《空間向量的正交分解和其坐標(biāo)表示》專題培訓(xùn)課件

平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo【溫故知新】問題：

我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示（平面向量基本定理）。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？xyzOQP

由此可知，如果是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量，存在一個有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得我們稱為向量在上的分向量。探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的向量，你能得出類似的結(jié)論嗎？任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。一、空間向量基本定理：

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使都叫做基向量(1)任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。特別提示:對于基底除了應(yīng)知道不共面，還應(yīng)明確：

(2)由于可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是。(3)一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念。1、已知向量{a，b，c}是空間的一個基底．求證：向量a+b，a-b，c能構(gòu)成空間的一個基底．練習(xí)練2

設(shè)且是空間的一個基底,給出下列向量組

②③④,其中可以作為空間的基底的向量組有()A.1個B.2個C.3個D.4個分析:能否作為空間的基底,即是判斷給出的向量組中的三個向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以構(gòu)造一個平行六面體直觀判斷A1AD1C1B1DCB設(shè),易判斷出答案C二、空間直角坐標(biāo)系

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系:在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O--xyz

點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。xyzOe1e2e3二、空間向量的直角坐標(biāo)系xyzOe1e2e3

給定一個空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數(shù)組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中的坐標(biāo)，記作.P=(x,y,z)例1平行六面體中,若MC=2AM,A1N=2ND,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要結(jié)合圖形,充分運用空間向量加法和數(shù)乘的運算律即可.ABCDA1B1D1C1MNABCDA1B1D1C1MN解:連AN,則MN=MA+ANMA=－AC=－(a+b)1313AN=AD+DN=(2b+c)13=(－a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面體中,若MC=2AM,A1N=2ND,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN.B

OACPNMQ例2.已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M，N，分別是對邊OA,BC的中點，點P,Q

是線段MN三等分點,用基向量OA,OB,OC表示向量OP,OQ.變式空間四邊形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,設(shè)