回歸分析預(yù)測法

回歸分析預(yù)測法第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)回歸分析的基本概念一.基本概念

1.回歸分析的來由：

20世紀初，英統(tǒng)計學(xué)家F.Golden研究父子身高的遺傳統(tǒng)計，高個子父母下一代比父親更高的概率小于比他矮的概率，而矮個子父親下一代比父親高的概率大于比他矮的概率；且這兩種高度父輩的后代，高度有向兩種父輩平均身高靠攏的趨勢，這種現(xiàn)象稱為“回歸”——是一種自然界現(xiàn)象規(guī)律的提取。

東森平臺 第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五

2.回歸分析研究變量之間的互相關(guān)系，把其中一些因素作為控制的變量，而把另一些隨機變量作為因變量，利用適當?shù)臄?shù)學(xué)模型盡可能趨向于趨勢變化的均值描述它們的關(guān)系的分析，稱為回歸分析。即假定y與x相關(guān)，應(yīng)有y=f(x)

若x1,x2,‥‥‥xn個變量影響y，應(yīng)有

y=f(x1,x2,‥‥‥xn)

顯然，有一些問題必須解決第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五①因素分析現(xiàn)代社會中，任何一件事物與多個因素相關(guān)，如何選取主要因素，忽略次要因素，使建立的數(shù)學(xué)模型不因變量太多而復(fù)雜，又能較好的抓住主要矛盾。解決方法是求相關(guān)系數(shù)R②運動軌跡的模型主要利用已知統(tǒng)計數(shù)據(jù)在圖上打點進行觀察分析，尋求一條最佳線路。采用最小二乘法，即在滿足該條線路的模擬值與真值總平方誤差∑ei2為最小的條件下，來求出模擬數(shù)學(xué)模型各參數(shù)。（為Gauss--Markov最佳線性與無偏估計量）第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五③相關(guān)性檢驗?zāi)康氖氰b別所求出的模型是否可靠，方法：利用相關(guān)性檢驗準則進行檢驗④精確度：即討論在一定置信度條件下的置信區(qū)間⑤預(yù)測：前面的問題已解決，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)建立且可靠,精度問題也已解決，利用延續(xù)性原則代入需預(yù)測的數(shù)據(jù)，并求出結(jié)果。第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五二.方法分類線性線性一元多元非線性非線性第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第二節(jié)一元線性回歸預(yù)測一.回歸方程的建立假定需預(yù)測的目標為y，與之對應(yīng)的因素x，隨機抽樣，子樣數(shù)為n，通過圖上打點作粗略估計已知的一組對應(yīng)數(shù)據(jù)，初步定為線性關(guān)系，同時再考慮到隨機因素，應(yīng)有:

yi=a+bxi+eii=1,2,……n(1)

不考慮隨機因素，應(yīng)有:

yi=a+bxii=1,2,n(2)

代（2）入（1），求得隨機項

ei=yi

–

yi=yi

–(a+bxi)（3）ei稱為殘差∧∧第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五這表示，真值與模擬直線y=a+bx之間存在實際誤差ei，累積平方誤差為Q=∑ei2,稱殘差平方和，又稱剩余平方和。反之，我們已知的是實際數(shù)據(jù)（xi，yi），從可能的無窮條模擬直線中選取某一條直線，使之模擬得最好，標準為Q=∑e2i最小。由（3）Q（a,b）=∑ei2=∑(yi

–a--bxi)2求極值點，應(yīng)有：[Q(a,b)]’a=0

及[Q(a,b)]’b=0第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五得出∑（yi—a—bxi）=0∑（yi—a—bxi）xi=0

求出a,ba=(1/n)∑yi-b=(∑xiyi—nxy)/(∑xi2—nx2)

記∑（xi—x)2=lxx……x的離差平方和∑（xi—x)(yi--y)=lxy……x,y離差乘積和第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五則b可簡記為

b=lxy/lxx,a=y–(lxy/lxx)xa,b稱回歸系數(shù)

y=a+bx稱線性回歸方程。這種方法稱為最小二乘法，又叫最小平方法OLS（OrdinaryLeastSquare)第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五二.一元線性回歸方程的代表特性

