恒成立與存在性問題的解題策略

恒成立與存在性問題的解題策略恒成立與存在性問題的解題策略36/36第36頁恒成立與存在性問題的解題策略恒成立與存在性問題的解題策略“恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略一、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值.設(shè)函數(shù)、，對任意的，存在，使得，則5、設(shè)函數(shù)、，對任意的，存在，使得，則6、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則7、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則8、設(shè)函數(shù)、，對任意的，存在，使得，設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)锳，g(x)在區(qū)間[c,d]上的值域?yàn)锽,則AB.9、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；10、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；恒成立問題的基本類型在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題,其表現(xiàn)形式通常有:在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立;某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R;某不等式的解為一切實(shí)數(shù);某表達(dá)式的值恒大于a等等…恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象。二、恒成立問題解決的基本策略大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題。等式中的恒成立問題，特別是多項(xiàng)式恒成立問題，常簡化為對應(yīng)次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個(gè)方程組來解決問題的。（一）兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題”思路1、思路2、如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值。這類問題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)中注意積累。（二）、賦值型——利用特殊值求解等式恒成立問題等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.例1．如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=對稱，那么a=（）.A.1B.-1C.D.-.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.例（備用）．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4定義映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1)→()A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0，則a4=1+b1+b2+b3+b4,又a4=1,所以b1+b2+b3+b4=0，故選D（三）分清基本類型，運(yùn)用相關(guān)基本知識，把握基本的解題策略1、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識求解,十分簡捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于同理，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0，則有nmnmoxynmoxy例2．對于滿足|a|2的所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|2時(shí)恒成立,設(shè)f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運(yùn)用。（1）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，則有（2）若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識求解。類型1：設(shè)在R上恒成立，上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)在區(qū)間上恒成立當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：設(shè)在區(qū)間(-∞,]上恒成立。f(x)>0a>0且<0或-b/2a>且f()>0f(x)<0a<0且<0或-b/2a>且f()<0類型4：設(shè)在區(qū)間[，+∞)上恒成立。f(x)>0a>0,<0或-b/2a<且f()>0f(x)<0a<0,<0或-b/2a<且f()<0例3．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)在R上恒成立問題，并且注意對二次項(xiàng)系數(shù)的討論.解：依題意，當(dāng)恒成立，所以，①當(dāng)此時(shí)②當(dāng)有綜上所述，f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，例4.已知函數(shù)，在R上恒成立，求的取值范圍.分析：的函數(shù)圖像都在X軸及其上方，如右圖所示：略解：變式1：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解析一.（零點(diǎn)分布策略）本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即Δ≤0或或，即a的取值范圍為[-7，2].解法二分析：（運(yùn)用二次函數(shù)極值點(diǎn)的分布分類討論）要使時(shí)，恒成立，只需的最小值即可.略解：（分類討論），令在上的最小值為.⑴當(dāng)，即時(shí)，又不存在.⑵當(dāng)，即時(shí)，又⑶當(dāng)，即時(shí)，又綜上所述，.變式2：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若把2移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時(shí)恒大于等于0的問題.例2已知，若恒成立，求a的取值范圍.2—2略解：，即在上成立.2—2⑴⑵綜上所述，.解法二：（運(yùn)用二次函數(shù)極值點(diǎn)的分布）⑴當(dāng)，即時(shí)，不存在.⑵當(dāng)，即時(shí)，，⑶當(dāng)，即時(shí)，，綜上所述.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)，求最值時(shí)，對于軸變區(qū)間定的情形，對軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反的，軸動區(qū)間定，方法一樣.對于二次函數(shù)在R上恒成立問題往往采用判別式法（如例4、例5），而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題3、變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。運(yùn)用不等式的相關(guān)知識不難推出如下結(jié)論：若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)<f(x)min;若對于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f(x)<g(a)恒成立，則g(a)>f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值)例5.已知三個(gè)不等式①，②，③．要使同時(shí)滿足①②的所有x的值滿足③，求m的取值范圍.略解：由①②得2<x<3,要使同時(shí)滿足①②的所有x的值滿足③,即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以例6.函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，若對所有的都成立，求的取值范圍.解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，又對所有的都成立.因此，只需大于或等于的最大值1，，即關(guān)于a的一次函數(shù)在[-1，1]上大于或等于0恒成立，即：利用變量分離解決恒成立問題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題補(bǔ)例．已知．若，且對任何不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，故只需考慮，此時(shí)原不等式變?yōu)榧垂视趾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以；對于函數(shù)=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，又，所以，此時(shí)的取值范圍是．=2\*GB3②當(dāng)，在上，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)要使存在，必須有即，此時(shí)的取值范圍是綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．4、根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶)函數(shù)，則對一切定義域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函數(shù)y=f(x)的周期為T，則對一切定義域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。5、直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例7.的取值范圍.分析：設(shè)y=|x+1|-|x-2|,即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|的最小值，畫出此函數(shù)的圖象即可求得a的取值范圍.解：令在直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，由圖象可看出，要使只需.故實(shí)數(shù)注：本題中若將改為①，同樣由圖象可得a>3;②,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.例8.設(shè)常數(shù)a∈R,函數(shù)f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為。解：1）a<=0

