第4題具有實際背景的空間幾何體（解析版）

第4題具有實際背景的空間幾何體一、原題呈現(xiàn)【原題】南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時,相應(yīng)水面面積為；水位為海拔時,相應(yīng)水面的面積為,將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔上升到時,增加的水量約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】把增加的水量轉(zhuǎn)化為棱臺的體積,依題意可知棱臺的高為(m),棱臺上底面積,下底面積,∴．故選C．【就題論題】近幾年高考試題注重設(shè)置真實情境的試題,注重命制具有教育意義的試題,發(fā)揮教育功能和引導(dǎo)作用.該題以我國的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景,考查學(xué)生的空間想象、運(yùn)算求解能力,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會主義建設(shè)成果,增強(qiáng)社會責(zé)任感，提醒考生在復(fù)習(xí)時要關(guān)注此類問題，具有實際背景的空間幾何體多考查幾何體中基本量的計算，該題難度不大,運(yùn)算錯誤是失分主要原因,這提醒我們在復(fù)習(xí)時要注重基礎(chǔ)知識與運(yùn)算能力的培養(yǎng),基礎(chǔ)題失分過多是考生高考數(shù)學(xué)考不好的主要原因.二、考題揭秘【命題意圖】本題以實際問題為背景考查棱臺體積的計算,考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：中等偏易【考情分析】立體幾何在高考中一般有2道客觀題1道解答題,客觀題一般有一道是多面體,一道是旋轉(zhuǎn)體或組合題；今年由于增加了一道應(yīng)用題,立體幾何有4道,立體幾何客觀題考查熱點是幾何體中元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系、幾何體的表面積與體積、球與幾何體的切接等.【得分秘籍】1.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.求解多面體的表面積,關(guān)鍵是找到其中的特征圖形,如棱柱中的矩形,棱錐中的直角三角形,棱臺中的直角梯形等,通過這些圖形,找到幾何元素間的關(guān)系,通過建立未知量與已知量間的關(guān)系進(jìn)行求解．旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用,多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．3.求空間幾何體體積的常用方法為割補(bǔ)法和等積變換法：①割補(bǔ)法：將這個幾何體分割成幾個柱體、錐體,分別求出柱體和錐體的體積,從而得出要求的幾何體的體積；②等積變換法：特別地,對于三棱錐,由于其任意一個面均可作為棱錐的底面,從而可選擇更容易計算的方式來求體積；利用“等積性”還可求“點到面的距離”.4.將一個多面體的外表面展開,就像打開一件禮物的包紙．禮物外形不同,包裝紙的形狀也各不相同．如正方體按照不同的方式展開,所得到的展開圖共有以下11種．利用多面體的平面展開圖可求多面體表面上的最短距離【易錯警示】1.求幾何體的表面積與體積有時數(shù)據(jù)比較大，運(yùn)算量比較大，不少同學(xué)常因運(yùn)算錯誤失分；2.求組合體的表面積忽略重疊部分導(dǎo)致計算錯誤；3.利用表面展開圖求多面體表面上的最短距離考慮不全面求多面體表面上的最短距離一般是把多面體表面展開成一個平面,利用平面上兩點之間的最短距離是連接兩點的線段長,但是要注意展開圖的所有可能情況,防止考慮不全面出錯；4.求解幾何題中的基本量，不會畫幾何體的直觀圖，導(dǎo)致運(yùn)算位置關(guān)系不清楚，使解題受阻。三、三年新高考同類題展示1.（2022新高考全國2卷）如圖,四邊形為正方形,平面,,記三棱錐,,的體積分別為,則A. B.C. D.【答案】CD【解析】解法一：設(shè),因為平面,,則,,連接交于點,連接,易得,又平面,平面,則,又,平面,則平面,又,過作于,易得四邊形為矩形,則,則,,,則,,,則,則,,,故A、B錯誤；C、D正確.故選CD.解法二：由,的底面積相同,的高DE是高BF的2倍,可得,連接交于點,取DE中點G,連接BG,與MF交于點O,則BG∥EF,BG=EF,所以EF=3BO,所以=,即,所以A,B錯誤；,,C,D正確；故選CD.2.（2021新高考全國2卷）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，所以該棱臺的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺的體積.故選D.3.（2020新高考山東卷）日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點A處的緯度為北緯40°,則晷針與點A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°【答案】B【解析】畫出截面圖如下圖所示,其中是赤道所在平面的截線；是點處的水平面的截線,依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線,依題意依題意,晷面和赤道平面平行,晷針與晷面垂直,根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于,所以,由于,所以,也即晷針與點處的水平面所成角為.