1、∑ei=0,即殘差和為02、回歸直線過點（x,y）∵y=a+bx即過數(shù)據(jù)重心。

3、回歸平均值等于離散平均值，即=y

i=1.n第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五三.相關(guān)檢驗

相關(guān)檢驗解決兩大問題：

x與y是否線性相關(guān)及相關(guān)強弱如何？它們之間相關(guān)顯著性如何？

1、y的離差平方和

lyy=∑(yi—y)2

對于任意給定的xi，都有yi的波動，波動的大小可用yi—y來評價，n次結(jié)果的總波動大小為lyy,……數(shù)據(jù)分散程度。第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五

2、回歸平方和

U=∑(—y)2

對于任意給定的xi，yi與xi是人為給定的線性變化而得到，它與實際的均值必產(chǎn)生偏差，這種偏差是由回歸而產(chǎn)生的，是回歸偏差平方和U……回歸分散程度制定。

3.殘差平方和

Q=∑(yi—y)2

實際值與模擬值產(chǎn)生的誤差，由于yi隨xi變化的隨機特性引起，模擬的好則殘差平方和應(yīng)盡可能小

lyy=Q+U∧∧第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五這個公式中：離差平方和lyy是不可變更的客觀存在，且殘差平方和Q盡可能小，故有U→lyy效果好，即yi與xi之間存在強的線性關(guān)系。于是有定義：R2=U/lyy(0≦︱R︱≦1)

即U=R2·lyy

由lyy=U+Q推出Q=（1—R2）lyy

其中R稱為相關(guān)系數(shù)。當R=0為不相關(guān)，R→+1為強正相關(guān)，R→-1為強負相關(guān)第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五這樣，通過研究相關(guān)系數(shù)R，可作出兩個因素之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，且能判其相關(guān)程度。相關(guān)程度的顯著與不顯著（即使相關(guān)性強，但某因素對另一因素的影響不大，即不顯著，那么這種因素也是不重要的）有一個具體界限，這是R檢驗。由于抽樣誤差的影響，R達到的顯著值與樣本個數(shù)n有關(guān)，且取決于不同的顯著性水平（或置信度），配成相關(guān)系數(shù)檢驗表，它們給出了在不同的n,a時，相關(guān)系數(shù)達到的最小值。第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五四、精度：即是在確定的置信度條件下，求出相應(yīng)的置信區(qū)間：(n>>0)

當a=4.6%時（yi

–2s,yi+2s）

a=0.27%時（yi

–3s,yi+3s）其中S=Q/（n—2),稱為剩余標準差。

2004/10/11第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五五.預(yù)測利用公式=a+bx

對于任意確定的時間（此時取y=a+bt）或數(shù)值（自變量x），可以決定所給定時間或自變量條件的預(yù)測值y及預(yù)測范圍.第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第三節(jié)多元線性回歸預(yù)測

這是指所預(yù)測的變量與多個自變量線性相關(guān)的情形，這里談一種較簡單的分析方法。非線性回歸均可轉(zhuǎn)化為線性回歸，所以我們研究多元線性回歸就有突出重要性。設(shè)y與xj

線性相關(guān)，j=1,2,3,……m,即m元。那么有y與xj

構(gòu)成的線性關(guān)系：

y=bo+b1x1+‥‥‥+bmxm+e

其中bo,b1,‥‥bm為常數(shù)，e為隨機項,則對應(yīng)之回歸方程應(yīng)為（不考慮隨機因素）

y=bo+b1x1+‥‥‥+bmxm

第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五針對y與xj

的第k次觀察數(shù)據(jù)，就有：

yk=bo+b1xk1+‥‥‥+bmxkm+ekyk=bo+b1xk1+‥‥‥+bmxkmk=1,2,……,n,即有n組數(shù)據(jù)取用。由上兩式，得，

ek=

yk－yk=yk－bo－b1xk1－‥‥‥－bmxkm第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五

按照一元線性回歸方法,利用最小二乘法,求各系數(shù):Q(bo,b1‥‥bm)=∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm)2

為最小,求各系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).