x<=a/2<=0時(shí)，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a

a/2<=x<=0時(shí)，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-a

x>=0時(shí)，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，

最小值為-a<=2則與g(x)有交點(diǎn)，即：-2<=a<=0。

2）a>0

x<=0時(shí)，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a

0<=x<=a/2時(shí)，f(x)=3x+(-2x+a)=x+a

x>=a/2時(shí)，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a

最小值a<=2時(shí)與g(x)有交點(diǎn)，即：0<a<=2

綜上所述，-2<=a<=2時(shí)f(x)=3|x|+|2x-a|與g(x)=2-x有交點(diǎn)。三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會把問題分類、歸類，熟練基本方法。（一）換元引參，顯露問題實(shí)質(zhì)1、對于所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍。解：因?yàn)榈闹惦S著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價(jià)于求解關(guān)于t的不等式組：。解得，即有，易得。2、設(shè)點(diǎn)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，若不等式x+y+c0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。（二）分離參數(shù)，化歸為求值域問題3、若對于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價(jià)變形為恒成立。根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值。因?yàn)榧磿r(shí)，有最小值為0，故。（三）變更主元，簡化解題過程4、若對于，方程都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍。解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來確定根x的范圍，但這樣會遇到很多麻煩，若以m為主元，則，由原方程知，得又，即解之得或。5、當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍。（四）圖象解題，形象直觀6、設(shè)，若不等式恒成立，求a的取值范圍。解：若設(shè)，則為上半圓。設(shè)，為過原點(diǎn)，a為斜率的直線。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有時(shí)成立，即a的取值范圍為。7、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對一切x(1,2),y1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga2>1,1<a2.8、已知關(guān)于x的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),從而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y=x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4,y1的圖象為一個(gè)定拋物線y2的圖象是k=2，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上方有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2）當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過點(diǎn)（-4，0），此時(shí)縱截距為-8-6a-4=0,a=;當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為-6a-4=0，a=∴a的范圍為（五）合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì)9、不論k為何實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，求a的范圍。分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個(gè)參數(shù)，用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。若考慮到直線過定點(diǎn)A（0，1），而曲線為圓,圓心C（a，0），要使直線恒與圓有交點(diǎn)，那么定點(diǎn)A(0,1)必在圓上或圓內(nèi)。解：，C（a，0），當(dāng)時(shí)，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點(diǎn)A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點(diǎn)A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏10、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來，此時(shí)應(yīng)對進(jìn)行討論。①當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要，解得。②當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要，解得。③當(dāng)時(shí)，要使恒成立，只有。綜上①②③得。解法2：可設(shè)，用一次函數(shù)知識來解較為簡單。我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間[m,n]上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.11、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)等號成立。故實(shí)數(shù)的取值范圍:（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想12、（1990年全國高考題）設(shè)，其中a為實(shí)數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時(shí)有意義，求a的取值范圍。解：本題即為對于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對于恒成立。構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域。由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)。于是有的最大值為：，從而可得。