線性代數(shù)行列式的展開計算演示文稿

線性代數(shù)行列式的展開計算演示文稿目前一頁\總數(shù)五十五頁\編于八點（優(yōu)選）線性代數(shù)行列式的展開計算目前二頁\總數(shù)五十五頁\編于八點決這個問題,先學習余子式和代數(shù)余子式的概念.一般來說,低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便,于是,自然地考慮用低階行列式來表示高階行列式的問題.本節(jié)我們要解決的問題是,如何把高階行列式降為低階行列式,從而把高階行列式的計算轉化為低階行列式的計算.為了解目前三頁\總數(shù)五十五頁\編于八點第三節(jié)行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式二、行列式按行（列）展開法則三、小結目前四頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例如一、余子式與代數(shù)余子式目前五頁\總數(shù)五十五頁\編于八點啟示:三階行列式可按第一行“展開”.對式適當重新組合,易見該三階行列式也可按第一列“展開”.目前六頁\總數(shù)五十五頁\編于八點余子式和代數(shù)余子式Aij

叫做元素aij

的代數(shù)余子式.定義

在n

階行列式中,把元素aij

所在的第i

行和第

j

列劃去后,剩下的元素按它們在原行列式中的相對位置組成的n–1階行列式叫做元素aij的余子式,記作Mij;Aij=(–1)i+jMij,記目前七頁\總數(shù)五十五頁\編于八點在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如目前八頁\總數(shù)五十五頁\編于八點目前九頁\總數(shù)五十五頁\編于八點引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如目前十頁\總數(shù)五十五頁\編于八點定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即二、行列式按行（列）展開法則這個定理叫做行列式按行（列）展開法則.目前十一頁\總數(shù)五十五頁\編于八點證明目前十二頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例1計算行列式解按第二行展開，得目前十三頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例2試按第三列展開計算行列式解將按第三列展開,則有其中目前十四頁\總數(shù)五十五頁\編于八點解其中所以目前十五頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例3目前十六頁\總數(shù)五十五頁\編于八點目前十七頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例4計算行列式解目前十八頁\總數(shù)五十五頁\編于八點目前十九頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例5證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式的每列都是某一個數(shù)的不同方冪，且自上而下方冪次數(shù)由0遞增至n-1目前二十頁\總數(shù)五十五頁\編于八點證明對

n作歸納法.當n=2時，結論成立.設對于n

–1階范德蒙德行列式結論成立，現(xiàn)在來看

n階的情形.在n階范德蒙德行列式中，第n行減去第n

–1行的a1倍，第n

–1行減去第

n

–2行的a1倍.也就是由下而上依次地從每一行減去它上一行的a1倍，有目前二十一頁\總數(shù)五十五頁\編于八點按第1列展開，并把列的公因子(ai

–

a1)提出，得目前二十二頁\總數(shù)五十五頁\編于八點上式右端行列式是n

–1階范德蒙德行列式，按歸納法假設，它等于所有(ai

–

aj)因子的乘積，其中2≤

j<i

≤

n.故證畢目前二十三頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例6計算解目前二十四頁\總數(shù)五十五頁\編于八點推論

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn

=0,i

j

,或

a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.目前二十五頁\總數(shù)五十五頁\編于八點有關于代數(shù)余子式的重要性質：或其中目前二十六頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例取第一行元素目前二十七頁\總數(shù)五十五頁\編于八點思考第四行各元素余子式之和為分析以表示中元素的余子式，則有目前二十八頁\總數(shù)五十五頁\編于八點1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.

三、小結目前二十九頁\總數(shù)五十五頁\編于八點1.

直接用定義公式計算;

2.

利用性質化為三角行列式;

3.

利用展開式定理降階.到現(xiàn)在為止,我們已能計算任意階的行列式.行列式的計算是我們這一章的重點,也是同學們必須掌握的基本技能.行列式有以下三種計算方法:目前三十頁\總數(shù)五十五頁\編于八點行列式時,應根據(jù)實際情況靈活選擇計算方法.行列式的計算在這三種方法中,方法1

主要用于理論分析,很少用來計算具體的行列式,但對于低階行列式(如二階、三階)或有很多零元素的高階行列式,有時也可用此方法來計算;方法2適用于行列式的階不確定的高階行列式的計算;方法3

主要用于階為已知的高階行列式的計算.當然在計算一個下面看幾個例子.目前三十一頁\總數(shù)五十五頁\編于八點

下面舉幾個n階行列式計算的例子.

