)程較繁瑣。為了尋求計(jì)算超靜定剛架更簡(jiǎn)捷的途徑，自20世紀(jì)30年代以來(lái)，又陸續(xù)出現(xiàn)了各種漸近法，如力矩分配法、無(wú)剪力分配法、迭代法等。而這些方法的理論基礎(chǔ)都是位移法，共同特點(diǎn)是避免了組成和解算典型方程，而以逐次漸近的方法來(lái)計(jì)算桿端彎矩，其結(jié)果的精度隨計(jì)算輪次的增加而提高，最后收斂于精確值。二、力矩分配法的概念1、力矩分配法：主要用于連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移(側(cè)移)剛架的計(jì)算，其特點(diǎn)是不需要建立和求解聯(lián)立方程組，而在其計(jì)算簡(jiǎn)圖上直接進(jìn)行計(jì)算或列表計(jì)算，就能直接求得個(gè)桿端彎矩。理論基礎(chǔ)：位移法力矩分配法計(jì)算對(duì)象：桿端彎矩計(jì)算方法：逐次逼近的方法使用范圍：連續(xù)梁和無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移的剛架

力矩分配法的理論基礎(chǔ)是位移法，故力矩分配法中對(duì)桿端轉(zhuǎn)角、桿端彎矩、固端彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定與位移法相同，即都假設(shè)對(duì)桿端順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正號(hào)。作用于結(jié)點(diǎn)的外力偶荷載、作用于附加剛臂的約束反力矩，也假定為對(duì)結(jié)點(diǎn)或附加剛臂順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正號(hào)。2、力矩分配法的正負(fù)號(hào)規(guī)定3、力矩分配法的三要素（1）計(jì)算單跨超靜定梁的固端彎矩固端彎矩：常用的三種基本結(jié)構(gòu)的單跨超靜定梁，在支座移動(dòng)和幾種常見(jiàn)的荷載作用下的桿端彎矩，可用力法計(jì)算或在計(jì)算表中查得。（2）計(jì)算結(jié)點(diǎn)各桿端的彎矩分配系數(shù)μ（3）計(jì)算桿件由近端向遠(yuǎn)端傳遞的彎矩傳遞系數(shù)C（用力矩分配法計(jì)算連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架，需要先解決三個(gè)問(wèn)題：）4、相關(guān)參數(shù)的概念（1）轉(zhuǎn)動(dòng)剛度S：表示桿端對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的抵抗能力，在數(shù)值上等于桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)所需要施加的力矩。遠(yuǎn)端固定，SAB

=4i；遠(yuǎn)端鉸支，SAB

=3i遠(yuǎn)端滑動(dòng)，SAB

=i；遠(yuǎn)端自由，SAB

=0說(shuō)明：在SAB中，A端是施力端，也稱為近端，B端稱為遠(yuǎn)端桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度不僅與桿件的線剛度i有關(guān)，而且與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)。（2）彎矩分配系數(shù)μ和彎矩分配可以看出，剛結(jié)點(diǎn)A在外力偶荷載作用下，結(jié)點(diǎn)A上各桿在A端的彎矩與各桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度成正比，由此我們進(jìn)入分配系數(shù)定義：結(jié)點(diǎn)處，某桿的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與匯交于該結(jié)點(diǎn)的所有桿件的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度之和的比值。特性：相交于的所有桿件的分配系數(shù)之和為1彎矩分配：近端彎矩=分配系數(shù)×結(jié)點(diǎn)彎矩遠(yuǎn)端彎矩=近端彎矩×傳遞系數(shù)（3）彎矩傳遞系數(shù)和彎矩傳遞傳遞系數(shù)C：表示當(dāng)桿端發(fā)生轉(zhuǎn)角時(shí)，桿件遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值。當(dāng)桿件的某一端發(fā)生轉(zhuǎn)角時(shí)，在該端產(chǎn)生的彎矩稱為近端彎矩，另一端產(chǎn)生的彎矩稱為遠(yuǎn)端彎矩。遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值稱為彎矩傳遞系數(shù)。在等截面桿件中，彎矩傳遞系數(shù)C隨遠(yuǎn)端的支承情況而不同。三種基本等截面直桿的傳遞系數(shù)如下：

遠(yuǎn)端固定遠(yuǎn)端鉸支

遠(yuǎn)端滑動(dòng)固定狀態(tài):放松狀態(tài):不平衡力矩變號(hào)，再乘以分配系數(shù)即為分配彎矩例題：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。桿端彎矩＝固端彎矩+分配彎矩+傳遞力矩最終狀態(tài):分配傳遞M通常采用列表方式計(jì)算練習(xí)：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。分配傳遞分配傳遞結(jié)點(diǎn)桿端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8BAC1l/2l2qll/2l例題：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖(EI=常數(shù))

。分配傳遞結(jié)點(diǎn)桿端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/81/4-1/4-1/8BAC12qlql2/8ql2/4ql2/4BAC1ql2/64ql2/1611ql2/323ql2/64M所得結(jié)果是近似解嗎?注1、力偶不引起固端彎矩注2、桿端最終彎矩注3、由于內(nèi)力只與各桿相對(duì)剛度有關(guān)，故可用相對(duì)值計(jì)算（EI可取任意值）練習(xí)：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。分配傳遞60kN.m30kN.mM練習(xí)：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖(利用傳遞系數(shù)的概念)。分配傳遞M例題：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖(利用傳遞系數(shù)的概念)。第三節(jié)多結(jié)點(diǎn)力矩分配法用力矩分配法計(jì)算多結(jié)點(diǎn)的連續(xù)梁和無(wú)側(cè)移剛架，只需人為制造只有一個(gè)分配單元的情形。方法：先固定，然后逐個(gè)放松。應(yīng)用單結(jié)點(diǎn)的基本運(yùn)算，就可逐步漸近求出桿端彎矩。第三節(jié)多結(jié)點(diǎn)力矩分配法

