精選有限元法講義

（優(yōu)選）有限元法課件目前一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)課程介紹一、課程內(nèi)容：1、有限元法理論基礎(chǔ)；2、有限元軟件ANSYS應(yīng)用。二、學(xué)習(xí)方法：理論與實(shí)踐相結(jié)合，即通過應(yīng)用有限元分析實(shí)際問題來掌握有限元理論。三、學(xué)時(shí)數(shù)：36學(xué)時(shí)（理論學(xué)時(shí)+上機(jī)學(xué)時(shí)）四、考核方式：平時(shí)成績(jī)+報(bào)告成績(jī)工程有限單元法目前二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)第一章概述1.1有限元法概述

有限元法誕生于20世紀(jì)中葉，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展，已成為計(jì)算力學(xué)和計(jì)算工程科學(xué)領(lǐng)域里最為有效的方法，它幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問題。工程有限單元法目前三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)一、什么是有限元法？

有限元法是將連續(xù)體理想化為有限個(gè)單元集合而成，這些單元僅在有限個(gè)節(jié)點(diǎn)上相連接，即用有限個(gè)單元的集合來代替原來具有無限個(gè)自由度的連續(xù)體。工程有限單元法目前四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)有限元方法是分析連續(xù)體的一種很有效的近似計(jì)算方法。是計(jì)算機(jī)問世以后迅速發(fā)展起來的一種廣泛用于工程結(jié)構(gòu)建模與分析的方法。說明工程實(shí)際問題與計(jì)算方法息息相關(guān)。自然現(xiàn)象的背后都對(duì)應(yīng)有相關(guān)的物理本質(zhì)與事物規(guī)律，用數(shù)學(xué)方法對(duì)物理本質(zhì)與事物規(guī)律進(jìn)行描述可以得到普適性定律和特定性定理，以及各種形式的（如代數(shù)、微分或積分）數(shù)學(xué)方程，即數(shù)學(xué)模型。工程有限單元法目前五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)對(duì)于一個(gè)實(shí)際的工程問題，建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，不僅需要根據(jù)實(shí)際物理背景采用有效的數(shù)學(xué)方法，還要考慮求解的效率、結(jié)果的精度以及方法的適用性等因素，即分析方法。常用的分析方法有：1.對(duì)線性的、邊界規(guī)則的簡(jiǎn)單問題，一般可以利用解析法，得到精確解。2.對(duì)于許多實(shí)際工程問題，由于研究系統(tǒng)的龐大，使得微分方程、邊界和初始條件的復(fù)雜性大大增加，一般難以得到它的精確解。對(duì)非線性的、邊界不規(guī)則等問題，一般不存在精確的解析解，只能利用數(shù)值法（如，有限差分法FDM、有限元方法FEM等）得到近似解。工程有限單元法目前六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)有限元方法的發(fā)展首先，有限元方法在航空結(jié)構(gòu)分析中取得了明顯的成效1941年，Hrenikoff利用框架分析法（frameworkmethod）分析平面彈性體，將平面彈性體描述為桿和梁的組合體；1943年,Courant在采用三角形單元及最小勢(shì)能原理研究扭轉(zhuǎn)問題時(shí)，利用分片連續(xù)函數(shù)在子域中近似描述未知函數(shù)此后，有限元方法在固體力學(xué)、溫度場(chǎng)和溫升應(yīng)力、流體力學(xué)、流固耦合（水彈性）問題，均有發(fā)展。

工程有限單元法目前七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

現(xiàn)如今，有限元法廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車工業(yè)、橋梁、建筑、電子產(chǎn)品、重型機(jī)械、微機(jī)電系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)等設(shè)計(jì)過程中的結(jié)構(gòu)與力學(xué)分析。

實(shí)例1(EMA-火箭發(fā)動(dòng)機(jī),衛(wèi)星,雷達(dá))工程有限單元法目前八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)實(shí)例2(汽車,工程機(jī)械)工程有限單元法目前九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)工程有限單元法目前十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)工程有限單元法目前十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分與合”。

