結構力學-力矩分配法分解

結構力學——力矩分配法分解學習目的和要求

目的：力矩分配法是計算連續(xù)梁和無側移剛架的一種實用計算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到桿端彎矩。運算簡單，方法機械，便于掌握。

要求：熟練掌握力矩分配法的基本概念與連續(xù)梁和無側移剛架的計算。掌握無剪力分配法的計算，了解用力矩分配法計算有側移剛架。

第一節(jié)力矩分配法的基本概念一、引言

對于超靜定結構的內力計算，我們前面學習了兩種基本的方法—力法和位移法，二者的共同特點是都要建立和求解聯(lián)立方程組，當未知量太多時，計算量也相應的增大，同時，在求得未知量后，還需要利用桿端彎矩的疊加公式求得桿端彎矩，整個計算求解過程較繁瑣。為了尋求計算超靜定剛架更簡捷的途徑，自20世紀30年代以來，又陸續(xù)出現(xiàn)了各種漸近法，如力矩分配法、無剪力分配法、迭代法等。而這些方法的理論基礎都是位移法，共同特點是避免了組成和解算典型方程，而以逐次漸近的方法來計算桿端彎矩，其結果的精度隨計算輪次的增加而提高，最后收斂于精確值。二、力矩分配法的概念1、力矩分配法：主要用于連續(xù)梁和無結點線位移(側移)剛架的計算，其特點是不需要建立和求解聯(lián)立方程組，而在其計算簡圖上直接進行計算或列表計算，就能直接求得個桿端彎矩。理論基礎：位移法力矩分配法計算對象：桿端彎矩計算方法：逐次逼近的方法使用范圍：連續(xù)梁和無結點線位移的剛架

力矩分配法的理論基礎是位移法，故力矩分配法中對桿端轉角、桿端彎矩、固端彎矩的正負號規(guī)定與位移法相同，即都假設對桿端順時針旋轉為正號。作用于結點的外力偶荷載、作用于附加剛臂的約束反力矩，也假定為對結點或附加剛臂順時針旋轉為正號。2、力矩分配法的正負號規(guī)定3、力矩分配法的三要素（1）計算單跨超靜定梁的固端彎矩固端彎矩：常用的三種基本結構的單跨超靜定梁，在支座移動和幾種常見的荷載作用下的桿端彎矩，可用力法計算或在計算表中查得。（2）計算結點各桿端的彎矩分配系數(shù)μ（3）計算桿件由近端向遠端傳遞的彎矩傳遞系數(shù)C（用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架，需要先解決三個問題：）4、相關參數(shù)的概念（1）轉動剛度S：表示桿端對轉動的抵抗能力，在數(shù)值上等于桿端產生單位轉角時所需要施加的力矩。遠端固定，SAB

=4i；遠端鉸支，SAB

=3i遠端滑動，SAB

=i；遠端自由，SAB

=0說明：在SAB中，A端是施力端，也稱為近端，B端稱為遠端桿端轉動剛度不僅與桿件的線剛度i有關，而且與遠端的支承情況有關。（2）彎矩分配系數(shù)μ和彎矩分配可以看出，剛結點A在外力偶荷載作用下，結點A上各桿在A端的彎矩與各桿的轉動剛度成正比，由此我們進入分配系數(shù)定義：結點處，某桿的轉動剛度與匯交于該結點的所有桿件的轉動剛度之和的比值。特性：相交于的所有桿件的分配系數(shù)之和為1彎矩分配：近端彎矩=分配系數(shù)×結點彎矩遠端彎矩=近端彎矩×傳遞系數(shù)（3）彎矩傳遞系數(shù)和彎矩傳遞傳遞系數(shù)C：表示當桿端發(fā)生轉角時，桿件遠端彎矩與近端彎矩的比值。當桿件的某一端發(fā)生轉角時，在該端產生的彎矩稱為近端彎矩，另一端產生的彎矩稱為遠端彎矩。遠端彎矩與近端彎矩的比值稱為彎矩傳遞系數(shù)。在等截面桿件中，彎矩傳遞系數(shù)C隨遠端的支承情況而不同。三種基本等截面直桿的傳遞系數(shù)如下：

遠端固定遠端鉸支

遠端滑動固定狀態(tài):放松狀態(tài):不平衡力矩變號，再乘以分配系數(shù)即為分配彎矩例題：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖。桿端彎矩＝固端彎矩+分配彎矩+傳遞力矩最終狀態(tài):分配傳遞M通常采用列表方式計算練習：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖。分配傳遞分配傳遞結點桿端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8BAC1l/2l2qll/2l例題：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖(EI=常數(shù))

