2021年全國(guó)乙卷高考理數(shù)真題試卷(Word版+答案+解析)

2021年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（共12題；共60分）1.設(shè)2（z+QUOTE）+3(z-QUOTE)=4+6i，則z=（

）.A.

1-2i

B.

1+2i

C.

1+i

D.

1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，則S∩T=（

）A.

QUOTE

B.

S

C.

T

D.

Z3.已知命題p：QUOTEx∈R，sinx＜1；命題q：QUOTEx∈R，e|x|≥1，則下列命題中為真命題的是（）A.

pQUOTEq

B.

QUOTEpQUOTEq

C.

pQUOTEq

D.

QUOTE(pVq)4.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.

f(x-1)-1

B.

f(x-1)+1

C.

f(x+1)-1

D.

f(x+1)+15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（）A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.

60種

B.

120種

C.

240種

D.

480種7.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的QUOTE1212倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x-QUOTE)的圖像，則f(x)=（）A.

sin(QUOTE)

B.

sin(QUOTEx2+蟺12x2+蟺12)

C.

sin(QUOTE)

D.

sin(QUOTE)8.在區(qū)間（0，1）與（1，2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于QUOTE7474的概率為（）A.

QUOTE7474

B.

QUOTE23322332

C.

QUOTE932932

D.

QUOTE2929.魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海盜的高。如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（）.A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE10.設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)QUOTE的極大值點(diǎn)，則（）A.

a＜b

B.

a＞b

C.

ab＜a2

D.

ab＞a211.設(shè)B是橢圓C：QUOTEx2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足A.

QUOTE[22,1)[22,1)

B.

QUOTE[12,1)[12,1)

C.

QUOTE(0,22](0,22]

D.

QUOTE12.設(shè)QUOTEa=2ln1.01a=2ln1.01，QUOTEb=ln1.02b=ln1.02，QUOTEc=1.04-1A.

a＜b＜c

B.

b＜c＜a

C.

b＜a＜c

D.

c＜a＜b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。（共4題；共20分）13.已知雙曲線C：QUOTE（m>0）的一條漸近線為QUOTE3x3x+my=0，則C的焦距為_(kāi)_______.14.已知向量QUOTE=（1，3），b=（3，4），若（QUOTE-λQUOTE）⊥QUOTE，則λ=________。15.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為QUOTE33，B=60°，a2+c2=3ac，則b=________.16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)_______（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共5題；共60分）17.某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為QUOTE和QUOTE，樣本方差分別記為s12和s22（1）求QUOTE，QUOTE，s12，s22；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果QUOTE-QUOTE≥QUOTE2s12+s2222s12+s22218.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM，（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值。19.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和，已知QUOTE2Sn+1bn（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}的通項(xiàng)公式.20.設(shè)函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點(diǎn)。（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=QUOTE，證明：g（x）＜1.21.己知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求QUOTEPAB的最大值.四、［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（共1題；共10分）22.在直角坐標(biāo)系xOy中，QUOTEC的圓心為C（2，1），半徑為1.（1）寫(xiě)出QUOTEC的一個(gè)參數(shù)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F（4，1）作QUOTEC的兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條直線的極坐標(biāo)方程.五、[選修4一5：不等式選講]（共1題；共10分）23.已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+3|.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≥-a，求a的取值范圍.

2021年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（共12題；共60分）1.設(shè)2（z+QUOTE）+3(z-QUOTE)=4+6i，則z=（

）.A.

1-2i

B.

1+2i

C.

1+i

D.

1-i【答案】C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算【解析】【解答】設(shè)QUOTE所以a=b=1，所以z＝1+i。

故答案為：C

【分析】先設(shè)z的代數(shù)式，代入運(yùn)算后由復(fù)數(shù)相等的條件，即可求得結(jié)果。2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，則S∩T=（

）A.

QUOTE

B.

S

C.

T

D.

Z【答案】C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算【解析】【解答】當(dāng)n=2k

QUOTE時(shí)，S={s|s=4k+1,

QUOTE},

當(dāng)n=2k+1

QUOTE時(shí),S={s|s=4k+3,

QUOTE}

所以QUOTES,所以QUOTE,

故答案為：C.

【分析】分n的奇偶討論集合S。3.已知命題p：QUOTEx∈R，sinx＜1；命題q：QUOTEx∈R，e|x|≥1，則下列命題中為真命題的是（）A.

pQUOTEq

B.

QUOTE盧盧pQUOTEq

C.

pQUOTEq

D.

