第11講恒磁場（解析版）

2020年強基計劃物理專題講解（核心素養(yǎng)提升）第11講恒磁場知識精講【拓展知識】1．幾種磁感應強度的計算公式（1）定義式：通電導線與磁場方向垂直。（2）真空中長直導線電流周圍的磁感應強度：（）。式中r為場點到導線間的距離，I為通過導線的電流，μ0為真空中的磁導率，大小為4π×10-7H/m。（3）長度為L的有限長直線電流I外的P處磁感應強度：。（4）長直通電螺線管內(nèi)部的磁感應強度：B=μ0nI。式中n為單位長度螺線管的線圈的匝數(shù)。2．均勻磁場中的載流線圈的磁力矩公式：M=NBISsinθ。式中N為線圈的匝數(shù)，S為線圈的面積，θ為線圈平面與磁場方向的夾角。3．洛倫茲力F=qvBsinθ(θ是v、B之間的夾角)當θ=0°時，帶電粒子不受磁場力的作用。當θ=90°時，帶電粒子做勻速圓周運動。當0°＜θ＜時90°，帶電粒子做等距螺旋線運動，回旋半徑、螺距和回旋周期分別為；；；4．霍爾效應將一載流導體放在磁場中，由于洛倫茲力的作用，會在磁場和電流兩者垂直的方向上出現(xiàn)橫向電勢差，這一現(xiàn)象稱為霍爾效應，這電勢差稱為霍爾電勢差。典型例題1．(復旦大學自主招生)一個充電的球形電容器，由于絕緣層的輕微漏電而緩慢放電，則()A．放電電流將產(chǎn)生垂直于球面的磁場B．放電電流將產(chǎn)生沿著經(jīng)度線的磁場C．放電電流將產(chǎn)生沿著緯度線的磁場D．放電電流不產(chǎn)生磁場【答案】D【解析】由于充電的球形電容器中的電場方向為徑向均勻輻射狀，故放電電流也為徑向均勻輻射狀，放電電流垂直于球面。但是由于對稱性，放電電流產(chǎn)生磁場將相互抵消，選項D正確。2．(“卓越”自主招生)如圖所示，勻強磁場的方向垂直于紙面向里。在磁場中某點沿水平虛線方向發(fā)射兩個帶正電的粒子A和B，其速度分別為vA、vB，兩者的質(zhì)量和電荷量均相同，兩個粒子分別經(jīng)過tA、tB從PA、PB射出，且PA、PB在同一水平線上，則()A．vA＞vB,tA＞tB B．vA＞vB,tA＜tBC．vA＜vB,tA＞tB D．vA＜vB,tA＜tB【答案】B【解析】畫出粒子運動的軌跡，由圖可知，vA＞vB。根據(jù)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期公式可知，粒子在勻強磁場中運動時間與軌跡所對的圓心角成正比，所以tA＜tB，選項B正確。3．(復旦大學自主招生)把動能和速度方向相同的質(zhì)子和α粒子分離開，如果使用勻強電場及勻強磁場，可行的方法是()A．只能用電場 B．只能用磁場C．電場和磁場都可以 D．電場和磁場都不行【答案】A【解析】帶電粒子垂直電場方向射入勻強電場中，利用類平拋運動規(guī)律，帶電粒子在電場中偏轉(zhuǎn)距離y＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)eq\f(qE,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,v)))2＝eq\f(qEL2,2mv2)。由于質(zhì)子和α粒子帶電量q不同，在電場中偏轉(zhuǎn)距離y不同，可以把動能和速度方向相同的質(zhì)子和α粒子分離開，選項A正確。帶電粒子垂直磁場方向進入勻強磁場中，利用洛倫茲力等于向心力，qvB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(\r(2mEk),qB)。而質(zhì)子的eq\f(\r(m),q)與α粒子的eq\f(\r(m),q)相等，所以利用勻強磁場不能把動能和速度方向相同的質(zhì)子和α粒子分離開，選項B、C、D錯誤。4．(清華五校自主招生)如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點。有無數(shù)帶有同樣電荷、具有同樣質(zhì)量的粒子在紙面內(nèi)沿各個方向以同樣的速率通過P點進入磁場。這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段圓弧上，這段圓弧的弧長是圓周長的eq\f(1,3)。將磁感應強度的大小從原來的B1變?yōu)锽2，結(jié)果相應的弧長變?yōu)樵瓉淼囊话?，則eq\f(B2,B1)等于()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)【答案】D【解析】設圓形區(qū)域磁場的半徑為r，磁感應強度的大小為B1時，從P點入射的粒子射出磁場時與磁場邊界的最遠交點為M(見圖甲)，由題意知∠POM＝120°，則該帶電粒子在磁場中的運動軌跡是以PM為直徑的圓。