第05講基本不等式（解析版）

第5講基本不等式1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(簡(jiǎn)記：和定積最大)常用結(jié)論幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．考點(diǎn)1利用基本不等式求最值[名師點(diǎn)睛]1.通過(guò)配湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．2.常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.消元法求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．但應(yīng)注意保留元的范圍．[典例]1.（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足條件，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2故選：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，利用基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：D.3．（多選）（2022·河北石家莊·二模）設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．上的最小值為2 B．的最大值為1C．的最大值為4 D．的最小值為【答案】AB【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，最大值為2，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：AB4.[2021河南平頂山模擬]若對(duì)于任意x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))[答案]A[解析]由x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，令t＝x＋eq\f(1,x)，則t≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，t取得最小值2.eq\f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq\f(1,5)，所以對(duì)于任意的x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a≥eq\f(1,5).[舉一反三]1．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校二模（文））函數(shù)的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因?yàn)?，所?x－1>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為5．故選：D．2．（2022·安徽·高三階段練習(xí)（文））已知，，，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】解：因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)；故選：C3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b為非負(fù)數(shù)，且滿足，則的最大值為（

）A．40 B． C．42 D．【答案】D【解析】，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：D4．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故選：B.5．（多選）（2022·河北保定·一模）下面描述正確的是（

）A．已知，，且，則B．函數(shù)，若，且，則的最小值是C．已知，則的最小值為D．已知，則的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，∵，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，∴A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，又，所以由?duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)題意，已知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，令，所以，所以，此時(shí)無(wú)解，所以選項(xiàng)D不正確，故選：AC．6．（多選）（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以成立.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以成立.故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所?記，則，所以，所以，即.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樗?故D錯(cuò)誤.故選：AB7．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_(kāi)___________，此時(shí)____________．【答案】

【解析】,為正實(shí)數(shù),且,當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取“=”故答案為:8．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】9【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取等條件滿足，所以的最小值為9.故答案為：99．（2022·天津·大港一中高三階段練習(xí)）設(shè)，那么的最小值是___________.【答案】【解析】解：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取等號(hào)；故答案為：10．（2022·天津河北·一模）已知，，且，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】.因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等.所以.，即的最大值為.故答案為：.11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的最小值；【答案】【解析】由.所以≥，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上，的最小值為.考點(diǎn)2利用基本不等式證明不等式[名師點(diǎn)睛]證明不等式時(shí)，可依據(jù)待求證式兩端的式子結(jié)構(gòu)，合理選擇重要不等式及其變形不等式來(lái)證．先局部運(yùn)用基本不等式，然后利用不等式的性質(zhì)，通過(guò)不等式相加(有時(shí)相乘)綜合推出要求證的不等式，這種證明方法在證明輪換對(duì)稱不等式時(shí)具有一定的普遍性．[典例]（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知都是正數(shù)，求證：(1)；(2)若，則.【解】(1)，∵都是正數(shù)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立，∴.(2)，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立，∴.[舉一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（文））已知a，b，c為正數(shù).(1)求的最小值；(2)求證：.【解】(1)因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.(2)因?yàn)椋?，，所以三式相加得，所以，?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)等號(hào)成立2．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高三階段練習(xí)（文））已知.(1)若，求的最小值；(2)求證：.【解】(1)因?yàn)?，所以，又，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.(2)因?yàn)棰?，②，③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).即成立.3．（2022·河南開(kāi)封·二模（文））已知，且abc=1.(1)求證：；(2)若a=b+c，求a的最小值.【解】(1)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.(2)依題意，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，所以的最小值為，此時(shí).4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，，滿足．(1)求的最大值；(2)證明：．【解】(1)由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)．又，所以．故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值1．(2)證明：要證，需證．因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．故．考點(diǎn)3基本不等式中的恒成立問(wèn)題[名師點(diǎn)睛]1．已知不等式恒成立求參數(shù)范圍的一般方法是分離參數(shù)法，且有a>f(x)恒成立?a>f(x)max，a<f(x)恒成立?a<f(x)min.2．求最值時(shí)要注意其中變量的條件，有些不能用基本不等式的問(wèn)題可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性．[典例]1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)楹愠闪?，所以，即；故選：C2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，且恒成立，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：等價(jià)于，故得到則的最大值是4.故選：C.[舉一反三]1．（2021·重慶梁平·高三階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．由題意，得，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，又，所以，即．故選：D．2．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)任意正實(shí)數(shù)不等式恒成立，則（

）A．實(shí)數(shù)有最小值1 B．實(shí)數(shù)有最大值1C．實(shí)數(shù)有最小值 D．實(shí)數(shù)有最大值【答案】C【解析】，故，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，，時(shí)等號(hào)成立，，故，故.故選：C.3．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）當(dāng)，，時(shí)，恒成立，則的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【解析】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)椋艉愠闪ⅲ瑒t，解得．故選：AB.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）不等式對(duì)任意正數(shù)x，y，z恒成立，則a的最大值是__________．【答案】1【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1．故答案為：5．（2021·重慶一中高三階段練習(xí)）已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值是___________.【答案】2【解析】解：因?yàn)?，則，則，即，又，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最小值是2.故答案為：2.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)____．【答案】2【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，的最小值為2故答案為：2考點(diǎn)4基本不等式與其他專題綜合[名師點(diǎn)睛]有關(guān)函數(shù)最值的實(shí)際問(wèn)題的解題技巧1．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．2．解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍．3．在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．[典例]1．（2022·安徽安慶·二模（文））若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】因函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則，，即，整理得，當(dāng)時(shí)，則成立，，當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，則有，當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，則有，綜上得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：2.[2021湖北鄂東南聯(lián)考]方程(x2018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2016)＝2018x2017的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．[答案]1[解析]由題意知x>0，∴(x2018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2016)≥2eq\r(x2018·1)×eq\f(1,2)(2eq\r(1·x2016)＋2eq\r(x2·x2014)＋…＋2eq\r(x2016·1))＝2018x2017，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立，因此實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為1.3．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）在足球比賽中，球員在對(duì)方球門前的不同的位置起腳射門對(duì)球門的威脅是不同的，出球點(diǎn)對(duì)球門的張角越大，射門的命中率就越高.如圖為室內(nèi)5人制足球場(chǎng)示意圖，設(shè)球場(chǎng)（矩形）長(zhǎng)大約為40米，寬大約為20米，球門長(zhǎng)大約為4米.在某場(chǎng)比賽中有一位球員欲在邊線上某點(diǎn)處射門（假設(shè)球貼地直線運(yùn)行），為使得張角最大，則大約為（

）（精確到1米）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【解析】由題意知，，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，所以大約為10米.故選：C.[舉一反三]1．（2022·北京·101中學(xué)高三階段練習(xí)）已知某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為．設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為f（Q）（單位：元/件），則f（Q）的最小值是（

）A．30 B．60 C．900 D．1800【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以f（Q）的最小值是60.故選：B.2．（多選）（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知為銳角三角形，且，則下列結(jié)論中正確的是（