2022-2023學(xué)年上海市徐匯區(qū)高一下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

第【答案】一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）在答題紙上填寫(xiě)相應(yīng)結(jié)果1．函數(shù)y＝sin2x的最小正周期是π．【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的周期為，可得結(jié)論．解：函數(shù)y＝sin2x的最小正周期是＝π，故π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的周期為，屬于基礎(chǔ)題．2．已知扇形的半徑為6，面積為，則扇形的弧長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接進(jìn)行求解即可．解：設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，則S＝×6×l＝，得l＝，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形面積公式的應(yīng)用，熟記扇形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．3．已知2sinx﹣1＝0，則x取值集合為．（答案用反正弦表示）【分析】先找到一個(gè)周期內(nèi)sinx＝的角，然后根據(jù)終邊相同的角的表達(dá)式可得．解：2sinx﹣1＝0，則sinx＝，x＝，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的特殊值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．4．已知tanθ＝2，則＝1．【分析】先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用同角關(guān)系即可求值．解：sin（π﹣θ）＝sinθ，cos（π﹣θ）＝﹣cosθ，又tanθ＝2，則＝＝tanθ﹣1＝2﹣1＝1．故1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式，同角三角關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．5．若△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則在的數(shù)量投影為1．【分析】可先畫(huà)出圖形，根據(jù)投影的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：如圖：∵的夾角為60°，∴在方向上的投影為：．故1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查考查向量投影的定義，屬基礎(chǔ)題．6．若函數(shù)y＝3sin（2x+φ）（0＜φ＜π）為偶函數(shù)，則φ＝．【分析】利用正弦函數(shù)的奇偶性可得φ＝kπ+（k∈Z），再結(jié)合0＜φ＜π可得答案．解：若函數(shù)y＝3sin（2x+φ）為偶函數(shù)，則φ＝kπ+（k∈Z），又0＜φ＜π，故φ＝．故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．在△ABC中，已知A＝，AB＝3，AC＝2，則△ABC的外接圓半徑R＝．【分析】先利用余弦定理求得BC的長(zhǎng)，再由正弦定理，得解．解：由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcosA＝9+4﹣2×3×2×＝7，所BC＝，由正弦定理知，2R＝＝＝，所以R＝．故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理和余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．關(guān)于x的方程cos2x+sinx﹣a＝0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，]．【分析】方程變形表示出a，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，配方后利用二次函數(shù)的性質(zhì)及正弦函數(shù)的值域確定出a的范圍即可．解：方程cos2x+sinx﹣a＝0，變形得：a＝cos2x+sinx＝﹣sin2x+sinx+1＝﹣（sinx﹣）2+，∵﹣1≤sinx≤1，∴a的范圍為[﹣1，]．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．9．函數(shù)的圖象如下，求它的解析式f（x）＝．【分析】根據(jù)最高點(diǎn)可確定，利用周期，將代入即可求解．解：由圖象最高點(diǎn)可知，由點(diǎn)和，可得周期，此時(shí)，將代入得，由于，所以取，故，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．10．函數(shù)的圖像在[0，m]上恰好有一個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[，）．【分析】令，畫(huà)出函數(shù)y＝sinX的圖象，由圖象得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：令，則函數(shù)y＝sinX的圖象如下圖所示，要使得函數(shù)的圖像在[0，m]上恰好有一個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，則，解得，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．11．對(duì)于函數(shù)f（x）＝2xsin2x，有以下4個(gè)結(jié)論：①函數(shù)y＝f（x）的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形；②任取x∈R，f（x）≤2x恒成立；③函數(shù)y＝f（x）的圖像與x軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且任意兩相鄰交點(diǎn)的距離相等；④函數(shù)y＝f（x）與直線y＝2x的圖像有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且任意兩相鄰交點(diǎn)間的距離相等．