QUOTE盧盧(pVq)【答案】A【考點(diǎn)】全稱量詞命題，存在量詞命題，命題的否定，命題的真假判斷與應(yīng)用【解析】【解答】因?yàn)槊}P是真命題，命題q也是真命題，

故答案為：A

【分析】先判斷命題p，q的真假，然后判斷選項(xiàng)的真假。4.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.

f(x-1)-1

B.

f(x-1)+1

C.

f(x+1)-1

D.

f(x+1)+1【答案】B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)【解析】【解答】因?yàn)閒(x)=QUOTE，所以函數(shù)的對(duì)稱中心是(-1,-1)，所以函數(shù)f(x)向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，而四個(gè)選項(xiàng)中只有B滿足條件，

故答案為：B。

【分析】將函數(shù)變形為f(x)=

QUOTE=-1+2x+1=-1+2x+1后，判斷。5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為（）A.

QUOTE蟺2蟺2

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE【答案】D【考點(diǎn)】直線與平面所成的角【解析】【解答】如圖，連接AC，設(shè)AC與BD交于O，連接OD1,AD1,BP,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，

因?yàn)镈1P||OB||BD,且D1P=BO=QUOTE1212BD,所以四邊形OD1PB是平行四邊形，所以BP||OD1,所以QUOTE

即為所求的角，易證QUOTE平面BDD1B1,故QUOTEOD1,又QUOTEAO=12AC=12AD1AO=12AC=12AD1,所以QUOTE＝QUOTE蟺6蟺6.

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過(guò)平移線，作出所要求的角。6.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A.

60種

B.

120種

C.

240種

D.

480種【答案】C【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題【解析】【解答】由題意知，必須有2個(gè)人一組，其他各組只有1個(gè)人，所以分配方法是：QUOTEC52C41A33=240C52C47.把函數(shù)y=f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的QUOTE1212倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移QUOTE蟺3蟺3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x-QUOTE蟺4蟺4)的圖像，則f(x)=（）A.

sin(QUOTE)

B.

sin(QUOTEx2+蟺12x2+蟺12)

C.

sin(QUOTE)

D.

sin(QUOTE)【答案】B【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【解析】【解答】根據(jù)圖象平移的規(guī)律可知，將y=y=sin(x-QUOTE蟺4蟺4)的圖像上所有的點(diǎn)向左平移平移QUOTE蟺3蟺3個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到QUOTEy=sin(x+蟺12),y=sin(x+蟺12),再把所得到的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，即函數(shù)的周期變?cè)瓉?lái)的2倍，就得到函數(shù)y=QUOTEsin(x2+蟺12a)sin8.在區(qū)間（0，1）與（1，2）中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于QUOTE7474的概率為（）A.

QUOTE7474

B.

QUOTE23322332

C.

QUOTE932932

D.

QUOTE292【答案】B【考點(diǎn)】幾何概型【解析】【解答】不妨設(shè)這兩個(gè)數(shù)為a,b且0<a<1,1<b<2,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，a,b的取值，

表示為一個(gè)正方四個(gè)頂點(diǎn)：(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括邊界在內(nèi)的正方形區(qū)域。作直線a+b=

QUOTE7474，

滿足a+b>QUOTE7474的a,b取值的可行域如圖中陰影部分表示，

直線a+b＝QUOTE7474與正方形的兩個(gè)交點(diǎn)分別為QUOTE(34,1),(0,74)(34,1),(0,74),則可計(jì)算事件(a+bQUOTE>74>74R人svyf概率為P＝QUOTE,

故選B。

9.魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海盜的高。如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”。則海島的高AB=（）.A.

QUOTE

B.

QUOTE

C.

QUOTE

D.

QUOTE【答案】A【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用【解析】【解答】如圖，連接DF,直線DF交AB于M，

則AB＝AM+BM,設(shè)QUOTE則

QUOTE因?yàn)镼UOTE,所以QUOTE所以QUOTE

故答案為：A.

【分析】通過(guò)作輔助線，(如圖)，然后利用解直角形的知識(shí)來(lái)解答。10.設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)QUOTE的極大值點(diǎn)，則（）A.

a＜b

B.

a＞b

C.

ab＜a2

D.

ab＞a2【答案】D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】當(dāng)a>0時(shí)，若a為極大值點(diǎn)，則(如圖1)，必有a<b,ab<a2.故B,C項(xiàng)錯(cuò)；

當(dāng)a<0時(shí)，若a為極大值點(diǎn)，則(如圖2)，必有a>b>a2,故A錯(cuò)。

故答案為：D.