經(jīng)過(guò)一輪固定與放松，變形曲線與實(shí)際變形曲線已比較接近，但還不是實(shí)際的變形，因?yàn)閯偙凵线€殘存約束力矩，需要再次進(jìn)行一輪固定、放松過(guò)程。由于每次放松都是將一個(gè)約束力矩分解（因?yàn)?lt;1，C<1），所以幾個(gè)輪回約束力矩就會(huì)小到可以忽略了。通過(guò)逐漸逼近的方式直接求出桿端力矩。

1.變形逐漸趨于真實(shí)變形；剛臂反力逐漸趨于零。3.一般最終的桿端力矩與固端力矩是同量級(jí)的，要求精確到三位有效數(shù)字，計(jì)算中取4位計(jì)算，以保證前三位的精確度2.釋放順序是任意的，但通常先釋放不平衡力矩較大的分配單元（這樣收斂快）第三節(jié)多結(jié)點(diǎn)力矩分配法計(jì)算的指導(dǎo)思想由兩個(gè)步驟說(shuō)明：固定狀態(tài)的計(jì)算（與單點(diǎn)固定一樣）。即剛臂→荷載→固端力矩→約束力矩；放松狀態(tài)的計(jì)算（與單點(diǎn)放松不同）。力矩的分配和傳遞是在遠(yuǎn)端約束已知的情況下進(jìn)行的，因此，分配單元的相鄰結(jié)點(diǎn)不應(yīng)同時(shí)放松。每次只能放松一個(gè)結(jié)點(diǎn)，同時(shí)相鄰結(jié)點(diǎn)保持固定，所以，整個(gè)放松過(guò)程是輪流放松每一個(gè)結(jié)點(diǎn)來(lái)逐步完成的。

第三節(jié)多結(jié)點(diǎn)力矩分配法⑴加入剛臂，鎖住剛結(jié)點(diǎn)，將體系化成一組單跨超靜定梁（基本體系），計(jì)算各桿固端彎矩MF，由結(jié)點(diǎn)力矩平衡求剛臂內(nèi)的約束力矩（稱為結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩），基本體系與原結(jié)構(gòu)的差別是：在受力上，結(jié)點(diǎn)1、2上多了不平衡力矩；在變形上結(jié)點(diǎn)1、2不能轉(zhuǎn)動(dòng).⑵為了取消結(jié)點(diǎn)1的剛臂，放松結(jié)點(diǎn)1（結(jié)點(diǎn)2

仍鎖?。诮Y(jié)點(diǎn)1加上負(fù)的不平衡力矩，此時(shí)梁只有一個(gè)角位移，并且受結(jié)點(diǎn)集中力偶作用，可按基本運(yùn)算進(jìn)行力矩分配和傳遞。結(jié)點(diǎn)1

處于暫時(shí)的平衡。此時(shí)2

點(diǎn)的不平衡力矩是原不平衡力矩加上1

點(diǎn)傳遞來(lái)的傳遞力矩。計(jì)算過(guò)程詳述第三節(jié)多結(jié)點(diǎn)力矩分配法⑷傳遞彎矩的到來(lái)，又打破了1

點(diǎn)的平衡，1

點(diǎn)又有了新的約束力矩M傳，重復(fù)⑵、⑶兩步，經(jīng)多次循環(huán)后各結(jié)點(diǎn)的約束力矩都趨于零，恢復(fù)到了原結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)。一般2～3個(gè)循環(huán)就可獲得足夠的精度。(5)疊加：最后桿端彎矩：

M=MF

+∑M分配＋∑M傳遞

⑶為了取消結(jié)點(diǎn)2的剛臂，放松結(jié)點(diǎn)2，在結(jié)點(diǎn)2加上新的負(fù)不平衡力矩，為了只在2點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)角位移，結(jié)點(diǎn)1再鎖住，按基本運(yùn)算進(jìn)行力矩分配和傳遞。結(jié)點(diǎn)2處于暫時(shí)的平衡。6m6mEI=1EI=180kN3m3mEI=1ABCD8kN/m0.50.50.50.5MF-2424-242460-60MMC&-18-18-9-94.54.52.2-1.1-1.12.2-0.6-0.60.30.30.10.1M-40.840.9-69.619.2-19.226.3704119261203636M例題：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖?！?….….….2.不相鄰點(diǎn)可同時(shí)釋放.1.為避免小數(shù)運(yùn)算，可先將固端彎矩?cái)U(kuò)大100倍；對(duì)結(jié)果再縮小100倍。EI=const21.24.211.0M例題：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。3B是懸臂梁，轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)點(diǎn)3

時(shí)，懸臂可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，固其轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為零M3B＝100010MF10000.50.50.570.43-1000-5000.430.570.570.43MF或例題：用力矩分配法求圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖(利用傳遞系數(shù)的概念)。0.4290.5710.5710.429-150030003000MFN·m10mEIEI10m10m=1cmABCD例題：有支座移動(dòng)（已知結(jié)點(diǎn)線位移）E=200GPa，I

=

2500cm4繪制彎矩圖。0.4290.5710.5710.429-150030003000-184-15-2-857525-1713-1287105979611-2-3-23-30-276-367MFMMC&MC1201-1201-18011801N·mN·m1.201.80kN·m變形條件的校核：桿端力與固端力之差由于所以第三節(jié)多結(jié)點(diǎn)力矩分配法4m4m8m8m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kNABCC固端彎矩最后彎矩－128128－75086.6－86.6124