“分”是為了劃分單元，進(jìn)行單元分析；“合”則是為了集合單元，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。結(jié)構(gòu)離散-單元分析-整體求解工程有限單元法目前十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)2.1有限元法的實(shí)現(xiàn)過程工程有限單元法目前十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)(1)對(duì)象離散化當(dāng)研究對(duì)象為連續(xù)介質(zhì)問題時(shí)，首先需要將所研究的對(duì)象進(jìn)行合理的離散化分割，即根據(jù)精度預(yù)期或經(jīng)驗(yàn)將連續(xù)問題進(jìn)行有限元分割。(2)單元分析有限元方法的核心工作是單元分析，通過分析各單元的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系和邊界條件，以便建立單元?jiǎng)偠染仃嚒?3)構(gòu)造總體方程將單元?jiǎng)偠染仃嚱M成總體方程剛度矩陣，且總體方程應(yīng)滿足相鄰單元在公共結(jié)點(diǎn)上的位移協(xié)調(diào)條件，即整個(gè)結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)載荷與結(jié)點(diǎn)位移之間應(yīng)存在相互的變量關(guān)系。工程有限單元法目前十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)4.解總體方程在求解有限元模型時(shí)，應(yīng)考慮總體剛度方程中引入的邊界條件，以便得到符合實(shí)際情況的唯一解。5.輸出結(jié)果有限元模型求解結(jié)束后，可通過數(shù)值解序列或由其構(gòu)成的圖形顯示研究對(duì)象的物理結(jié)構(gòu)變形情況以及各種物理量間的變化關(guān)系，如通過列表顯示各種數(shù)據(jù)信息，用等值線分布圖顯示等受力點(diǎn)，或動(dòng)畫顯示各種量的變化過程。工程有限單元法目前十五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)1)直接方法直接方法是指直接從結(jié)構(gòu)力學(xué)引伸得到。直接方法具有簡(jiǎn)單、物理意義明確、易于理解等特點(diǎn)。2)變分方法變分方法是一種最常用的方法之一，主要用于線性問題的模型建立。3)加權(quán)殘值法對(duì)于線性自共軛形式方程，加權(quán)殘值法可得到和變分法相同的結(jié)果，如得到一個(gè)對(duì)稱的剛度矩陣。對(duì)于那些“能量泛函”不存在的問題（主要是一些非線性問題和依賴于時(shí)間的問題）加權(quán)殘值法是一種很有效的方法。2.2建立有限元方程的常用方法工程有限單元法目前十六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)通常，實(shí)際工程問題可分為線性問題和非線性問題、邊界規(guī)則與不規(guī)則問題。有限元法其實(shí)是非線性問題，如圖右所示。2.3有限元法與工程求解問題的關(guān)系工程有限單元法目前十七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)三、有限元法的基本步驟

無論對(duì)于什么樣的結(jié)構(gòu)，有限元分析過程都是類似的。其基本步驟為：（1）研究分析結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，包括結(jié)構(gòu)形狀與邊界、載荷工況等；（2）將連續(xù)體劃分成有限單元，形成計(jì)算模型，包括確定單元類型與邊界條件、材料特性等；工程有限單元法目前十八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)（3）以單元節(jié)點(diǎn)位移作為未知量，選擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)來表示單元中的位移，再用位移函數(shù)求單元中的應(yīng)變，根據(jù)材料的物理關(guān)系，把單元中的應(yīng)力也用位移函數(shù)表示出來，最后將作用在單元上的載荷轉(zhuǎn)化成作用在單元上的等效節(jié)點(diǎn)力，建立單元等效節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系。這一過程就是單元特性分析。工程有限單元法目前十九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)（4）利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，集合成整體的有限元方程，求解出節(jié)點(diǎn)位移。重點(diǎn)：對(duì)于不同的結(jié)構(gòu)，要采用不同的單元，但各種單元的分析方法又是一致的。工程有限單元法目前二十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)四、有限元法的學(xué)習(xí)路線

