2023屆陜西省西安市第四十八中學(xué)等2校高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat16頁(yè)2023屆陜西省西安市第四十八中學(xué)等2校高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出集合，然后根據(jù)集合的并集運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：B2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，然后根據(jù)條件建立方程求解即可.【詳解】設(shè)，則，則，解得，故．故選：C3．某社區(qū)有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名兒童居民．為了解該社區(qū)居民對(duì)社區(qū)工作的滿意度，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些居民中抽取一個(gè)容量為n的樣本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，則（

）A．120 B．150 C．180 D．210【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的方法計(jì)算即可.【詳解】由題可知，解得．故選：C4．已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分、兩種情況求解即可.【詳解】若，則單調(diào)遞減，圖像可知，，若，則單調(diào)遞增，由圖像可知，故不等式的解集為．故選：C5．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則直線與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合正方體的幾何特征作出直線與所成的角，解三角形即可得答案.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)M．連接，由于分別為的中點(diǎn)，故,而,即四邊形為平行四邊形，故,所以，則或其補(bǔ)角即為與所成的角．不妨設(shè)，則，即為等腰三角形，故，則直線與夾角的余弦值為，故選：D6．定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】先求出函數(shù)的周期，再根據(jù)對(duì)稱性求解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，解得，又，所以，則，即是以4為周期的周期函數(shù)，；故選:B.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，M為C上一點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且的周長(zhǎng)為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的周長(zhǎng)可得，由的中點(diǎn)坐標(biāo)求得M坐標(biāo)，代入橢圓方程可得關(guān)系式，解方程可得的值，即可求得答案【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，則，又,的中點(diǎn)為，所以M的坐標(biāo)為，故，則，結(jié)合，，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A8．設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得出，，即可求解.【詳解】在等差數(shù)列{}中，由，得，則，又，∴，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．故選：C9．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，由得，由在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，得，即可解決.【詳解】由題可知，，先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.所以的取值范圍為，故選：B10．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，已知雙曲線C的離心率為，過(guò)作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】不妨設(shè)，求出，然后算出可得答案.【詳解】不妨設(shè)，則，．由余弦定理可得，，所以，所以．故選：A11．已知正三角形的邊長(zhǎng)為6，，，且，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】由結(jié)合得出點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得出點(diǎn)到直線距離的最大值.【詳解】因?yàn)椋?，所以．如圖，設(shè)，，則．因?yàn)椋?，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，顯然，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值．故選：D12．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，由在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求得a的范圍，進(jìn)而再根據(jù)，得到的范圍，再由，得到，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)椋?，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以函數(shù)在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，解得，因?yàn)椋遥?，所以，且，所以，．令函?shù)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即的取值范圍為．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，由在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求得a的范圍，進(jìn)而再根據(jù)，得到的范圍而得解.二、填空題13．設(shè)滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】6【分析】作出可行域，根據(jù)的幾何意義，即可得出最大值.【詳解】畫(huà)出可行域解可得，.由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值6.故答案為：.14．“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊(yùn)含著數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，已知長(zhǎng)度為4的線段，取的中點(diǎn)C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點(diǎn)D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則________．【答案】【分析】求得，確定各圓的面積成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求得答案.【詳解】由題意可知，，后一個(gè)圓的半徑為前一個(gè)圓半徑的一半，故各圓的面積成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，故答案為：15．設(shè)m為正整數(shù)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．【答案】15【分析】根據(jù)條件求出，然后可得答案.【詳解】由題可知，．因?yàn)?，所以，即，解得，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：16．某圓錐的底面半徑為1，高為3，在該圓錐內(nèi)部放置一個(gè)正三棱柱，則該正三棱柱體積的最大值為_(kāi)_________．【答案】/【分析】作出對(duì)應(yīng)的圖形，設(shè)正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，利用題意得出三棱柱的高，，進(jìn)而求出體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出體積的最值即可.【詳解】如圖，設(shè)正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，三棱柱的高為h,根據(jù)題意作出圓錐的軸截面，由可得，則該三棱柱的高，，則該三棱柱的體積，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以時(shí)，V取得最大值，且最大值為．故答案為：.三、解答題17．猜燈謎是我國(guó)一種民俗娛樂(lè)活動(dòng)．某社區(qū)在元宵節(jié)當(dāng)天舉行了猜燈謎活動(dòng)，工作人員給每位答題人提供了10道燈謎題目，答題人從中隨機(jī)選取4道燈謎題目作答，若答對(duì)3道及以上燈謎題目，答題人便可獲得獎(jiǎng)品．已知甲能答對(duì)工作人員所提供的10道題中的6道．(1)求甲能獲得獎(jiǎng)品的概率；(2)記甲答對(duì)燈謎題目的數(shù)量為X，求X的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）結(jié)合題意，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解；（2）根據(jù)題意先求出X的可能取值，再求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，帶入期望的公式即可求解.【詳解】（1）由題可知，甲能獲得獎(jiǎng)品的概率．（2）由題可知，X的取值可能為0，1，2，3，4，則，，，，，X的分布列為01234．18．如圖，在三棱錐中，，O為的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形得到，再利用三角形全等得到，進(jìn)而利用線面垂直的判定即可證明；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式進(jìn)而求解.【詳解】（1）因?yàn)?，O為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕?，所以，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，則，貝．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得．由向量的夾角公式可得：，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．19．在中，點(diǎn)D在邊上，且．(1)若平分，求的值；(2)若成遞增的等比數(shù)列，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用余弦定理求出的關(guān)系，再運(yùn)用正弦定理求解；（2）運(yùn)用余弦定理求出AB，BC的值，再求出，用面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)槠椒?，所以，設(shè)，則，在中，，在中，，由，得，；（2）因?yàn)槌蛇f增的等比數(shù)列，，所以，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，整理得，又，所以，解得或，若，則，不符合題意，若，則，符合題意，此時(shí)，則的面積.20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，圓，過(guò)C上一點(diǎn)作C的切線，該切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若與C相切的直線l，與E相交于P，Q兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，然后可建立方程求出；（2）設(shè)l與C相切于點(diǎn)，然后求出切線的方程，然后求出、點(diǎn)到l的距離，然后表示出面積，然后可得答案.【詳解】（1）由，得，則．設(shè)該切線的斜率為k，則．由題可知，，因?yàn)樵撉芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，故C的方程為．（2）設(shè)l與C相切于點(diǎn)，則l的方程為，即．由（1）可知，E的方程為．則圓心到l的距離．因?yàn)閘與E相交，所以，整理得．．點(diǎn)到l的距離，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為．21．已知函數(shù)．(1)若，證明：．(2)若，且，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，令函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用單調(diào)性進(jìn)而得證；（2）對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)得到，再利用零點(diǎn)存在性定理得到，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而證明.【詳解】（1）因?yàn)椋缘葍r(jià)于．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，故．即．（2）因?yàn)?，所以，則．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增．因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以．又，所以．要證，只需證，即．因?yàn)椋裕@然，故．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見(jiàn)形式是，一般可構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，即先將不等式移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明，因此只需在所給區(qū)間內(nèi)判斷的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最小值即可.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與直線的夾角為45°的直線，且與交于點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)曲線的普通方程為；直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)【分析】（1）對(duì)曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線的普通方程；將代入的極坐標(biāo)方程中，可得直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由，消去參數(shù)，可得曲線的普通方程為.將代入直線的極坐標(biāo)方程中，可得直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，則點(diǎn)到的距離其中.