線(xiàn)性代數(shù)行列式江龍

3.1行列式的定義引例3.1用消元法解二元線(xiàn)性方程組

解第一個(gè)方程乘以a22，第二個(gè)方程乘以a12，然后兩方程相減得類(lèi)似可得目前一頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)當(dāng)

時(shí),得方程組的解我們引進(jìn)二階行列式的概念,即定義那么,方程組的解可整齊地表示為目前二頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)二階行列式又稱(chēng)為二階方陣的行列式類(lèi)似地，如果定義三階行列式記作目前三頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)含有三個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式

時(shí)，通過(guò)計(jì)算可知其解可整齊地表示為

目前四頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)目前五頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)問(wèn)題使得方程組的解可整齊地表示為設(shè)n×n的線(xiàn)性方程組如何定義n階行列式目前六頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)（這里假設(shè)分母不為零）目前七頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)在中劃掉第i行和第j列元素而剩下的元素按原來(lái)相對(duì)位置不變所構(gòu)成的低一階的行列式，稱(chēng)為(i,j)元素的余子式，記為Mij

,稱(chēng)Aij

=(-1)i+jMij為(i,j)元素的代數(shù)余子式。目前八頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)例如目前九頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)n階行列式的值定義如下：定義3.1（行列式的遞歸定義）當(dāng)n=1時(shí)，=a11;當(dāng)n≥2時(shí)，假設(shè)對(duì)n-1階行列式已有定義，則（上式又稱(chēng)按第一行展開(kāi)）（3.1）目前十頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)由定義，可得二階行列式與三階行列式的計(jì)算目前十一頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)計(jì)算下三角行列式按第1行展開(kāi)按第1行展開(kāi)解根據(jù)行列式的定義例3.1目前十二頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)特別地，目前十三頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)對(duì)于方陣，設(shè)Aij表示元素aij的代數(shù)余子式，稱(chēng)矩陣為A的伴隨矩陣。3.2行列式的性質(zhì)定義3.2（伴隨矩陣的定義）目前十四頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)定理3.1（行列式展開(kāi)定理）即行列式等于其任一行（列）元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和（亦即行列式可按任一行或任一列展開(kāi)）；任一行（列）元素與另一行（列）元素所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零。即目前十五頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)按第1行展開(kāi)例3.2驗(yàn)證行列式的展開(kāi)定理解按第3行展開(kāi)按第3列展開(kāi)目前十六頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)再驗(yàn)證一下錯(cuò)列或錯(cuò)行展開(kāi)是否為零?目前十七頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)設(shè)，求D的第3列元素的代數(shù)余子式之和。根據(jù)行列式的展開(kāi)定理可得從而，即，練習(xí)已知計(jì)算例3.3解目前十八頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)利用展開(kāi)定理得到計(jì)算行列式的基本方法Ⅰ

“降階法”，即利用行列式展開(kāi)定理,可將n階行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為n-1階行列式的計(jì)算。根據(jù)行列式的展開(kāi)定理，按第一列展開(kāi)得計(jì)算上三角行列式例3.4解目前十九頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)例如性質(zhì)3.1如果行列式有一行（列）的元素為零，則該行列式的值等于零。目前二十頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)性質(zhì)3.2

若行列式的某一行（列）的所有元素均為兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式等于相應(yīng)的兩個(gè)行列式的和。例如目前二十一頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)性質(zhì)3.3

設(shè)A是一個(gè)方陣，相應(yīng)于方陣的三種初等行（列）變換，行列式也有相應(yīng)的三種行（列）變換。一次變換后，其值會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？(1)設(shè)，則(2)設(shè)，則(3)設(shè)，則推論3.1如果行列式中有兩行（列）的元素相同，則該行列式的值為零。例如目前二十二頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)性質(zhì)3.4如果行列式中的某行元素（列）有公因子，則該公因子可提到行列式的外面。例如目前二十三頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)推論3.2對(duì)于n階方陣A，則是一個(gè)數(shù)。推論3.3如果行列式中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則其行列式的值為零。例如目前二十四頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)利用行列式的性質(zhì)得到計(jì)算行列式的基本方法Ⅱ

“化三角形法”。其基本思路是：通過(guò)行列式的行（列）變換將行列式化簡(jiǎn)為階梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其對(duì)角線(xiàn)上元素的積計(jì)算其結(jié)果。解只用ri+krj這種變換，例3.5把行列式化為三角形，然后計(jì)算行列式D的值。目前二十五頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)只用ri+krj變換或只用ci+kcj變換一定能把行列式化為上(下)三角形,行列式的值不變。目前二十六頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)說(shuō)明1行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也成立，反之亦然。說(shuō)明2計(jì)算行列式的方法很多，技巧也很強(qiáng)，重點(diǎn)掌握降階法和化三角形法。定理3.2矩陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置矩陣AT的行列式的值相等，即目前二十七頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)計(jì)算行列式將行列式第2、3、4列加到第一列,得例3.6解目前二十八頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)特征1：對(duì)于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡(jiǎn)化計(jì)算。將行列式第2,3,…,n列加到第一列,得計(jì)算n階行列式例3.7解目前二十九頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)目前三十頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)計(jì)算n階行列式利用初等列變換可將該行列式化為三角形行列式特征2：第一行，第一列及對(duì)角線(xiàn)元素除外，其余元素全為零的行列式稱(chēng)為爪型行列式。例3.8解目前三十一頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)計(jì)算范德蒙德(Vandermonde)行列式從最后一行開(kāi)始，每行減去上一行的an倍。特征3：范德蒙德(Vandermonde)行列式的計(jì)算過(guò)程及結(jié)論。例3.9解目前三十二頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)目前三十三頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)按最后一列展開(kāi)目前三十四頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)目前三十五頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)定理3.3（行列式的乘法定理）只用第三種初等行變換可把A化為上三角矩陣

