高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八篇《第48講 空間幾何體的表面積與體積》理 蘇教版

2013高總習(xí)蘇用理：第篇第48講空幾體的面與積基達(dá)演合新選含析A級(jí)基達(dá)標(biāo)演練(時(shí)：分鐘滿：分)一、填空題每題5分，共35分1．(2011·常州模)在三棱錐ABC，面，，SAC是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且AB＝＝CA＝，則三棱錐SABC表面積________．13解析設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a，則2＝，＝2，側(cè)面積為3××a＝，面積為×2＝3，24表面積為3＋3.答案3＋32．(2010·湖)圓柱形容器內(nèi)有高度為8cm水，若放入三個(gè)相同的球球的半徑與圓柱的底面半徑相)后，水恰好淹沒最上面的(如圖所，則球的半徑是_______cm.4解析設(shè)球的半徑為rcm則×8π×3πr×6解得＝cm.3答案43．(2010·蘇州模)如圖所示已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長(zhǎng)為1的方形和4個(gè)長(zhǎng)為1的三角形組成，則該多面體的體積________解析由題知該多面體為正四棱，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為2122，所以體積V＝＝.面中心即為高，可求得高為23262答案6

32

，連接頂點(diǎn)和底4011·揚(yáng)州模擬)如圖所示三棱柱ABC的有棱長(zhǎng)均為1⊥面ABC則三棱錐BABC的積為________．

解析三棱錐BABC的體積等于三棱錐A體積，三棱錐ABBC的為11133為，其體積為××＝.2322123答案12

32

，底面積5．某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，盤時(shí)盤芯直徑40mm滿盤時(shí)直徑120，知衛(wèi)生紙的厚度為0.1，滿盤時(shí)衛(wèi)生的總長(zhǎng)度大約________m(取3.14精確到1m)．π解析衛(wèi)生紙總長(zhǎng)度為

－0.1

≈3.14×32000480(mm)．答案1006．(2010·蘇州模)已知一個(gè)多面體共有9個(gè)面，所有棱長(zhǎng)均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V________.解析該凸多面體由一個(gè)正方體一個(gè)正四棱錐組成，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以1＝，因?yàn)檎睦忮F的棱長(zhǎng)全為1，所以正四棱錐的底面積為1×11，22又因?yàn)檎睦忮F的高為1－，2122所以此凸多面體的體積＝＋×1×＝＋.326答案1＋

267．空間點(diǎn)到平面的距離定義如：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的距離叫做

eq\o\ac(△,S)BPCeq\o\ac(△,S)BPC3eq\o\ac(△,S)BPCeq\o\ac(△,S)BPC3這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，平面α，β，γ兩互相垂直，點(diǎn)∈α，點(diǎn)到面β，的距離都是3，點(diǎn)P是α上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足P的離是到A距的2倍則點(diǎn)到平面的距離最小值________解析由題意，可在平面α建直角坐標(biāo)系如圖所示，問題變?yōu)橐阎狿＝，求PC的小值，設(shè)(，y)，則有3－x＝x＋，即y＝3(＋＋12≤12≤，所PC＝－≥33，所求的最小值為3－3.答案3－3二、解答題每題15分共45分)8．在四面體的六條棱中，有五棱長(zhǎng)都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求其表面積．解(1)如圖，在四面體中，設(shè)＝BCCD＝＝，AD＝，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接、EP、.得到AD⊥平面BPC∴＝＋11＝··＋·PD331＝··ADeq\o\ac(△,S)BPC11＝··32

xaa－－·44＝

a12

a－

xa31≤·＝a(當(dāng)且僅當(dāng)＝a時(shí)等號(hào))．122821∴該四面體的體積的最大值為a.8(2)由1)知eq\o\ac(△,，)ABC和△都是邊長(zhǎng)為a的正三角形eq\o\ac(△,，)ABD和△是全等的等腰三角形，

eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)其腰長(zhǎng)為a，底長(zhǎng)為

6316a，∴＝2×a＋2××a×2422

a

6－a＝＝

3610aa＋a×224315aa＋2423＋15＝4

.9．一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6側(cè)棱長(zhǎng)為15，這個(gè)三棱錐的體積．解如所示，正三棱錐SABC.設(shè)H為正的心，連接SH，則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高連接AH并延長(zhǎng)交BC于E，則E為BC的點(diǎn)，且⊥BC.因?yàn)椤魇情L(zhǎng)為6的三角形，∴＝