其中正確的結(jié)論序號(hào)為①③．【分析】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)結(jié)論是否正確，即可得答案．解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)結(jié)論：對(duì)于①，f（x）＝2xsin2x，其定義域?yàn)镽，有f（﹣x）＝﹣2xsin2x＝﹣f（x），f（x）為奇函數(shù)，其圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，①正確；對(duì)于②，f（x）≤2x即2xsin2x≤2x，即或x＝0或，其解集不是R，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若f（x）＝2xsin2x＝0，則x＝0或sinx＝0，解可得x＝kπ，k∈Z，則函數(shù)y＝f（x）的圖像與x軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，且任意兩相鄰交點(diǎn)的距離相等，③正確；對(duì)于④，若f（x）＝2xsin2x＝2x，則x＝0或sinx＝±1，解可得x＝0或x＝kπ+，k∈Z，函數(shù)y＝f（x）與直線y＝2x的圖像有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)，但兩相鄰交點(diǎn)間的距離不一定相等，④錯(cuò)誤；故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．已知平面向量，，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有，成立．若，則的最大值是．【分析】首先利用向量的模的運(yùn)算，建立如圖所示的關(guān)系式，進(jìn)一步利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，整理成二次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步求出最大值．解：如圖，設(shè)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有﹣x成立，則B，C在以MA為直徑的圓上，過(guò)O作OD∥AC，交MC于E，交圓于D，，在OD上的射影最長(zhǎng)為，＝，設(shè)∠AMC＝θ，則|AC|＝2sinθ，|OE|＝sinθ，|DE|＝1﹣|OE|＝1﹣sinθ，∴＝，則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的數(shù)量積，向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．二、選擇題（每題4分，共16分）在答題紙上填涂相應(yīng)結(jié)果13．“，k∈Z”是“tanα＝”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由充分必要性條件的判斷依次對(duì)三角函數(shù)值判斷即可．解：當(dāng)，k∈Z時(shí)，tanα＝tan（+2kπ）＝；當(dāng)a＝時(shí)，tanα＝，而不滿(mǎn)足，k∈Z；故“，k∈Z”是“tanα＝”的充分非必要條件；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的值及充分必要性條件判斷，屬于基礎(chǔ)題．14．在△ABC中，若，則△ABC的形狀一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積及向量的模的應(yīng)用求出結(jié)果．解：在△ABC中，若，則，故，即BC＝AC，所以△ABC為等腰三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．15．在直角△ABC中，CD是斜邊AB上的高，則下列等式不成立的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)，∴A是正確的，同理B也正確，再由D答案可變形為，通過(guò)等積變換判斷為正確，從而得到答案．解：∵，∴A是正確的，同理B也正確，對(duì)于D答案可變形為，通過(guò)等積變換判斷為正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義．要會(huì)巧妙變形和等積變換．16．已知a，b，α，β∈R，滿(mǎn)足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2個(gè)結(jié)論：①存在常數(shù)a，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b∈R，使得sin（α+β）的值是一個(gè)常數(shù)；②存在常數(shù)b，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一個(gè)常數(shù)．下列說(shuō)法正確的是（）A．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①成立、②不成立 C．結(jié)論①不成立、②成立 D．結(jié)論①、②都不成立【分析】通過(guò)已知的關(guān)系式，同角函數(shù)關(guān)系，兩角和差公式，和差化積公式分別把sin（α+β）、cos（α﹣β）分別表示出來(lái)，觀察即可．解：b2﹣a2＝cos2α﹣sin2α+sin2β﹣cos2β+2cosαsinβ﹣2sinαcosβ＝cos2α﹣cos2β﹣2sin（α﹣β），則有b2﹣a2＝﹣2sin（α+β）sin（α﹣β）﹣2sin（α﹣β），當(dāng)b＝0時(shí)，sin（α﹣β）＝1為常數(shù)，則cos（α﹣β）＝0為常數(shù)，即存在常數(shù)b＝0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一個(gè)常數(shù)，②成立；a2+b2＝2+2（sinαcosβ+cosαsinβ），即的取值相互影響，不存在常數(shù)a，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b∈R，使得sin（α+β）的值是一個(gè)常數(shù)，①不成立．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)公式，屬于中檔題．