故選B四、以例及類（以下所選試題均來自新高考1卷地區(qū)2022年1月以后模擬試卷）1．（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學(xué)期起點考試）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經(jīng)測量可知圓臺的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（）（其中的值取3）A．11280cm3 B．12380cm3 C．12680cm3 D．12280cm3【答案】D【解析】由題意得圓柱的高約為（cm），則何尊的體積（cm3），故選D．2．（2023屆廣東省廣州市真光中學(xué)高三上學(xué)期8月開學(xué)考試）端午佳節(jié)，人們有包粽子和吃粽子的習(xí)俗，粽子主要分為南北兩大派系，地方細(xì)分特色鮮明，且形狀各異，裹蒸粽是廣東肇慶地區(qū)最為出名的粽子，是用當(dāng)?shù)靥赜械亩~?水草包裹糯米?綠豆?豬肉?咸蛋黃等蒸制而成的金字塔形的粽子，現(xiàn)將裹蒸粽看作一個正四面體，其內(nèi)部的咸蛋黃看作一個球體，那么，當(dāng)咸蛋黃的體積為時，該裹蒸粽的高的最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】要使正四面體的高最小，當(dāng)且僅當(dāng)球與正四面體相內(nèi)切，設(shè)正四面體的棱長為，高為，內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖正四面體中，令為的中點，為底面三角形的中心，則底面，所以，即.故選A3．（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學(xué)期起點考試）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個點，，，，且球心在上，，，，則該鞠（球）的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取AB的中點M，連接MP，由AC=BC=4，AC⊥BC得：，由，得：，連接CM并延長，交球O于點H，連接PH，因為PC球O的直徑，設(shè)球的半徑為R，則PH⊥CH，，則，所以，解得：，球的表面積為.故選C4．（2022屆江蘇省泰州市興化市高三下學(xué)期5月模擬）《算數(shù)書》是已知最早的中國數(shù)學(xué)著作，于上世紀(jì)八十年代出土，大約比現(xiàn)有傳本的《九章算術(shù)》還要早近二百年．《算數(shù)書》內(nèi)容豐富，有學(xué)者稱之為“中國數(shù)學(xué)史上的重大發(fā)現(xiàn)”．在《算數(shù)書》成書的時代，人們對圓周率的認(rèn)識不多，用于計算的近似數(shù)與真實值相比誤差較大．如書中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．此術(shù)相當(dāng)于給出了圓錐的體積V的計算公式為，其中L和h分別為圓錐的底面周長和高．這說明，該書的作者是將圓周率近似地取為（）A．3.00 B．3.14 C．3.16 D．3.20【答案】A【解析】因為，所以，則，∴.故選A．5．（2022屆湖南省衡陽市高三下學(xué)期三模）圖中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”（如圖），萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，若曲側(cè)面三棱柱的高為，底面任意兩頂點之間的距離為，則其體積為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知：底面正三角形面積為，底面三個小弓形的面積均為：，底面“萊洛三角形”的面積，“曲側(cè)面三棱柱”的體積.故選B.6．（2022屆廣東省高三三模）古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯提出著名的蜂窩猜想，認(rèn)為蜂窩的優(yōu)美形狀，是自然界最有效勞動的代表.他在《匯編》一書中對蜂房的結(jié)構(gòu)作出精彩的描寫“蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個挨著一個，緊密地排列，沒有一點空隙.蜜蜂憑著自己本能的智慧選擇了正六邊形，因為使用同樣多的原材料，正六邊形具有最大的面積，從而可貯藏更多的蜂蜜.”某興趣小組以蜂窩為創(chuàng)意來源，制作了幾個棱長均相等的正六棱柱模型，設(shè)該正六棱柱的體積為，其外接球的體積為，則=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)正六棱柱的棱長為a，則；其外接球的半徑，于是，則.故選C7．（2022屆江蘇省泰州市高三下學(xué)期第四次調(diào)研）為慶祝神州十三號飛船順利返回，某校舉行“特別能吃苦，特別能戰(zhàn)斗，特別能攻關(guān)，特別能奉獻(xiàn)”的航天精神演講比賽，其冠軍獎杯設(shè)計如下圖，獎杯由一個半徑為6cm的銅球和一個底座組成，底座由邊長為36cm的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，則冠軍獎杯的高度為（）cm．