囚徒困境與納什均衡

囚徒困境與納什均衡第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五一、經(jīng)典案例——囚徒困境二、現(xiàn)實生活中的“囚徒困境”三、納什均衡與優(yōu)勢策略本章內(nèi)容第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五一、經(jīng)典案例——囚徒困境

第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五克格勃的小花招在前蘇聯(lián)，有一位樂隊指揮在火車上翻看樂譜時，兩名克格勃（KGB，蘇聯(lián)國家安全警察）將他作為間諜逮捕了。他們以為那樂譜是某種密碼，這位樂隊指揮爭辯說那只是柴可夫斯基的小提琴協(xié)奏曲，卻無濟于事。第二天，審問者自鳴得意地走進來說：“我看你還是老實招了吧，我們已經(jīng)抓住了你的朋友柴可夫斯基了，他這會兒正向我們交代呢。你如果再不招就槍斃了你。如果交代了，只判你10年。”第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)典案例——囚徒困境兩個嫌疑犯（甲和乙）作案后被警察抓住，隔離審訊；警方的政策是“坦白從寬，抗拒從嚴”：如果兩人都坦白則各判8年；如果一人坦白另一人不坦白，坦白的放出去，不坦白的判15年；如果都不坦白則各判１年。這兩個囚犯該怎么辦呢？是選擇互相合作（不坦白）還是互相背叛（坦白）？

1950年，斯擔福大學客座教授、數(shù)學家圖克（Tucker)為了形象地說明博弈過程，構(gòu)造了著名的“囚徒困境”（prisoners’dilemma）模型。第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)典案例——囚徒困境（15，0）（0，15）（1，1）乙甲不坦白不坦白坦白坦白（8，8）囚徒困境的收益矩陣第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五博弈游戲：囚徒困境請2位同學上來，扮演囚徒困境中的囚徒兩名玩家不得交換意見，同時做出選擇。玩家可以選擇“招”或者“不招”。被判年數(shù)少者獲勝。勝者加4分，其余加2分。乙

（15，0）（0，15）（1，1）甲不招不招招供招供（8，8）第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五兩人都作出招供的選擇，是其優(yōu)勢策略，最符合個體理性的選擇。但收益卻未必最大，這就是“困境”。照博弈論的說法，這是本問題惟一的納什均衡點。只有在這一點上，任何一人單方面改變選擇，他只會得到較差的結(jié)果。這一點就是納什均衡（NashEquilibrium）。納什均衡：局中人單獨改變策略不會得到好處的對局策略組合。當博弈達到納什均衡，并不一定是對參與者最有利的結(jié)果，更不意味著是對整個社會最有利的結(jié)果。納什均衡納什第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五在“囚徒困境”中表現(xiàn)最好的策略直接取決于對方采用的策略。獨立于對方所用策略之外的最好決策是不存在的。在博弈達到納什均衡時，在外界環(huán)境沒有變化的情況下，倘若各方堅持原有的利益最大化原則并理性面對現(xiàn)實，那么這種均衡狀況就能夠長期保持穩(wěn)定。經(jīng)典案例——囚徒困境納什第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五納什均衡納什均衡是一種“不后悔”均衡。張三和李四都想要加薪。假如只有一個員工要求加薪，老板會同意，但如果兩個人都要求加薪，老板就會生氣，并把兩個人統(tǒng)統(tǒng)開除。兩個員工都不要求加薪并不是納什均衡，因為當一方知道另一方?jīng)]有提出加薪要求時，就會后悔自己的選擇。兩個員工都要求加薪也不是納什均衡，因為兩個人事后都會被開除而后悔自己的策略。這場博弈有兩個納什均衡點，張三要求加薪而李四不要求；或李四要求而張三不要求。第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五諾貝爾經(jīng)濟學獎得主薩繆爾森：你可以將一只鸚鵡訓練成經(jīng)濟學家，因為它所需要學習的只有兩個詞——供給與需求。納什均衡的思想