（八）利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即：，則且，不等式的解即為實(shí)數(shù)的取值范圍。例13、當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：當(dāng)時(shí)，，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，，則問題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或四、其它類型恒成立問題能成立問題有時(shí)是以不等式有解的形式出現(xiàn)的。1、已知函數(shù)，，其中，．對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【分析：】思路、對在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)和分別求最值，即只需滿足即可．簡解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)對稱軸x=a<1，即或0<a<1時(shí)，m(a)=fmin(x)=f(1)=2-2a，由m(a)>n(a)解得a<4/5,（注意到a的范圍）從而得a的范圍：0<a<4/5;(2)對稱軸x=a>2時(shí)，m(a)=fmin(x)=f(2)=5-4a，由m(a)>n(a)解得a<10/9,（注意到a的范圍）從而得a無解：;(3)對稱軸x=a∈[1,2]時(shí)，m(a)=fmin(x)=f(a)=2-2a，由m(a)>n(a)解得或，（注意到a的范圍）從而得a的范圍：;;綜合（1）（2）（3）知實(shí)數(shù)的取值范圍是：(0，4/5)∪[1,2]2、已知兩函數(shù)，，對任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為解析：對任意，存在，使得等價(jià)于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴題型二、主參換位法(已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來）題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法））五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的.1、存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______。解：設(shè)，由有解，，又，∴，解得。1、求使關(guān)于p的不等式在p∈[-2,2]有解的x的取值范圍。解：即關(guān)于p的不等式有解,設(shè)，則在[-2,2]上的最小值小于0。(1)當(dāng)x>1時(shí)，f(p)關(guān)于p單調(diào)增加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3<0,解得1<x<3;(2)當(dāng)x<1時(shí)，f(p)關(guān)于p單調(diào)減少，故fmin(p)=f(2)=x2-1<0,解得-1<x<1；(3)當(dāng)x=1時(shí)，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)<0不成立。綜合（1）（2）（3）知實(shí)數(shù)x的取值范圍是：(-1，1)∪(1,3)例、設(shè)命題P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二個(gè)根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實(shí)數(shù)a∈[-1,1]恒成立；命題Q：不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命題P和命題Q都是真命題，求m的值范圍。解：(1)由P真得：，注意到a在區(qū)間[-1,1],,由于|m2-5m-3|≥|x1-x2|對任意實(shí)數(shù)a∈[-1,1]恒成立，故有解得：m≤-1或m≥6或0≤m≤5(1)由Q真，不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m>1,解得：m>1/2由于（1）（2）都是相公命題，故m的值范圍：1/2<m≤5或m≥6.［舉例］（1）已知不等式對于）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）若不等式對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：（1）由得：對于）恒成立，因，所以，當(dāng)時(shí)等號成立.所以有.（2）注意到對于恒成立是關(guān)于的一次不等式.不妨設(shè)，則在上單調(diào)遞減，則問題等價(jià)于，所以或，則取值范圍為.小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：恒成立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。①不等式對時(shí)恒成立，。即的上界小于或等于；②不等式對時(shí)有解，。或的下界小于或等于；③不等式對時(shí)恒成立，。即的下界大于或等于；④不等式對時(shí)有解，.。或的上界大于或等于；高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)強(qiáng)化班第四講（140709）課后練習(xí)答案：一．填空選擇題（每小題6分，共60分）1、對任意的實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：|x+1|-|x-2|-|(x+1)-(x-2)|=-3,故實(shí)數(shù)的取值范圍：a<-32、不等式有解，則的取值范圍是解：原不等式有解有解，而，所以。3.若對任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）O(A)(B)(C)（D）O解析：對,不等式恒成立則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。答案：選B4．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是.解析:當(dāng)時(shí)，由得.令，則易知在上是減函數(shù)，所以時(shí)，則∴.5．已知不等式對任意都成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為．分析：已知參數(shù)的范圍，要求自變量的范圍，轉(zhuǎn)換主參元和的位置，構(gòu)造以為自變量作為參數(shù)的一次函數(shù)，轉(zhuǎn)換成，恒成立再求解。解析：由題設(shè)知“對都成立，即對都成立。設(shè)（），則是一個(gè)以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則對，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。所以對，恒成立的充分必要條件是，，，于是的取值范圍是。6．已知函數(shù)，若對于任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（)A．(0，2)B．(0，8)C．(2，8)D．(－∞，0)分析：與的函數(shù)類型，直接受參數(shù)的影響，所以首先要對參