則Q’b0=-2∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm)=0:Q’bj=-2∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm)xj=0j=1,2,‥‥,m.k=1,2,…n;由此,共得m+1個方程,第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五求bo:∑yk－nbo－b1∑xk1－‥‥－

bm∑xkm=0∴bo=(1/n)∑yk－(b1

1/n∑xk1+‥‥+bm1/n∑xkm)

令：y=(1/n)∑yk,xj=

(1/n)∑ykj

有bo=y－(b1+b2

+……+bm)

其余m個方程，可表示為矩陣解：

l11l12

……l1jl1mb1l1yl21l22

……l2jl2mb2l2yli1li2

……lijlimbiliy

lm1lm2

……lmjlmmbmlmy

=第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五其中:lij=∑(xki

－

)(xkj

－

)

liy=∑(xki

－

)(yk

－

)i,j=1,2,‥‥,m;k=1,2…n;第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五判斷y與某一自變量xj的相關(guān)顯著程度采用t檢驗.

構(gòu)造統(tǒng)計量tj=bj/[SCjj]

其中S=Q/(n－m－1)

l11l12…l1m

C11’C12’

…C1m’

C’=:::=:::

lm1lm2…lmm

Cm1’Cm2’

…Cmm’Cii’就是C’中對角線元素.

如果tj>ta/2,(n－m－1)

則對應(yīng)的xj對y的影響程度大,否則影響小,應(yīng)予排除.-1第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五

m維線性相關(guān)顯著性檢驗,采用F檢驗.

構(gòu)造統(tǒng)計量

F=(U/m)/[Q/(n－m－1)]

當F>Fa(m,n－m－1)為顯著,

其中:U=∑(yi－y)2Q=∑(yi－yi)2第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五

回歸思維在期，股市中的運用-----------乖離率指標由于任何性質(zhì)的變動趨勢，都有回歸的性質(zhì)，即向均值回歸，在股市市場，股票的股價均有向均值靠近的性質(zhì)。一般地，描述這樣性質(zhì)的技術(shù)指標稱乖離率BIAS，定義為：{[C’－M(n)]/M(n)}·100%C’為當日股價或當日指數(shù)，M(n)為n日股價或n日指數(shù)的移動平均值，

1.若當日股價劇烈上升或下跌，將使BIAS的絕對值加大，回歸愿望強烈。----------------應(yīng)出貨或補倉。(1)(1)(1)第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五

2.若當日股價沿移動平均值前進，則BIAS在0值附近，股價運行軌道不變，---------考慮繼續(xù)持倉或減倉操作，

3.BIAS的數(shù)值表明了股價與市場平均成本的盈利或虧損的百分比，即大多數(shù)投資者所據(jù)有的盈利或虧損空間。投資策略：-3～-5為買入時機

+3～+5為賣出時機

-15～-20為最好時機

-10～-15為較好時機

-5～-10可買入

+15～+40選點賣出短線BIAS(5)BIAS(10)第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五支撐線壓力線買入賣出賣出

買入買入第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五

96.12,因政策和升幅過大下調(diào)至97.1月開始上升，至5.12日深成指從2792至6103，升幅過3311點，因技術(shù)要求及97發(fā)行額度影響，暴發(fā)性下跌，至5.14日收盤5505，跌598點，BIAS(5)=-4.66，BIAS(10)=-2.54,5.15日以5416開盤，探底5279引發(fā)反彈，收至5622點，5.16(周五)以2163點開盤，收至5125點，比前日降497點，BIAS(5)=-8.98，BIAS(10)=-9.92，5.19，5.20略有反彈，5.21日因利空謠傳再次下跌，5.22日國務(wù)院證券委，中行等出臺禁止國企和上市公司買賣股票的幾點規(guī)定出臺，導(dǎo)致股市暴跌，滬：BIAS(5)=-6.87↓，BIAS(10)=-10.88↓

深：BIAS(5)=-7.02↓，BIAS(10)=-12.37↓第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五第四節(jié)非線性回歸預(yù)測兩個變量之間的關(guān)系并非全是線性關(guān)系，非線性關(guān)系也比較多。我們在作圖上估計趨勢時，可利用標準曲線與之比較，哪種曲線最合實際情況，若不是線性關(guān)系，通常有幾種典型的常用模型。第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期五

一.