博弈論專家坎多瑞引申說：要成為現(xiàn)代經(jīng)濟學家，這只鸚鵡必須再多學一個詞，這個詞就是“納什均衡”。第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五納什均衡的思想“假如經(jīng)濟學家是按照他們撰寫的論文平均每篇的貢獻大小排定座次的話，那么約翰?納什就有極好的理由爭奪頭把交椅?！偃鐒e人每次寫到或說到“納什均衡”，納什就能得到1美元，那么他早就變成大富翁了?！钡峡宋魈亟淌谠?000年6月希臘雅典大學授予約翰·納什榮譽學位典禮上的講話：第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五二、現(xiàn)實生活中的“囚徒困境”第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五“囚徒困境”是一些非常普遍而有趣的情形的簡單抽象。[明]宋濂《宋文憲公全集》記有一個故事：玉寅生與三烏叢臣是朋友，他們曾歃血盟誓：“我輩應自勵，他日入朝為官，絕不趨炎附勢。如有違此誓，請神明懲罰?！睕]多久，他們一起到晉國為官。當時趙宣子是晉王寵臣，各大夫均奔走于他家。玉寅生重申以前的誓言，三烏叢臣也說：“說過的話猶在耳畔，豈敢忘記！”但三烏叢臣后悔當初的誓言，又怕玉寅生知道。于是在一個大清早，雞剛一報曉，他就前去拜望趙宣子。一進門，他忽然看到東邊走廊有個人坐在那里，他走前舉燈一照，那個人原來是玉寅生?，F(xiàn)實生活中的“囚徒困境”第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)實生活中的“囚徒困境”(升官或落選，升官或落選）（落選，升官）三烏叢臣玉寅生不巴結(jié)巴結(jié)不巴結(jié)巴結(jié)（升官，落選）(升官或落選，升官或落選）取決于誰巴結(jié)得更到位如果巴結(jié)上司會有升官的機會，則其他人也面對同樣的局面。假定兩個人競爭一個官職，則雙方均巴結(jié)，則雙方成本高；雙方均不巴結(jié)，則雙方成本低。然而“巴結(jié)”是雙方的最佳的策略。第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五囚徒與戰(zhàn)士約瑟夫·海勒《第22條軍規(guī)》的一個故事：第二次世界大戰(zhàn)勝利在望，投彈手尤塞里安不想成為勝利前夕最后一批犧牲者，千方百計逃避執(zhí)行任務(wù)。他的上級軍官問：“可是，假如我方士兵都這么想呢？”可尤塞里安答道：“那我若是不這么想，豈不就成了一個大傻瓜？”第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五1984年，美國聯(lián)邦預算赤字實在太高了。裁減必要的巨額開支在政治上并不可行，因此，大幅增稅應是不可避免的。民主黨總統(tǒng)候選人沃爾特·蒙代爾在競選中提出增稅政策，卻被羅納德·里根打得落花流水，因為里根許諾絕不加稅。

政客的囚徒困境

這就是為什么美國是世界上最富有的國家，卻同時又是最大的債務(wù)國的原因。第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五電信價格競爭的“囚徒困境”第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五學生的囚徒困境數(shù)十道“減負令”難見效中小學生課業(yè)負擔不減反增

僅1985年至2000年的15年里，中央就下達“減負令”49次。減輕中小學生過重負擔喊了20多年，實際情況卻是學生課業(yè)負擔不但沒減下來，反倒呈現(xiàn)出越演越烈之勢，致使學生作業(yè)做到深夜、節(jié)假日仍然上課、業(yè)余時間奔忙于各種補習班等。為什么數(shù)十道“減負令”難見效？

第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五盜版書的“囚徒困境”無論怎么打擊，盜版書仍是屢禁不絕。而一個更加奇怪的現(xiàn)象出現(xiàn)了：一些暢銷書還沒有印刷完畢，其盜版書竟已堂而皇之地走上了書攤———他們一改過去“跟風”的傳統(tǒng)，搶在了正版書的前面。而且盜版和正版幾乎沒有什么差別。這種情況下，人們只能得出一個結(jié)論：出版部門出了“內(nèi)奸”?？墒?，當這樣的現(xiàn)象一次次出現(xiàn)，甚至已經(jīng)成了某種規(guī)律的時候，人們才恍然大悟：原來，是出版者自己在盜自己的版！陳魯豫親手抓盜版書《心相約》第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五國家軍備競賽的“囚徒困境”（搞軍備，搞軍備）是雙方?jīng)Q策的納什均衡第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五軍事博弈中蘇交惡的年代，雙方都在邊境地區(qū)陳兵百萬，巨大的軍費開支和潛在的戰(zhàn)爭風險對兩國都是重負。納什均衡點（陳兵，陳兵)第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五博弈游戲4選A的學生將產(chǎn)生總體收益2分，選B不產(chǎn)生總體收益。選A的學生的總分將分給參與游戲的每個學生，但選B的學生可比選A的學生多分1分。請在紙上寫上學號、姓名及選項每個學生均需決定選擇：A：獨立認真地完成作業(yè)；B：抄他人的作業(yè)。不參加游戲者扣5分第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五三、納什均衡與優(yōu)勢策略第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五位置博弈國美與蘇寧為什么總喜歡貼身撕殺?第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五位置博弈麥當勞和肯德基為什么總是相鄰設(shè)店?第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五位置博弈假設(shè)某條路上的顧客流量是均勻分布的，且顧客對麥當勞和肯德基無偏好，而總是樂意惠顧距自己最近的快餐店。1/4麥當勞3/4肯德基1/20A1B在顧客均勻散布的情況下，從資源的最佳配置來看，麥當勞、肯德基應該分別開在1/4、3/4處是最優(yōu)，各自擁有1/2的顧客量，同時顧客到快餐店的總距離最短。第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五位置博弈1/4麥當勞3/4肯德基1/20A1B出于理性考慮，肯德基肯定會想到：如果將店鋪從3/4點處向左移一點，將從麥當勞搶奪走部分顧客。而麥當勞自然也想到從1/4點處向右移動以爭取更多的顧客。不難想象，雙方博弈的結(jié)果將使他們的店鋪設(shè)置在l/2中點附近達到納什均衡狀態(tài)，相依為鄰且相安無事地做起快餐生意。這在博弈論中稱為位置博弈。第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五位置博弈現(xiàn)實生活中，在這條路上，顧客流量不是均勻分布的，那么這個模型是否就沒有用了呢？模型是現(xiàn)實的抽象，讓我們更容易了解現(xiàn)象的本質(zhì)以及分析的思路。在現(xiàn)實應用中，我們可以加入其他約束條件以完善模型。事實上，即使顧客流量不是均勻分布，結(jié)果并沒有改變。11%2%23%9%15%6%2%18%9%5%第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五位置博弈如果是三家，其位置博弈的結(jié)果又會如何？第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五政黨的位置博弈