【分析】對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論，根據(jù)極值點(diǎn)的意義，作圖分析，得到正確選項(xiàng)。11.設(shè)B是橢圓C：QUOTEx2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足A.

QUOTE[22,1)[22,1)

B.

QUOTE[12,1)[12,1)

C.

QUOTE(0,22](0,22]

D.

QUOTE【答案】C【考點(diǎn)】橢圓的定義，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)【解析】【解答】依題意，點(diǎn)B(0,b),設(shè)P(x0,y0),則有QUOTE

QUOTE移項(xiàng)并用十字相乘法得到：QUOTE

因?yàn)镼UOTE恒成立，即QUOTE恒成立，

據(jù)此解得QUOTE，

故答案為：C。

【分析】由兩點(diǎn)間的距離公式，表示出|PB|2，再根據(jù)橢圓上任意點(diǎn)的縱坐標(biāo)y0的取值范圍，解相關(guān)不等式得到結(jié)果。12.設(shè)QUOTEa=2ln1.01a=2ln1.01，QUOTEb=ln1.02b=ln1.02，QUOTEc=1.04-1A.

a＜b＜c

B.

b＜c＜a

C.

b＜a＜c

D.

c＜a＜b【答案】B【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-QUOTE1+2x+11+2x+1，則b-c=f(0.02)，則QUOTE當(dāng)x>0時(shí)，QUOTE1+x=(1+x)2=(1+2x+x2>(1+2x1+x=(1+x)2=(1+2x+x2>(1+2x,

所以f/(x)<0,所以f(x)在QUOTE單調(diào)遞減，所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c;

再構(gòu)造函數(shù)QUOTE則QUOTEa-c=g(0.01),a-c=g(0.01),而QUOTE,當(dāng)QUOTE

所以QUOTE所以g(x)在（0，2）上單調(diào)遞增，所以QUOTE所以b<c<a,

故答案為：B

【分析】本題就在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而解題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。（共4題；共20分）13.已知雙曲線C：QUOTE（m>0）的一條漸近線為QUOTE3x3x+my=0，則C的焦距為_(kāi)_______.【答案】4【考點(diǎn)】雙曲線的定義，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【解析】【解答】因?yàn)橛智€方程C：QUOTE,一條漸近線是QUOTE，

所以雙曲線方程是QUOTE,

故答案為：4

【分析】由雙曲線漸近線的斜率可得到m的值，再進(jìn)一步求得焦距的值。14.已知向量QUOTE=（1，3），b=（3，4），若（QUOTE-λQUOTE）⊥QUOTE，則λ=________?！敬鸢浮縌UOTE3535【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE，

所以QUOTE，

故答案為：QUOTE35.35.

【分析】先計(jì)算出QUOTE的坐標(biāo)式，再根據(jù)兩向量垂直，列式求解。15.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為QUOTE33，B=60°，a2+c2=3ac，則b=________.【答案】QUOTE2222【考點(diǎn)】余弦定理，三角形中的幾何計(jì)算【解析】【解答】QUOTE

于是QUOTE

【分析】根據(jù)面積的值，計(jì)算出ac，再由余弦定理求解。16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)_______（寫(xiě)出符合要求的一組答案即可）.【答案】②⑤或③④【考點(diǎn)】由三視圖還原實(shí)物圖【解析】【解答】當(dāng)俯視圖為④時(shí)，右側(cè)棱在左側(cè)，不可觀測(cè)到，所以為虛線，故選擇③為側(cè)視圖；

當(dāng)俯視圖為⑤時(shí)，左側(cè)棱在左側(cè)可觀測(cè)到，所以為實(shí)線，故選擇②為側(cè)視圖，

故答案為：②⑤或③④

【分析】分情況討論各種視圖的位置關(guān)系。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（共5題；共60分）17.某廠研究了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為QUOTE和QUOTE，樣本方差分別記為s12和s22（1）求QUOTE，QUOTE，s12，s22；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果QUOTE-QUOTE≥QUOTE2s12+s2222s12+s222【答案】（1）解：各項(xiàng)所求值如下所示QUOTE=QUOTE110110(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0QUOTE=QUOTE110110(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3QUOTEs12s12=QUOTE110110x[(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2]=0.36，QUOTEs22s22=QUOTE110110x[(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.4.