從最簡(jiǎn)單的平面結(jié)構(gòu)入手，由淺入深，介紹有限元理論及其相關(guān)應(yīng)用。

工程有限單元法目前二十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)五、有限元法的發(fā)展與應(yīng)用

有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問題的工程問題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。工程有限單元法目前二十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)（一）算法與有限元軟件

從二十世紀(jì)60年代中期以來，進(jìn)行了大量的理論研究，不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?。理論研究的一個(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究，主要有：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法。工程有限單元法目前二十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表：

軟件名稱簡(jiǎn)介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件

另外還有許多針對(duì)某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。工程有限單元法目前二十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)（二）應(yīng)用實(shí)例有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域：固體力學(xué)，包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動(dòng)和瞬態(tài)問題的分析；傳熱學(xué)；電磁場(chǎng)；流體力學(xué)。工程有限單元法目前二十五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（劉道勇，東風(fēng)汽車工程研究院動(dòng)，用MSC/Nastran完成）工程有限單元法目前二十六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)基于ANSYS的齒輪嚙合仿真

工程有限單元法目前二十七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)第2章彈性力學(xué)基本方程及平面問題的有限元法工程有限單元法目前二十八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)2.1彈性力學(xué)簡(jiǎn)介

本課程中的有限單元法理論要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程。將簡(jiǎn)單介紹這些概念和方程，作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識(shí)。工程有限單元法目前二十九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—

材料力學(xué)1、研究的內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。

彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運(yùn)動(dòng)，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對(duì)象：有相同也有區(qū)別。

材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度和厚度的構(gòu)件。彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實(shí)體結(jié)構(gòu)，即兩個(gè)尺寸遠(yuǎn)大于第三個(gè)尺寸，或三個(gè)尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。工程有限單元法目前三十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—

材料力學(xué)3、研究的方法：有較大的區(qū)別。雖然都從靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進(jìn)行研究，但是在建立這三方面條件時(shí)，采用了不同的分析方法。材料力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的整個(gè)截面來建立這些條件的，因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)。這樣雖然大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)推演，但是得出的結(jié)果往往是近似的，而不是精確的。而彈性力學(xué)是對(duì)構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴(yán)密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計(jì)材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。工程有限單元法目前三十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—

材料力學(xué)例如，材料力學(xué)在研究有孔的拉伸構(gòu)件通常就假定拉應(yīng)力在凈截?cái)嗝婢鶆蚍植?。工程有限單元法目前三十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)—區(qū)別與聯(lián)系—

材料力學(xué)

總之，彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別。它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域，但彈性力學(xué)比材料力學(xué)，研究的對(duì)象更普遍，分析的方法更嚴(yán)密，研究的結(jié)果更精確，因而應(yīng)用的范圍更廣泛。但是，彈性力學(xué)也有其固有的弱點(diǎn)。由于研究對(duì)象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴(yán)謹(jǐn)，因而解算問題時(shí)，往往需要冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。工程有限單元法目前三十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)基本方程

一、彈性力學(xué)中的幾個(gè)基本概念：

1、體力，是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個(gè)成分，用記號(hào)X、Y、Z表示。

2、面力，是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。單位面積上的表面力通常分解為平行于座標(biāo)軸的三個(gè)成分，用記號(hào)來表示。工程有限單元法目前三十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

3、內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力

（1）內(nèi)力（Internalforces）：是物體本身不同部分之間相互作用的力；

（2）平均應(yīng)力（theaveragestress）：設(shè)作用在包含P點(diǎn)某一個(gè)截面mn上的單元面積（elementaryarea）ΔA

上的力為ΔF

，則ΔF/ΔA

稱為ΔA

上的平均應(yīng)力；

（3）應(yīng)力：如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù)，命ΔA無限減小并趨向P點(diǎn),則ΔF/ΔA