兩個政黨要決定自己究竟處于自由-保守意識形態(tài)的哪一個位置假定選民平均分布在整個劃分表的各個區(qū)間，并選舉意識形態(tài)與自己相近的黨派。為使問題具體化，我們把各個政治立場定為從0到100,0代表極自由，而100代表極保守。500100自由保守第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五政黨的位置博弈在實踐中，兩黨不可能選擇完全一致的立場，但大家都在想方設(shè)法靠近中點。這一現(xiàn)象最早是由哥倫比亞大學經(jīng)濟學家哈羅德·霍特林(HaroldHotelling）在1929年發(fā)現(xiàn)的?；籼亓种赋鼋?jīng)濟和社會事務(wù)存在相似的案例：“我們的城市大得毫無經(jīng)濟效益，其中的商業(yè)區(qū)也太集中。衛(wèi)理公會以及基督教長老會的教堂簡直一模一樣；蘋果酒也是一個味道?！惫_德·霍特林第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五麥當勞與肯德基產(chǎn)品的位置博弈第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五新聞大戰(zhàn)與優(yōu)勢策略每個星期，《時代》和《新聞周刊》都會暗自較勁，要做出最引人注目的封面故事。一個富有戲劇性或者饒有趣味的封面，可以吸引站在報攤前的潛在買主的目光。因此，每個星期，《時代》的編輯們一定會舉行閉門會議，選擇下一個封面故事。

《時代》這么做的時候，很清楚此時《新聞周刊》也在關(guān)起門來開會，選擇下一個封面故事。反過來，《新聞周刊》也知道《時代》正在做同樣的事情，而《時代》也知道《新聞周刊》知道這一點……這兩家新聞雜志投入了一場策略博弈。第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五假定本周有兩個大新聞：一是日本核爆炸；二是老趙訪美。編輯們選擇封面故事的時候，首要考慮的是哪一條新聞更能吸引報攤前的買主(訂戶則無需考慮)。在報攤前的買主當中，假設(shè)30%的人對日本核爆炸感興趣，70%的人對老趙訪美感興趣。買主只會購買封面故事是自己感興趣的新聞的雜志；假如兩本雜志用了同一條新聞做封面故事，那么買主就會平分為兩組，一組買《時代》，另一組買《新聞周刊》。新聞大戰(zhàn)與優(yōu)勢策略第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五（30，70）（70，30）（15，15）新聞周刊時代日本核爆炸日本核爆炸老趙訪美老趙訪美（35，35）雙方的優(yōu)勢策略：采用老趙訪美做封面新聞大戰(zhàn)與優(yōu)勢策略第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五在《時代》和《新聞周刊》這個博弈里，雙方都有一個優(yōu)勢策略。各方均有一個優(yōu)勢策略的博弈是最簡單的一種博弈。

有時候，某參與者有一個優(yōu)勢策略，其他參與者則沒有。新聞大戰(zhàn)與優(yōu)勢策略第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五假設(shè)全體讀者略偏向于選擇《時代》。假如兩個雜志選擇同樣的新聞做封面故事，喜歡這個新聞的潛在買主當中有60%的人選擇《時代》，40%的人選擇《新聞周刊》。