A． B． C． D．【答案】C【解析】A，B，C在底面內(nèi)的射影為M，N，P分別為對應(yīng)棱的中點，∴，∴△ABC是邊長為9的等邊三角形，設(shè)△ABC外接圓圓心O，半徑r，則，∴，，∴到平面DEF距離＝9，∴冠軍獎杯的高度為，故選C．8．（2022屆山東省青島市高三下學(xué)期5月二模）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱長都為1，則這個幾何體的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接,交于點,取的中點，則平面,,取的中點,連接,作,垂足為，如圖所示由題意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即這個幾何體的外接球的球心為，半徑為，所以這個幾何體的外接球的體積為.故選B.9．（2022屆山東省臨沂市高三下學(xué)期三模）戰(zhàn)國時期的銅鏃是一種兵器，其由兩部分組成，前段是高為3cm、底面邊長為2cm的正三棱錐，后段是高為1cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，則此銅鏃的體積為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，銅鏃的直觀圖如圖所示，三棱錐的體積，因為圓柱的底面圓與正三棱錐底面的正三角形內(nèi)切，所以圓柱的底面圓的半徑，所以圓柱的體積，所以此銅鏃的體積為，故選A.10．（2022屆河北省保定市部分學(xué)校高三模擬）中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧長度是弧長度的3倍，，則該曲池的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長度為弧BC長度的3倍可知，，所以，.故該曲池的體積.故選D.11．（2022屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期二調(diào)）宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族傳統(tǒng)手工藝品之一，如圖為一件三層六角宮燈，三層均為正六棱柱，其中上、下層正棱柱的底面周長均為60cm，高為6cm，中間一層的正棱柱高為18cm.設(shè)計一個裝該宮燈的可從中間打開的球形盒子，則該盒子的表面積至少為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，將該宮燈看成一個高為、底面邊長為的正六棱柱.而正六棱柱的外接球（球形盒子）的直徑是其對角線的長，則，得，故外接球（球形盒子）的表面積至少為.故選B12．（2022屆福建省三明市高三高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測）如圖所示的建筑物是號稱“神州第一圓樓”的福建土樓——二宜樓，其外形是圓柱形，圓樓直徑為73.4m，忽略二宜樓頂部的屋檐，若二宜樓的外層圓柱墻面的側(cè)面積略小于底面直徑為40m，高為10m的圓錐的側(cè)面積的，則二宜樓外層圓柱墻面的高度可能為（）A．16m B．17m C．18m D．19m【答案】A【解析】底面直徑為40m，高為10m的圓錐的母線長為，所以該圓錐的側(cè)面積為，設(shè)二宜樓外層圓柱墻面的高度為，則由，解得因為二宜樓的外層圓柱墻面的側(cè)面積略小于底面直徑為40m，高為10m的圓錐的側(cè)面積的，所以二宜樓外層圓柱墻面的高度可能為，故選A13．（2022屆福建省廈門市高三畢業(yè)班3月第二次質(zhì)量檢測）埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時期著名的地理學(xué)家，他最出名的工作是計算了地球（大圓）的周長：如圖，在賽伊尼，夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向（這是從日光直射進(jìn)該處一井內(nèi)而得到證明的）.同時在亞歷山大城（該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上），其天頂方向與太陽光線的夾角測得為7.2°.因太陽距離地球很遠(yuǎn)，故可把太陽光線看成是平行的．已知駱駝一天走100個視距段，從亞歷山大城到賽伊尼須走50天．一般認(rèn)為一個視距段等于157米，則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為（）A．37680千米 B．39250千米 C．41200千米 D．42192千米【答案】B【解析】由亞歷山大城到賽伊尼走，則地球大圓周長的視距段為，則，得個視距段，則地球的周長為米千米.故選B14．（多選）（2022屆福建省廈門集美中學(xué)高三最后一卷）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．如圖，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，得到的半正多面體的表面積為，則關(guān)于該半正多面體的下列說法中正確的是（）A．AB與平面BCD所成的角為 B．C．與AB所成的角是的棱共有16條 D．該半正多面體的外接球的表面積為【答案】AC【解析】補(bǔ)全該半正多面體得到一