。分配傳遞結點桿端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/81/4-1/4-1/8BAC12qlql2/8ql2/4ql2/4BAC1ql2/64ql2/1611ql2/323ql2/64M所得結果是近似解嗎?注1、力偶不引起固端彎矩注2、桿端最終彎矩注3、由于內力只與各桿相對剛度有關，故可用相對值計算（EI可取任意值）練習：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖。分配傳遞60kN.m30kN.mM練習：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖(利用傳遞系數(shù)的概念)。分配傳遞M例題：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖(利用傳遞系數(shù)的概念)。第三節(jié)多結點力矩分配法用力矩分配法計算多結點的連續(xù)梁和無側移剛架，只需人為制造只有一個分配單元的情形。方法：先固定，然后逐個放松。應用單結點的基本運算，就可逐步漸近求出桿端彎矩。第三節(jié)多結點力矩分配法

經過一輪固定與放松，變形曲線與實際變形曲線已比較接近，但還不是實際的變形，因為剛臂上還殘存約束力矩，需要再次進行一輪固定、放松過程。由于每次放松都是將一個約束力矩分解（因為<1，C<1），所以幾個輪回約束力矩就會小到可以忽略了。通過逐漸逼近的方式直接求出桿端力矩。

1.變形逐漸趨于真實變形；剛臂反力逐漸趨于零。3.一般最終的桿端力矩與固端力矩是同量級的，要求精確到三位有效數(shù)字，計算中取4位計算，以保證前三位的精確度2.釋放順序是任意的，但通常先釋放不平衡力矩較大的分配單元（這樣收斂快）第三節(jié)多結點力矩分配法計算的指導思想由兩個步驟說明：固定狀態(tài)的計算（與單點固定一樣）。即剛臂→荷載→固端力矩→約束力矩；放松狀態(tài)的計算（與單點放松不同）。力矩的分配和傳遞是在遠端約束已知的情況下進行的，因此，分配單元的相鄰結點不應同時放松。每次只能放松一個結點，同時相鄰結點保持固定，所以，整個放松過程是輪流放松每一個結點來逐步完成的。

第三節(jié)多結點力矩分配法⑴加入剛臂，鎖住剛結點，將體系化成一組單跨超靜定梁（基本體系），計算各桿固端彎矩MF，由結點力矩平衡求剛臂內的約束力矩（稱為結點的不平衡力矩），基本體系與原結構的差別是：在受力上，結點1、2上多了不平衡力矩；在變形上結點1、2不能轉動.⑵為了取消結點1的剛臂，放松結點1（結點2

仍鎖住），在結點1加上負的不平衡力矩，此時梁只有一個角位移，并且受結點集中力偶作用，可按基本運算進行力矩分配和傳遞。結點1

處于暫時的平衡。此時2

點的不平衡力矩是原不平衡力矩加上1

點傳遞來的傳遞力矩。計算過程詳述第三節(jié)多結點力矩分配法⑷傳遞彎矩的到來，又打破了1

點的平衡，1

點又有了新的約束力矩M傳，重復⑵、⑶兩步，經多次循環(huán)后各結點的約束力矩都趨于零，恢復到了原結構的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)。一般2～3個循環(huán)就可獲得足夠的精度。(5)疊加：最后桿端彎矩：

M=MF

+∑M分配＋∑M傳遞

⑶為了取消結點2的剛臂，放松結點2，在結點2加上新的負不平衡力矩，為了只在2點產生一個角位移，結點1再鎖住，按基本運算進行力矩分配和傳遞。結點2處于暫時的平衡。6m6mEI=1EI=180kN3m3mEI=1ABCD8kN/m0.50.50.50.5MF-2424-242460-60MMC&-18-18-9-94.54.52.2-1.1-1.12.2-0.6-0.60.30.30.10.1M-40.840.9-69.619.2-19.226.3704119261203636M例題：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖?！?….….….2.不相鄰點可同時釋放.1.為避免小數(shù)運算，可先將固端彎矩擴大100倍；對結果再縮小100倍。EI=const21.24.211.0M例題：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖。3B是懸臂梁，轉動結點3

時，懸臂可自由轉動，固其轉動剛度為零M3B＝100010MF10000.50.50.570.43-1000-5000.430.570.570.43MF或例題：用力矩分配法求圖示結構彎矩圖(利用傳遞系數(shù)的概念)。0.4290.5710.5710.429-150030003000MFN·m10mEIEI10m10m=1cmABCD例題：有支座移動（已知結點線位移）E=200GPa，I

=

2500cm4繪制彎矩圖。0.4290.5710.5710.429-150030003000-184-15-2-857525-1713-1287105979611-2-3-23-30-276-367MFMMC&MC1201-1201-18011801N·mN·m1.201.80kN·m變形條件的校核：桿端力與固端力之差由于所以第三節(jié)多結點力矩分配法4m4m8m8m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓24kN/m50kNABCC固端彎矩最后彎矩－128128－75086.6－86.6124