三、解答題（共46分，6+8+6+10+12＝42）在答題紙上填寫(xiě)結(jié)果17．（6分）已知．（1）若與的夾角為120°，求；（2）若與垂直，求與的夾角．【分析】（1）由向量的模長(zhǎng)公式可得|+|＝＝，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算可得；（2）設(shè)與的夾角為θ，由垂直可得（﹣）?＝＝0，代入數(shù)據(jù)解得cosθ可得．解：（1）∵與的夾角為60°，||＝1，||＝2，∴|+|＝＝＝＝；（2）設(shè)與的夾角為θ，∵﹣與垂直，∴（﹣）?＝＝0，∴12﹣1×2cosθ＝0，解得cosθ＝∴與的夾角為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及向量的模長(zhǎng)公式，屬基礎(chǔ)題．18．（8分）已知，，tanα＝7，．（Ⅰ）求cos（α﹣β）的值；（Ⅱ）求tan（α﹣2β）的值，并確定α﹣2β的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα，cosα，cosβ的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知tanβ的值，利用二倍角的正切公式可求tan2β的值，利用兩角差的正切公式可求tan（α﹣2β）＝﹣1，結(jié)合0＜α﹣2β＜，即可求解α﹣2β的值．解：（Ⅰ）因?yàn)?，tanα＝7，所以sinα＝，cosα＝，又，，所以cosβ＝＝，所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×﹣×＝﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，tanβ＝＝，所以tan2β＝＝﹣，所以tan（α﹣2β）＝＝﹣1，因?yàn)?＜α﹣2β＜，所以α﹣2β＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦公式，二倍角的正切公式，兩角差的正切公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（6分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，角α的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)A，且，將角α的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)B，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），分別過(guò)A、B作x軸的垂線，垂足依次為C、D，記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2，若S1＝2S2，求α的值．【分析】依題意得x1＝cosα，，y1＝sinα，，分別求得S1和S2的解析式，再由S1＝2S2求得cos2α＝0，根據(jù)α的范圍，求得α的值．解：由三角函數(shù)定義，得x1＝cosα，，y1＝sinα，．所以，，依題意S1＝2S2得，即，整理得cos2α＝0．因?yàn)椋?，所以，即．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的正弦公式、余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．20．（10分）如圖，折線A﹣B﹣C為海岸線，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，∠BDA＝54°．（1）求BC的長(zhǎng)度；（2）若AB＝40km，求D到海岸線A﹣B﹣C的最短距離．（以上答案都精確到0.001km）【分析】（1）由題意可求∠BCD＝80°，由正弦定理即可求BC的值；（2）在△ABD中，由正弦定理可得sin∠BAD≈0.7928，可得∠BAD≈52.45°，∠ABD＝73.55°，過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，解三角形即可求解．解：（1）在△BCD中，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，則∠BCD＝80°，由正弦定理＝，可得BC＝＝＝≈14.911km，所以BC的長(zhǎng)度是14.911km．（2）在△ABD中，∠BDA＝54°，BD＝39.2km，AB＝40km，由正弦定理＝，可得sin∠BAD＝＝＝≈0.7928，于是得∠BAD≈52.45°，則∠ABD＝73.55°，過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如圖，因此，DE＝BDsin∠ABD＝39.2×sin73.55°＝39.2×0.9591≈37.595（km），DF＝BDsin∠CBD＝39.2×sin78°＝39.2×0.9781≈38.343（km），顯然37.595＜38.343，所以D到海岸線A﹣B﹣C的最短距離是37.595km．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．21．（12分）已知．（1）將f（x）化成；（2）求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間上的單調(diào)減區(qū)間；（3）將函數(shù)y＝f（x）的圖像向右移動(dòng)個(gè)單位，再將所得圖像的上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的a（0＜a＜1）倍得到y(tǒng)＝g（x）的圖像，若y＝g（x）在區(qū)間[﹣1，1]上至少有100個(gè)最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）由題意，利用查三角恒等變換，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，可得結(jié)論．（2）由題意，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．（3）由題意，利用正弦函數(shù)的最大值，得出結(jié)論．解：（1）∵＝4sinx（cosx﹣sinx）＝sin2x﹣2?＝sin2x+cos2x﹣+＝2sin（2x+）．（2）對(duì)于f（x）＝2sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ+≤2