例設證明遞推關系式

Dn

=nDn-1-

n-1n-1Dn-2(n>2).目前三十二頁\總數(shù)五十五頁\編于八點按Dn的第n列展開,得證明目前三十三頁\總數(shù)五十五頁\編于八點展開,即為上式中n

的代數(shù)余子式是與Dn

同類型的n-1階行列式Dn-1

,而對n-1

的余子式按第n-1行目前三十四頁\總數(shù)五十五頁\編于八點

n-1Dn-2

,

至此我們得到Dn

=nDn-1-n-1n-1Dn-2

.

證畢關系式在計算數(shù)學中常被引用.Dn

是常見的n

階三對角行列式,所證的遞推目前三十五頁\總數(shù)五十五頁\編于八點

例計算n

階行列式目前三十六頁\總數(shù)五十五頁\編于八點=D1+(n-1)=n+1.這是一個三對角行列式,在這里i

=2,i

=i

=1(

i=1,2,···,n),由果可得

Dn=2Dn-1

-

Dn-2.適當移項可得關于Dn

的遞推關系式Dn

-

Dn-1=Dn-1

-

Dn-2=Dn-2

-

Dn-3=···=D2

-

D1.因

D2=4-1=3,D1=2,D2

-

D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···

的結解目前三十七頁\總數(shù)五十五頁\編于八點第四節(jié)Cramer法則一、非齊次與齊次線性方程組的概念二、Cramer法則三、小結目前三十八頁\總數(shù)五十五頁\編于八點設線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.一、齊次與非齊次線性方程組的概念目前三十九頁\總數(shù)五十五頁\編于八點二、Cramer法則定理1如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即目前四十頁\總數(shù)五十五頁\編于八點其中Di是把系數(shù)行列式D中第i列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為目前四十一頁\總數(shù)五十五頁\編于八點例1用Cramer法則解方程組解:目前四十二頁\總數(shù)五十五頁\編于八點目前四十三頁\總數(shù)五十五頁\編于八點89-50目前四十四頁\總數(shù)五十五頁\編于八點目前四十五頁\總數(shù)五十五頁\編于八點程的個數(shù)與未知量的個數(shù)不等時,就不能用克拉通過上述例子,我們看到用克拉默法則求解線性方程組時,要計算n+1個n階行列式,這個計算量是相當大的,所以,在具體求解線性方程組時,很少用克拉默法則.另外,當方程組中方默法則求解.目前四十六頁\總數(shù)五十五頁\編于八點但這并不影響克拉默法則在線性方程組理論中的重要地位.克拉默法則不僅給出了方程組有唯一解的條件,并且給出了方程組的解與方程組的系數(shù)和常數(shù)項的關系.目前四十七頁\總數(shù)五十五頁\編于八點

定理1

如果線性方程組克拉默法則可敘述為下面的重要定理.式D

0,則(1)一定有解,且解是唯一的.二、線性方程組有解的條件定理1的逆否定理為:定理1′如果線性方程組(1)無解或有無窮個不同的解,則它的系數(shù)行列式必為零.的系數(shù)行列目前四十八頁\總數(shù)五十五頁\編于八點全為零時,線性方程組(1)叫做齊次線性方程組.線性方程組b1

,

b2

,

···

,

bn不全為零時,線性方程組(1)叫做非齊次線性方程組;當b1

,

b2

,

···

,

bn

右端的常數(shù)項目前四十九頁\總數(shù)五十五頁\編于八點對于齊次線性方程組(2)x1=x2=···=xn=0一定是它的解,這個解叫做齊次線性方程組(2)的零解.目前五十頁\總數(shù)五十五頁\編于八點

定理2′如果齊次線性方程組(2)有非零如果一組不全為零的數(shù)是做齊次線性方程組(2)的非零解.

齊次線性方程組(2)一定有零解,但不一定有非零解.對于齊次線性方程組(2)有以下定理.

定理2

如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D

0,則齊次線性方程組(2)沒有非零解.解,則它的系數(shù)行列式必為零.的解,則它叫目前五十一頁\總數(shù)五十五