（2）由(1)中數(shù)據(jù)得QUOTE-QUOTE=0.3，2QUOTEs12+s2210s12+s2210顯然QUOTE-QUOTE＜2QUOTEs12+s2210s12+s2210【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】【分析】（1）先計(jì)算新舊樣本平均數(shù)QUOTEx,yx,y，再直接用公式計(jì)算s12，s22；

(2)由(1)中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得：QUOTE-QUOTE=0.3，2QUOTEs12+s2210s12+s2210≈0.34，顯然QUOTE-QUOTE＜2QUOTEs12+s2210s12+s2218.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM，（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值?！敬鸢浮浚?）解：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以QUOTE，QUOTE，QUOTE分別為x，y，z軸正方向，D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz。設(shè)BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（QUOTEt2t2，1，0），P(0，0，1)，所以QUOTE=（t，1，-1），QUOTE=（QUOTE，1，0），因?yàn)镻B⊥AM，所以QUOTE?QUOTE=-QUOTEt22t22+1=0，所以t=QUOTE22，所以BC=QUOTE22。

（2）設(shè)平面APM的一個(gè)法向量為QUOTE=（x，y，z），由于QUOTE=（-QUOTE22，0，1），則令x=QUOTE22，得QUOTE=（QUOTE22，1，2）。設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為QUOTE=（xt，yt，zt），則令QUOTEytyt=1，得QUOTE=(0，1，1).所以cos（QUOTE，QUOTE）=QUOTE=QUOTE=QUOTE3141431414，所以二面角A-PM-B的正弦值為QUOTE70147014.【考點(diǎn)】向量方法證明線、面的位置關(guān)系定理，用空間向量求直線與平面的夾角【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，定義相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算求解；（2）呈上，分別求二面角的兩個(gè)平面的法向量，用法向量的夾角計(jì)算。19.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和，已知QUOTE2Sn+1bn（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）由已知QUOTE2Sn2Sn+QUOTE1bn1bn=2，則QUOTEbnbn+1bnQUOTE+QUOTE1bn1bn=2QUOTE2bn-1+2=2bnQUOTEbn-bn-1=QUOTE1212(n≥2)，b1=QUOTE3232故｛bn｝是以QUOTE3232為首項(xiàng)，QUOTE1212為公差的等差數(shù)列。

（2）由（1）知bn=QUOTE3232+（n-1）QUOTE1212=QUOTEn+22n+22，則QUOTE2Sn2Sn+QUOTE2n+22n+2=2QUOTESn=QUOTEn+2n+1n+2n+1n=1時(shí)，a1=S1=QUOTE3232n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=QUOTEn+2n+1n+2n+1-QUOTEn+1nn+1n=QUOTE故an=QUOTE【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列遞推式【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列及前n項(xiàng)和的定義，由遞推關(guān)系，求證。（2）呈上，先寫(xiě)出bn,再求{bn}前n磺的和Sn，再由an與Sn的關(guān)系，進(jìn)一步求得結(jié)果。20.設(shè)函數(shù)f（x）=ln（a-x），已知x=0是函數(shù)y=xf（x）的極值點(diǎn)。（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=QUOTE，證明：g（x）＜1.【答案】（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)當(dāng)x=0時(shí)，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0故即證x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即證1-t+lnt-(1-t)lnt＞0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，則f′(t)=-1-QUOTE1t1t-[(-1)lnt+QUOTE]=-1+QUOTE1t1t+lnt-QUOTE=lnt所以f(t)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故f(t)＞f（1）=0，得證。【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)y=xf（x）求導(dǎo)：[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)，因?yàn)閤=0是方程的根，代入求得a值。

（2）首先由（1）寫(xiě)出函數(shù)f(x),并求其定義域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明x+f(x)＞xf(x)，即證：x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0，然后通過(guò)換元，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，從而證明命題成立。21.己知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+（y+4）2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.（1）求p；（2）若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求QUOTEPAB的最大值.【答案】（1）解：焦點(diǎn)QUOTEF(0,P2)F(0,P2)到QUOTEx2+(y+4)2=1x2+(y+4)2=1的最短距離為QUOTEP2+3=4P2+3=4，所以p=2.

（2）拋物線QUOTEy=14x2y=14x2，設(shè)QUOTE，QUOTE，且QUOTE.QUOTElPAlPA，QUOTElPBlPB都過(guò)點(diǎn)P(x0，y0），則QUOTE故QUOTE，即QUOTE.聯(lián)立QUOTE{y=12x0x-y0x2=4