證明設(shè)A，B是n階方陣，則注當(dāng)A，B都是n階方陣時(shí)，一定有只用第三種初等列變換可把B化為上三角矩陣

即存在第三種初等矩陣使得并有因此目前三十六頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)設(shè)A是奇數(shù)階方陣，且證明例3.10證明目前三十七頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)解例3.11，計(jì)算目前三十八頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)3.3行列式的應(yīng)用行列式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在理論推導(dǎo)。方陣A可逆的充分必要條件是，時(shí)，其逆矩陣，其中A*為A的伴隨矩陣。定理3.4且當(dāng)A可逆說(shuō)明1

該定理不僅可以用來(lái)判別方陣可逆，同時(shí)也提供了求逆矩陣的計(jì)算公式。說(shuō)明2當(dāng)時(shí)，A稱(chēng)為奇異矩陣，否則稱(chēng)為非奇異矩陣。目前三十九頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)證明必要性設(shè)方陣A可逆，則存在A(yíng)-1，使對(duì)上式兩邊取行列式，并利用行列式乘法定理得所以充分性所以A可逆，且設(shè)，由行列式展開(kāi)定理目前四十頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)討論矩陣何時(shí)可逆，且求其逆矩陣。A可逆的充分必要條件為例3.12解目前四十一頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)求A的逆矩陣?yán)?.13解目前四十二頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)設(shè)例3.14證明證明A可逆的充要條件是并求其逆。目前四十三頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)設(shè)A，B均為n階方陣，證明AB可逆的充分必要條件是A，B均可逆。若A，B均可逆，則從而因此AB可逆。

反之，若AB可逆，則從而因此A、B可逆。

例3.15證明目前四十四頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)有唯一解解的分量為定理3.5克萊姆法則注通常把解的分量表達(dá)式叫做克萊姆法則。設(shè)，則線(xiàn)性方程組其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第j列換成向量b而得到的行列式。目前四十五頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)可知A可逆，且方程組有惟一解，其解為由系數(shù)矩陣的行列式即證明目前四十六頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)比較左右兩邊矩陣的j行,得目前四十七頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)推論3.4設(shè)齊次線(xiàn)性方程組Ax=0，如果系數(shù)矩陣行列式則方程組Ax=0只有零解。目前四十八頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(1,0)，(2,3)

(-3,28)，求該拋物線(xiàn)的方程。將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，得a,b,c應(yīng)滿(mǎn)足的非線(xiàn)性

經(jīng)計(jì)算得

例3.16解方程組注系數(shù)行列式是范德蒙行列式目前四十九頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)故由克萊姆法則，上述方程組的惟一解為

于是所求拋物線(xiàn)方程為

目前五十頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)

系數(shù)行列式按第3行展開(kāi)當(dāng)時(shí)，齊次方程組有非零解。當(dāng)為何值時(shí)，齊次方程組有非零解？

例3.17解目前五十一頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)問(wèn)a,b為何值時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮多解。有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解。已知方程組

系數(shù)矩陣是方陣首選行列式法例3.18解目前五十二頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)當(dāng)a≠1時(shí)，方程組有唯一解；a=1當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。當(dāng)a=1時(shí)，方程組可能無(wú)解也可能有無(wú)窮多解，需討論。目前五十三頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)通解為目前五十四頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)定義3.3（n階行列式的逆序數(shù)定義）其中，是自然數(shù)1，2，…，n的一個(gè)排列；是對(duì)所有這樣的排列求和，共有項(xiàng)；是排列的逆序數(shù)，其定義為：在一個(gè)排列中，如果，則稱(chēng)出現(xiàn)一個(gè)逆序，一個(gè)排列中出現(xiàn)逆序的總數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)。目前五十五頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)例如因此目前五十六頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)解根據(jù)行列式的逆序數(shù)定義，能夠出現(xiàn)x4，x3的項(xiàng)只有設(shè)例3.19問(wèn)f(x)中x4，x3系數(shù)分別是多少？和故所以，x4，x3的系數(shù)分別為1，-4。目前五十七頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)所以根為x=1,2,3.利用范德蒙德行列式備用題1解目前五十八頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)計(jì)算行列式D2n的值按第一行展開(kāi)備用題2解目前五十九頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)目前六十頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)計(jì)算n階行列式的值按第一行展開(kāi)備用題3解目前六十一頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)得遞推公式特征4：所求行列式某一行（列）至多有兩個(gè)非零元素，按這一行展開(kāi)，并能夠得到較低階的具有相同結(jié)構(gòu)的行列式，如備用題2、3。目前六十二頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)計(jì)算n階行列式Dn拆分為如下兩個(gè)行列式，且第一個(gè)行列式按最后一列展開(kāi)，注意與例3.7的形式不同。第二個(gè)行列式利用備用題4解目前六十三頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)目前六十四頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)特征5：除對(duì)角線(xiàn)元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等，常用拆分法或數(shù)學(xué)歸納法求解。閱讀書(shū)上例題3.10。目前六十五頁(yè)\總數(shù)六十八頁(yè)\編于八點(diǎn)設(shè)分塊矩陣，其中