將趨向一個(gè)極限p:

這個(gè)極限P就叫做物體在截面mn上，在P點(diǎn)的應(yīng)力。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。工程有限單元法目前三十五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力的概念工程有限單元法目前三十六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)車輛工程技術(shù)中心4.正應(yīng)力和切應(yīng)力的概念

正應(yīng)力：應(yīng)力在作用截面法線方向的分量；

切應(yīng)力：應(yīng)力在作用截面切線方向的分量。

正平行六面體應(yīng)力：從物體中取出一個(gè)微小的正平行六面體，它的棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸，長(zhǎng)度分別為dx,

dy,

dz.正平行六面體應(yīng)力如圖所示.工程有限單元法目前三十七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)(1)應(yīng)力的表示正應(yīng)力用σ表示.它的下標(biāo)表示作用方向.如σx表示正應(yīng)力沿著x

方向;剪應(yīng)力用τ表示,它有兩個(gè)下標(biāo),例如τxy表示剪應(yīng)力作用在垂直x軸的平面上,但沿著y方向.

(2)應(yīng)力的符號(hào)如果一個(gè)截面的外法線沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面就稱為正面，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿著坐標(biāo)軸的正方向?yàn)檎谎刂鴺?biāo)軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)。工程有限單元法目前三十八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

這個(gè)應(yīng)力符號(hào)的規(guī)定與材料力學(xué)的不同,在材料力學(xué)中:正應(yīng)力的符號(hào)為拉為正,壓為負(fù);而剪應(yīng)力為正面向下的為正;負(fù)面向上為正.或用右手法則確定:右手姆指沿面的外法線時(shí),其余四個(gè)手指反時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù).材料力學(xué)中正的剪應(yīng)力彈性力學(xué)中正的剪應(yīng)力工程有限單元法目前三十九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)剪應(yīng)力互等定律

作用在兩個(gè)互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負(fù)號(hào)也相同)。因此剪應(yīng)力記號(hào)的兩個(gè)角碼可以對(duì)調(diào)。工程有限單元法目前四十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)可以證明:如果這六個(gè)量在P點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點(diǎn)的應(yīng)力分量。一般說來，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個(gè)應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。六個(gè)應(yīng)力分量的總體，可以用一個(gè)列矩陣來表示：工程有限單元法目前四十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)5、形變和正應(yīng)變、剪應(yīng)變的概念

（1）形變:

形狀的改變，它包含長(zhǎng)度和角度的改變。（2）正應(yīng)變：各線段單位長(zhǎng)度的伸縮。以伸長(zhǎng)為正；縮短為負(fù)。（3）剪應(yīng)變：各線段之間的直角的改變。6、位移

是指位置的移動(dòng).它在

x,y和z

軸上的投影用u,v

和w,來表示。它的符號(hào)是沿坐標(biāo)軸正向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)向?yàn)樨?fù)。工程有限單元法目前四十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)二、彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定(1)連續(xù)性:假定物體是連續(xù).即整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿,不留任何空隙.這樣,物體內(nèi)的物理量,例如應(yīng)力形變和應(yīng)變,才可能是連續(xù)的,才可以用連續(xù)函數(shù)來表示;(2)完全彈性:假定物體是完全彈性的.所謂彈性,是指物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的性質(zhì).而完全彈性是指物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余變形.(3)均勻性:假定物體是均勻的,整個(gè)物體由同一材料組成.(4)各向同性:假定物體是各向同性的,即物體的彈性性質(zhì)在所有各個(gè)方向都相同.

符合以上四個(gè)假定的物體,稱為理想彈性體.工程有限單元法目前四十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)(5)小變形假定:假定物體的位移和形變是微小的.即物體的位移遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸,而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1.

因此,本課程所討論的問題,都是理想彈性體的小變形問題.工程有限單元法目前四十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)三、彈性力學(xué)的研究方法

在彈性體內(nèi)部,考慮靜力學(xué),幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件,分別建立三套基本方程.