32×6＝3，所以AH＝23.2311在△ABC中，＝BCAE×6×33＝3.22在eq\o\ac(△,Rt)中，＝15AH23，所以SH＝－＝15－123，11故V＝·＝×93×3＝3310．圖所示，斜三棱柱B的面是邊長(zhǎng)為的正角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于，一條側(cè)棱AA和底面相鄰兩邊AB、都成45°角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積．解求棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法：一是定義法；二是公式法．

因?yàn)楹偷譇B成角，且為45°，所以A在面ABC的射影在BAC的平分線AG上，又△ABC為正三角形，所以AGBC.因?yàn)锳A在面ABC上的射影在上，所以BC⊥.又A∥，所以⊥，側(cè)面矩形．所以BCC＝·＝.又側(cè)面A和側(cè)A都平行四邊形，且全等，所以ABB＝＝AAB·sin45°故S＝2＋ab.

22

，B級(jí)綜創(chuàng)新備選(時(shí)：分鐘滿：分)一、填空題每題5分，共30分1．(2011·南京模擬)用徑為的圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐桶，那么這個(gè)圓錐的高是．R解析底面圓的周長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，所以圓錐高為h＝2

R

3－R.2答案

32

R2．(2011·南京調(diào))如圖，已正三棱柱C的底面邊長(zhǎng)為2cm，為，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A的短路線的長(zhǎng)________cm.解析根據(jù)題意用分割法將三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱后其展開為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長(zhǎng)為5＋12＝13cm.答案13

3．正方體C的棱為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足＝2，到線AD的距為5，點(diǎn)P的軌________．解析由PM，知點(diǎn)P在圓心2半徑的圓上．又由P到線A的距為5，知點(diǎn)P在平行且過中點(diǎn)直線上，故點(diǎn)

P的跡是它們的交點(diǎn)，即為兩點(diǎn)．答案兩個(gè)點(diǎn)4(2011·揚(yáng)中學(xué)沖)在120°二面角內(nèi)放置一個(gè)小球二角的兩個(gè)面相切于A、B兩點(diǎn)這兩個(gè)點(diǎn)的距離＝，則小球的半徑_．解析如，在△中，＝BC，＝，ACB，所以∠AOB＝60°，所eq\o\ac(△,以)AOB是等邊三角形，OB＝5.答案55．(2011·南京模)如圖，在三棱柱中＝，＝＝，＝為線段BB上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)＋MC最時(shí)，△AMC的積________．解析如圖，當(dāng)＋MC最時(shí)＝1所以＝，M＝，AC

＝14，于是由余弦定理，AM＋－1得cos∠＝＝－，2·2所以sin∠＝

313，eq\o\ac(△,S)＝×2×22×＝3.222答案36．圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)體ABCDBCD容內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊固定于地面上，再將容器傾斜隨傾的同，有下列四個(gè)說法：

ABCeq\o\ac(△,S)ABCABCeq\o\ac(△,S)ABC①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形的面積不改變；③棱AD始終水面平；④當(dāng)E∈，＋是值．其中所有正確的命題的序號(hào)是_．解析觀察圖形并試驗(yàn)可知①正，②不正確；③正確．④中＝F，＝E所以＋定值，故正確命題是①③④.答案①③④二、解答題每題15分共30分)7．給出一塊邊長(zhǎng)為的正角紙片，把它折成一個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等的三棱錐，并使它的全面積與原三角形面積相等計(jì)一種折疊方法用虛線標(biāo)在圖中并求該三棱錐的體積．解取邊三角形三邊的中點(diǎn)、、，結(jié)AB、BCCA得三角形的三條中線，以中位線為折線折起三角形，使三角形三頂點(diǎn)重合，則得側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都等于1的三錐S，作SO平面ABC，連結(jié)并延長(zhǎng)交AB于E，則是的中點(diǎn)，連結(jié)SE.因?yàn)镺是△的內(nèi)心，2233所以O(shè)C＝＝×＝3323在eq\o\ac(△,Rt)中，＝，＝SC－OC＝

161－＝，33111故V＝×＝×××SO332

2222221362＝××1×＝.623128．如圖所示，在平行四邊形中∠＝60°AB2，＝4.將△CBD折起到△的位置，使平面⊥平面ABD.(1)求證：⊥DE(2)求三棱錐EABD的側(cè)面積．(1)證明在中，因?yàn)锳B＝2，＝，DAB＝60°所以BD＝＋－ABAD·cos＝23，所以AB＋＝，以AB.又因?yàn)槠矫鍱BD⊥平面ABD平面EBD∩平面ABDBD，AB平面ABD，所以⊥面EBD又因?yàn)槠剑浴?(2)解由1)知AB，為CD∥，所以CD⊥，從而DE