由幾何關系得軌跡圓半徑為R1＝eq\f(\r(3),2)r，磁感應強度的大小為B2時，從P點入射的粒子射出磁場時與磁場邊界的最遠交點為N(見圖乙)，由題意知∠PON＝60°，由幾何關系得軌跡圓半徑為R2＝eq\f(r,2)，R＝eq\f(mv,qB)∝eq\f(1,B)，所以eq\f(B2,B1)＝eq\f(R1,R2)＝eq\r(3)，選項D正確。5．(“北約”自主招生)如圖所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強磁場，磁感應強度B的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中a、b兩點在同一水平線上，兩點相距l(xiāng)。帶電量q>0，質(zhì)量為m的質(zhì)點P，以初速度v從a對準b射出。略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設定q、m和B均為不可改的給定量。(1)若無論l取什么值，均可使P經(jīng)直線運動通過b點，試問v應取什么值？(2)若v為(1)問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會經(jīng)曲線運動通過b點？(3)對每一個滿足(2)問要求的l值，計算各種可能的曲線運動對應的P從a到b所經(jīng)過的時間。(4)對每一個滿足(2)問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點？若能，再求P在而后運動過程中可達到的最大運動速率vmax?！窘馕觥?1)要使P經(jīng)直線運動通過b點，必有：mg＝qvB，解得：v＝eq\f(mg,qB)。①(2)設質(zhì)點速度為v＋Δv，質(zhì)點所受洛倫茲力為q(v＋Δv)B，與重力合力為q(v＋Δv)B－mg＝qΔvB，所以質(zhì)點的運動可視為沿ab連線方向做速度為v的勻速直線運動和速度為Δv的圓周運動的合運動，要使質(zhì)點通過b點，t＝nT，②T＝eq\f(2πm,qB)，③l＝vt，④聯(lián)立①②③④解得：l＝eq\f(2πnm2g,q2B2)(n＝1,2,3,4，…)。⑤(3)由②③解得：t＝eq\f(2πnm,qB)(n＝1,2,3,4，…)。(4)質(zhì)點P從a靜止釋放后的運動可視為沿水平方向速度v＝eq\f(mg,qB)的勻速直線運動和沿反方向的線速度v＝eq\f(mg,qB)的勻速圓周運動，一個周期質(zhì)點前進距離L＝vT＝eq\f(mg,qB)·eq\f(2πm,qB)＝eq\f(2πm2g,q2B2)。所以P從a靜止釋放后可以通過b點。當質(zhì)點做勻速圓周運動到最低點時運動速率最大，最大運動速率vmax＝2v＝eq\f(2mg,qB)。【答案】(1)eq\f(mg,qB)(2)eq\f(2πnm2g,q2B2)(n＝1,2,3,4，…)(3)eq\f(2πnm,qB)(n＝1,2,3,4，…)(4)eq\f(2mg,qB)6．(“華約”自主招生)如圖所示，在xOy平面內(nèi)有磁感應強度為B的勻強磁場，其中x∈(0，a)內(nèi)有磁場方向垂直xOy平面向里，在x∈(a，∞)內(nèi)有磁場方向垂直xOy平面向外，在x∈(－∞，0)內(nèi)無磁場。一個帶正電q、質(zhì)量為m的粒子(粒子重力不計)在x＝0處，以速度v0沿x軸正方向射入磁場。(1)若v0未知，但粒子做圓運動的軌道半徑為r＝eq\r(2)a，求粒子與x軸的交點坐標。(2)若無(1)中r＝eq\r(2)a的條件限制，粒子的初速度仍為v0(已知)，問粒子回到原點O需要使a為何值？【解析】(1)帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，設其軌道半徑為R，其在第一象限的運動軌跡如圖所示。此軌跡由兩段圓弧組成，圓心分別在C和C′處，軌跡與x軸交點為P。由對稱性可知C′在x＝2a直線上。設此直線與x軸交點為D，P點的x坐標為xP＝2a＋DP。過兩段圓弧的連接點作平行于x軸的直線EF，則DF＝R－eq\r(R2－a2)，C′F＝eq\r(R2－a2)，C′D＝C′F－DF，DP＝eq\r(R2－C′D2)由此可得P點的x坐標為xP＝2a＋2eq\r(R\r(R2－a2)－R2－a2)，代入題給條件得：xP＝2(1＋eq\r(\r(2)－1))a。(2)若要求帶電粒子能夠返回原點，由對稱性，其運動軌跡如圖所示，這時C′在x軸上。設∠CC′O＝α，粒子做圓周運動的軌道半徑為r，