此外,在彈性體的邊界上,建立邊界條件.位移邊界條件邊界條件應(yīng)力邊界條件工程有限單元法目前四十五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)的基本變量工程有限單元法目前四十六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)的基本方程-平衡方程由物體的受力平衡條件建立的方程：工程有限單元法目前四十七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)的基本方程-幾何方程由物體的受力變形后，各應(yīng)變分量和位移分量的關(guān)系建立的方程：工程有限單元法目前四十八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)的基本方程-物理方程由物體材料本身的物理特性建立的方程，其中E-彈性模量；-泊松比；G-剪切彈性模量。且對(duì)各向同性材料，工程有限單元法目前四十九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)在限元法中，物理方程可表示為：工程有限單元法目前五十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)彈性力學(xué)的基本方程-邊界條件工程有限單元法目前五十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)四、彈性力學(xué)問題的解法空間彈性力學(xué)問題共有15個(gè)方程，3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程。其中包括6個(gè)應(yīng)力分量，6個(gè)應(yīng)變分量，3個(gè)位移分量，共有15個(gè)未知函數(shù)，在給定邊界條件時(shí)，問題是可解的。彈性力學(xué)問題的提法是，給定作用在物理全部邊界或內(nèi)部的作用，求解物理由此產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。工程有限單元法目前五十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

按照三種不同的邊界條件，彈性力學(xué)問題可分為應(yīng)力邊界條件問題、位移邊界問題和混合邊界。由于有限元模型是對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的反映，對(duì)有限元模型施加合適的載荷條件和邊界條件，是正確求解有限元解的關(guān)鍵。工程有限單元法目前五十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)根據(jù)先求出的基本未知量的不同，彈性力學(xué)問題有三種方法：（1）應(yīng)力法：以應(yīng)力分量作為基本未知量，此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應(yīng)力表示。求得應(yīng)力分量后，由物理方程求應(yīng)變分量，再由幾何方程求出位移分量。（2）位移法：以位移分量作為基本未知量，此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示。求得位移分量后，用幾何方程求應(yīng)變分量，再由物理方程求應(yīng)力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。（3）混合法：采用各點(diǎn)的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量，混合求解。工程有限單元法目前五十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)五、虛功原理及虛功方程圖1-8a示一平衡的杠桿，對(duì)C點(diǎn)寫力矩平衡方程：圖1-8b表示杠桿繞支點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的剛體位移圖：綜合可得：即：上式是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時(shí)，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。目前五十五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)虛功原理

進(jìn)一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時(shí)，和這兩個(gè)位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。將這個(gè)客觀存在的關(guān)系抽象成一個(gè)普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計(jì)算結(jié)構(gòu)。

對(duì)于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個(gè)虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的和所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因?yàn)樗旧硎瞧胶獾?，不存在位?，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個(gè)位移對(duì)于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。工程有限單元法目前五十六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)虛功原理

必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個(gè)方面，力和位移并不是隨意的。對(duì)于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對(duì)于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。還要注意，當(dāng)位移是在某個(gè)約束條件下發(fā)生時(shí)，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時(shí)該約束力叫做被動(dòng)力。(如圖1-8中的反力，由于支點(diǎn)C沒有位移，故所作的虛功對(duì)于零)。反之，如圖1-8中的和是在位移過程中作功的力，稱為主動(dòng)力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動(dòng)力，哪些是被動(dòng)力，而在寫虛功方程時(shí)，只有主動(dòng)力作虛功，而被動(dòng)力是不作虛功的。工程有限單元法目前五十七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)虛功原理與虛功方程虛功原理表述如下：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時(shí)，體系上所有的主動(dòng)力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對(duì)于零。虛功原理用公式表示為：

這就是虛功方程，其中P和相應(yīng)的代表力和虛位移。工程有限單元法目前五十八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)虛功原理----用于彈性體的情況

虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠桿是絕對(duì)剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項(xiàng)出現(xiàn)，而只有外功項(xiàng)。將虛功原理用于彈性變形時(shí)，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即：W=T-U；內(nèi)力功(-U)前面有一負(fù)號(hào)，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負(fù)值。根據(jù)虛功原理，總功等于零得：T-U=0

外力虛功T=內(nèi)力虛功U

彈性力學(xué)中的虛功原理可表達(dá)為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個(gè)彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。工程有限單元法目前五十九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)六、兩種平面問題

彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題，嚴(yán)格地說，任何一個(gè)彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡(jiǎn)化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題工程有限單元法目前六十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題

厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個(gè)薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：于是，在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即，所以稱為平面應(yīng)力問題。工程有限單元法目前六十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題應(yīng)力矩陣(1-2)

可以簡(jiǎn)化為：工程有限單元法目前六十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)物理方程(1-10)中后兩式可見，這時(shí)的剪應(yīng)變：由物理方程(1-10)中的第三式可見：一般，并不一定等于零，但可由及求得，在分析問題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮三個(gè)應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣(1-3-2)簡(jiǎn)化為：工程有限單元法目前六十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題物理方程(1-10)簡(jiǎn)化為：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：

工程有限單元法目前六十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題將(1-21)式用矩陣方程表示：它仍然可以簡(jiǎn)寫為：彈性矩陣[D]則簡(jiǎn)化為：

工程有限單元法目前六十五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題只有三個(gè)應(yīng)變分量需要考慮，所以幾何方程(1-3)簡(jiǎn)化為：工程有限單元法目前六十六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題彈性體的虛功方程(1-17)簡(jiǎn)化為工程有限單元法目前六十七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)變問題

一縱向(即Z向)很長(zhǎng)，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長(zhǎng)度變化的面力和體力，如圖1-11所示。由于物體的縱向很長(zhǎng)(在力學(xué)上可近似地作為無限長(zhǎng)考慮)，截面尺寸與外力又不沿長(zhǎng)度變化；當(dāng)以任一橫截面為xy面，任一縱線為Z軸時(shí)，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿Z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對(duì)稱(任一橫截面都可以看作對(duì)稱面)，所有各點(diǎn)都只會(huì)有x和y方向的位移而不會(huì)有Z方向的位移，即w=0

因此，這種問題稱為平面位移問題，但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題。工程有限單元法目前六十八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)變問題既然w=0，而且u及v又只是x和y的函數(shù)，由幾何方程(1-3-1)可見。于是只剩下三個(gè)應(yīng)變分量，幾何方程仍然簡(jiǎn)化為方程(1-24)。工程有限單元法目前六十九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)變問題因?yàn)橛晌锢矸匠?1-11)中后兩式可見又由物理方程(1-11)中的第三式可見：在平面應(yīng)變問題中，雖然，但一般并不等于零，不過它可以由及求得，在分析問題時(shí)不必考慮，于是也就只有三個(gè)應(yīng)力分量需要考慮。工程有限單元法目前七十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)變問題物理方程(1-11)簡(jiǎn)化為：

工程有限單元法目前七十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)變問題將(1-25)式用矩陣方程表示：它仍然可以簡(jiǎn)寫為：彈性矩陣[D]則為：

工程有限單元法目前七十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)變問題

平面應(yīng)變問題，由于在Z方向沒有外力，應(yīng)力和應(yīng)變也不沿Z方向變化，所以虛功方程(1-25)仍然適用，其中的t可以取為任意數(shù)值，但必須是這個(gè)t范圍內(nèi)的外力。需要說明一下，工程中有許多問題很接近于平面應(yīng)變問題，如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等，但它們的沿Z向長(zhǎng)度都不是無限長(zhǎng)的。故在靠近兩端的部分，其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜，并不符合平面應(yīng)變問題的條件；因此將這類問題當(dāng)作平面應(yīng)變問題來考慮時(shí)，對(duì)于離開兩端有一定距離的地方，得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的；但對(duì)靠近兩端的部位，卻有較大的出入，往往需要加以處理。