這時兩雜志該如何選擇呢？新聞大戰(zhàn)與優(yōu)勢策略第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五（30，70）（70，30）（18，12）新聞周刊時代日本核爆炸日本核爆炸老趙訪美老趙訪美（42，28）對于《時代》，老趙訪美仍然是優(yōu)勢策略，但對于《新聞周刊》，其優(yōu)勢策略則變?yōu)槿毡竞吮?。新聞大?zhàn)與優(yōu)勢策略第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五《時代》有一個優(yōu)勢策略，那一定就是他們的選擇。因此，《新聞周刊》的編輯們可以很有把握地假定《時代》已經(jīng)選了老趙訪美，并據(jù)此選擇自己的最佳策略，即日本核爆炸。

由此可見，只有一方擁有優(yōu)勢策略的博弈其實也非常簡單。擁有優(yōu)勢策略的一方將采用其優(yōu)勢策略，另一方則針對這個策略采用自己的最佳策略。注意：“優(yōu)勢策略”的優(yōu)勢是指你的這個策略對你的其他策略占有優(yōu)勢，而不是對你的對手的策略占有優(yōu)勢。新聞大戰(zhàn)與優(yōu)勢策略第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五優(yōu)勢策略優(yōu)勢策略是指不管對方采取任何策略，這一策略總能夠顯示出優(yōu)勢。但采用優(yōu)勢策略得到的最壞結(jié)果并不一定比采用另外一個策略得到的最佳結(jié)果要好。劣勢策略則是指在博弈中，不論其他參與人采取什么策略，某一參與人可能采取的策略中，對自己嚴格不利的策略。假如你有一個優(yōu)勢策略，你可以選擇采用，并且知道你的對手若是有一個優(yōu)勢策略他也會照辦；同樣，假如你有一個劣勢策略，你應該避免采用，并且知道你的對手若是有一個劣勢策略他也會規(guī)避。不是所有博弈都有優(yōu)勢策略。實際上，優(yōu)勢策略只是博弈論的一種特例。

第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五如果《時代》和《新聞周刊》爆發(fā)了一場價格戰(zhàn)。

假設(shè)每本雜志的制作成本是l美元，且售價只有兩個可能的價位選擇，分別是2美元或3美元。假設(shè)顧客永遠傾向于選擇價格較低的雜志，且在雜志價格相同的時候兩種雜志各得一半讀者。雜志定價3美元的時候，讀者總數(shù)是500萬；雜志價格降到2美元，讀者總數(shù)將升到800萬。新聞大戰(zhàn)與優(yōu)勢策略第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五（800，0）（0，800）（400，400）新聞周刊時代2元2元3元3元（500，500）雙方的優(yōu)勢策略：2美元利潤：萬美元新聞大戰(zhàn)與優(yōu)勢策略第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五假如你有一個劣勢策略，你應該避免采用，并且知道你的對手若是有一個劣勢策略他也會規(guī)避。在你沒有優(yōu)勢策略的情況下，你要做的就是：不能追求最佳，就要避免最差。即剔除所有劣勢策略，不予考慮。如此一步一步做下去。“重復剔除嚴格劣勢策略”(iteratedeliminationofstrictlydominatedstrategy)的思路：首先找出某博弈方的劣勢策略(dominatedstrategy)，把這個劣勢策略剔除后，剩下的是一個不包含已剔除劣策略的新的博弈；然后在剔除這個新的博弈中的劣策略；繼續(xù)這個過程，直到?jīng)]有劣策略存在。如果剩下的策略組合是唯一的，這個唯一的策略組合就是“重復剔除占優(yōu)均衡”(iterateddominanceequilibrium)。重復剔除的占優(yōu)均衡第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五-8，-80，-15-15，0-1，-1囚徒A囚徒B坦白抵賴坦白抵賴-8大于-150大于-1-8大于-150大于-1抵賴是A的嚴格劣勢策略抵賴是B的嚴格劣勢策略囚徒困境的占優(yōu)均衡第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五優(yōu)勢策略的選擇——迭代剔除劣勢策略麥當勞和肯德基的位置博弈——為什么總相鄰設(shè)店?12345678910MKFC不管對手選擇哪里，選2永遠比選1好，因而選1是嚴格劣勢策略。不管對手選擇哪里，選9永遠比選10好，因而選10是嚴格劣勢策略。第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五1，01，20，30，1M小張老趙UDL0，12，0R老趙：沒有占優(yōu)戰(zhàn)略小張：M嚴格優(yōu)于R 剔除R行：u優(yōu)于D列：無占優(yōu)策略，剔除DM優(yōu)于L（U，M）是重復剔除的占優(yōu)均衡重復剔除的占優(yōu)均衡第四十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期五一對新婚夫婦想一起回老家過年，然雙方父母家在不同的省份，假如只能到一家父母家過年，夫想一起回夫家，妻想一起回娘家。這對夫妻很恩愛，不想分開過年。你