工程有限單元法目前七十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

對(duì)于兩種平面問題，幾何方程都是(1-24)，虛功方程都是(1-25)，物理方程都是：

工程有限單元法目前七十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題對(duì)于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣，應(yīng)該采用(1-23)式，而對(duì)于平面應(yīng)變則采用(1-28)式，還可注意，在(1-23)式中，若將E改換為，將改換為，就得出公式(1-28)。工程有限單元法目前七十五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題

在兩種平面問題中，如果，則和1-3中(1-4)式相似，由幾何方程的積分得出：其中及分別代表彈性體沿x及y方向的剛體移動(dòng)，而代表彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。工程有限單元法目前七十六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)2.2平面問題的有限元法工程有限單元法目前七十七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

有限單元法的基本思路：(1)把物體分成有限大小的單元，單元間用節(jié)點(diǎn)相連接。(2)把單元節(jié)點(diǎn)的位移作為基本未知量，在單元內(nèi)的位移，設(shè)成線性函數(shù)(或其它函數(shù))，保證在單元內(nèi)和單元間位移連接。(3)將節(jié)點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)的力聯(lián)系起來。(4)列出節(jié)點(diǎn)的平衡方程，得出以節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)的平衡方程組。(5)求解代數(shù)方程組，得出各節(jié)點(diǎn)的位移，根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出各單元中的應(yīng)力。有限單元法的基本未知量是節(jié)點(diǎn)位移，用節(jié)點(diǎn)的平衡方程來求解。工程有限單元法目前七十八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)車輛工程技術(shù)中心彈性力學(xué)平面問題的有限單元法包括三個(gè)主要步驟：

1、離散化2、單元分析3、單元綜合

1、離散化有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個(gè)單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，因而必須將連續(xù)體簡(jiǎn)化為由有限個(gè)單元組成的離散體。對(duì)于平面問題，最簡(jiǎn)單，因而最常用的單元是三角形單元。這些單元在節(jié)點(diǎn)處用鉸相連，荷載也移置到節(jié)點(diǎn)上，成為節(jié)點(diǎn)荷載。在節(jié)點(diǎn)位移或其某一分量可以不計(jì)之處，就在節(jié)點(diǎn)上安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。工程有限單元法目前七十九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

2、單元分析對(duì)三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.節(jié)點(diǎn)位移

節(jié)點(diǎn)力

目前八十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

2、單元分析-----單元?jiǎng)偠染仃嚾」?jié)點(diǎn)位移作基本未知量。由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力：其中，轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元?jiǎng)偠染仃?。單元分析的主要目的就是要求出單元?jiǎng)偠染仃?。單元分析的步驟可表示如下：工程有限單元法目前八十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

3、單元綜合將離散化了的各個(gè)單元合成整體結(jié)構(gòu)，利用節(jié)點(diǎn)平衡方程求出節(jié)點(diǎn)位移。在位移法中，主要的任務(wù)是求出基本未知量---節(jié)點(diǎn)位移。為此需要建立節(jié)點(diǎn)的平衡方程。工程有限單元法目前八十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)i點(diǎn)總的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)為：根據(jù)節(jié)點(diǎn)的平衡條件，得單元e的節(jié)點(diǎn)力，可按式(2-2)用節(jié)點(diǎn)位移表示，代入得到用節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡方程。每個(gè)可動(dòng)節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)未知位移，有兩個(gè)平衡方程，所以方程總數(shù)與未知位移總數(shù)相等，可以求出所有的節(jié)點(diǎn)位移。單元綜合的目的就是要求出節(jié)點(diǎn)位移。節(jié)點(diǎn)位移求出后，可進(jìn)一步求出各單元的應(yīng)力。工程有限單元法目前八十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)2.2.1平面問題的離散化

對(duì)任何工程平面構(gòu)件進(jìn)行有限元分析，首先都是從簡(jiǎn)化其幾何形狀，繪出其平面簡(jiǎn)圖入手。連續(xù)體的離散化就是單元網(wǎng)格劃分。平面問題中最常用的單元是三角形和矩形單元。總之，通過單元?jiǎng)澐郑d荷移置以及約束簡(jiǎn)化，就形成了有限元模型。工程有限單元法目前八十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)在劃分單元時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）單元類型的選擇，主要取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀、施加的載荷類型和要求的計(jì)算精度。（2）單元的大?。淳W(wǎng)格的疏密），從有限元的理論上講，單元?jiǎng)澐衷郊?xì)，節(jié)點(diǎn)布置越多，計(jì)算結(jié)果精度越高。但相應(yīng)要求計(jì)算機(jī)容量也增大，計(jì)算時(shí)間也增加。（3）單元有疏有密，對(duì)結(jié)構(gòu)的不同部位可采用不同大小的單元。（4）不同厚度或不同材料處，應(yīng)取作為單元的邊界線，而且在該處附近的單元還應(yīng)劃分的小一些，以盡可能反映出邊線兩側(cè)應(yīng)力的突變情況。（5）預(yù)留載荷位置，在分布載荷集度變化處和集中力作用處，應(yīng)布置節(jié)點(diǎn)，以利加載，并且其附近的單元也應(yīng)劃分的小些，以反映此處的應(yīng)力變化。工程有限單元法目前八十五頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)2.2.2單元位移函數(shù)

如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應(yīng)變分量，再?gòu)奈锢矸匠糖髴?yīng)力分量。但對(duì)一個(gè)連續(xù)體，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況很難用一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。有限單元法的基本原理是分塊近似，即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng)格，在每一個(gè)單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點(diǎn)的位移變化情況可近似地用簡(jiǎn)單函數(shù)來描繪。對(duì)每個(gè)單元，可以假定一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，用它近似表示該單元的位移。這個(gè)函數(shù)稱為位移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場(chǎng)。對(duì)于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項(xiàng)式表示，多項(xiàng)式中包含的項(xiàng)數(shù)越多，就越接近實(shí)際的位移分布，越精確。但選取多少項(xiàng)數(shù)，要受單元型式的限制。工程有限單元法目前八十六頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

三節(jié)點(diǎn)三角形單元六個(gè)節(jié)點(diǎn)位移只能確定六個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，所以平面問題的3結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)如下，所選用的這個(gè)位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移定為座標(biāo)的線性函數(shù)，位移模式很簡(jiǎn)單。位移函數(shù)寫成矩陣形式為：工程有限單元法目前八十七頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

最終確定六個(gè)待定系數(shù)工程有限單元法目前八十八頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

令（下標(biāo)i，j，m輪換）簡(jiǎn)寫為[I]是單位矩陣，[N]稱為形態(tài)矩陣，Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù)工程有限單元法目前八十九頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

選擇單元位移函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解答。因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列兩方面的條件：(1)必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變。

6個(gè)參數(shù)到反映了三個(gè)剛體位移和三個(gè)常量應(yīng)變。(2)必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性。

(線性函數(shù)的特性)工程有限單元法目前九十頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

例題：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣[N]。工程有限單元法目前九十一頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

由三角形的面積工程有限單元法目前九十二頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)

本節(jié)利用幾何方程、物理方程，實(shí)現(xiàn)用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變和單元的應(yīng)力。用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的應(yīng)變的表達(dá)式為

，[B]矩陣稱為幾何矩陣。

2.2.3單元應(yīng)變和應(yīng)力工程有限單元法目前九十三頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)對(duì)于平面應(yīng)力問題:工程有限單元法目前九十四頁\總數(shù)一百零八頁\編于八點(diǎn)2.2.4單元?jiǎng)偠染仃噯卧?jié)點(diǎn)力與單元位移的關(guān)系式