高等等離子體物理

高等等離子體物理（一）線性理論（研究生教材）王曉鋼北京大學 物理學院2009年2月1/13等離子體的流體理論等離子體的流體描述1.1 等離子體的雙流體模型1.2 Hall磁流體（Hall-MHD ）模型1.3 電子磁流體（E-MHD）模型1.4 理想磁流體力學（MHD）方程組1.5 位力定理1.6 變分原理理想磁流體平衡2.1 磁場與磁面2.2Z-箍縮與 -箍縮2.3 一維平衡與螺旋箍縮2.4Grad-Shafrano 方程等離子體的理想磁流體穩(wěn)定性3.1 能量原理3.2扭曲模與交換模3.3 一維穩(wěn)定性，直柱托卡馬克磁流體力學波4.1 線性磁流體（MHD）方程4.2 非磁化等離子體中的磁流體波4.3 磁化等離子體中的磁流體波2/13均勻等離子體中的波（雙流體理論）5.1 雙流體模型5.2 介電張量與色散關(guān)系5.3 靜電波簡介5.4 準靜電波與準電磁波5.4 電磁波簡介3/13等離子體的流體描述1.1 等離子體的雙流體模型等離子體是由大量帶電粒子組成的物質(zhì)狀態(tài)。 一般意義上的等離子體由帶正電的離子和帶負電的電子組成。由于帶電粒子之間的 Coulomb長程相互作用，等離子體呈整體電中性，即總的正電荷與負電荷相等。因此，除特殊的非中性（一般是強耦合的）等離子體之外，我們可以用帶負電的電子流體和帶正電的離子流體組成的“雙流體”模型來描述等離子體的宏觀行為。這種近似牽涉到等離子體時空尺度的討論，我們在后面將進一步詳細論述。基于流體力學的圖像及其近似，或者從統(tǒng)計物理的分布函數(shù)及其滿足的方程（如Vlasov方程或者 Fokker-Planck方程等，取決與碰撞項的形式，這里用類Markov過程的碰撞項(f0f)/(f0f)）出發(fā)，我們得到“雙流體”方程組：連續(xù)性方程（統(tǒng)計方程的零階矩）nnu0，(I-01)t動量方程（力平衡方程，統(tǒng)計方程的一階矩）nmuuutpnquB，(I-02)Enmuc狀態(tài)方程（對統(tǒng)計方程各階矩的“不封閉鏈”（Hierarchy）的一種截斷）pppu；(I-03)utCoulomb定律（Poisson方程）E4nq，(I-04)4/13Ampere定律B4J1E4nqu1E，(I-05)cctcctGaussion定理B 0， (I-06)Fayraday定律E 1 B； (I-07)c t這里 i,e；對 類粒子來說：n是粒子數(shù)密度， m是粒子質(zhì)量，q是粒子電荷，u 是流體速度， p nT是理想氣體近似下的分壓強；而 是 類與 類粒子之間的碰撞頻率（當 時為自碰撞）。E，B，J則分別是電場強度、磁感應(yīng)強度、和等離子體電流密度。關(guān)于狀態(tài)方程，我們以后會進一步討論。這里我們只是指出：參數(shù) 的取值決定等離子體的狀態(tài)，如等溫（ isothermal）狀態(tài)對應(yīng) 1；不可壓縮狀態(tài)對應(yīng)；其它的 值對應(yīng)“絕熱”狀態(tài)。1.2Hall 磁流體（Hall-MHD ）模型一般來說，雙流體模型是描述等離子體宏觀（大于粒子回旋半徑的尺度）運動的有力工具；在高頻波段也可以應(yīng)用，甚至在回旋半徑的尺度上也可以得到一些有用的結(jié)果。但是，由于電子與離子質(zhì)量之間超過三個數(shù)量級的差別，在具體計算雙流體模型的時候，會遇到所謂“剛性”問題：即電子已經(jīng)完全改變了運動狀態(tài)，離子還基本沒有動！這使得我們在計算離子時空尺度下的物理問題時，耗費大量的計算機時間。而且由于code本身的精度，即使經(jīng)過長時間運算看到了離子的運動，其結(jié)果或者是看到了很強的數(shù)值不穩(wěn)定性、或者是很難令人相信。而5/13為了穩(wěn)定code引進的數(shù)值耗散，則往往帶來人為的非物理的效應(yīng)。 即使對純理論的解析推導，不僅過程繁雜，而且得到的物理圖像也不清晰。所以我們經(jīng)常引進進一步的近似。因為離子運動的時間尺度遠遠長于電子的時間尺度（通常在 40倍以上，對于回旋運動來說則可以大于 1840倍），所以我們在主要考慮離子運動時，可以認為電子響應(yīng)是“瞬時”的（ instantaneouslyorsimultaneously ）。這樣，我們可以保持其它方程不變，近似地把（ I-02）中電子的質(zhì)量趨于零，得到：ueBpeneeue，(I-02e)Ecnee這里4e/pe2是所謂的“Spitzer電阻”。利用在“準電中性”近似nine下，ueuiJ/nee，Jnieuineeueneeue是等離子體電流，這個方程可以寫為：uiBJBpe(JJBpeJ。Ecneecneenieui)neecnee必須注意到：這里我們還用到了ueui的條件。明顯地，ueui要求電子運動與離子運動的分離，即所謂Hall效應(yīng)。所以我們稱這個近似模型為Hall磁流體模型；這個方程則稱為Hall磁流體的廣義歐姆定律（HallMHDGeneralizedOhm’sLaw）。方程中的JB/neec明顯地就是我們在電磁學課程里熟知的Hall電場項。1.3 電子磁流體（E-MHD）模型而另一方面，我們在主要考慮電子運動時，可以認為離子響應(yīng)是“無窮慢”的，或者說離子可以看成是保持總體電中性的 “背景”。或者說，把離子看成是“穩(wěn)態(tài)”的（ / t 0，但是可以有ui 0）。將 /t 0的近似帶入離子的方程，得到的是所謂電子磁流體（ElectronMHD）模型。這個模型也是在電子和離子的運動6/13分離的情況下得到的，適用于比HallMHD模型更小的空間尺度和更快的時間尺度的問題。1.4 理想磁流體（MHD）方程組如果不僅整體等離子體呈電中性，而且在非常小的局部也呈電中性，我們可以把這個局部取做流體元，則有ne ni n。上面（I-04）的右邊等于零，而（I-02）的不同電荷粒子方程相加可以消去小尺度下（即流體元）的電場。這樣可以在很多情況下使問題得到簡化。這個圖像，我們稱為磁流體（magnetohydrodynamics,MHD）近似（或稱“磁流體力學”近似）。在這個近似下，宏觀的“大尺度”電場滿足的方程可以由（I-02）兩式之差（得到的Ohm定律）來計算。這一節(jié)里，我們詳細討論這一近似。等離子體過程的時空尺度研究物理問題時首要的是討論時空尺度。 經(jīng)典的宏觀（大空間尺度）、低速（慢時間尺度）下的牛頓力學與相對論（快時間尺度） 、量子力學（小空間尺度）的適用范圍就是典型例子。在等離子體中存在著很多的運動模式，我們無法、也沒有必要同時考慮所有這些運動模式。那么哪一種（或者幾種）運動模式是主導的、起著決定作用的？要回答這個問題，就要進行時空尺度分析：我們關(guān)心的是哪個時空尺度下的物理問題，在這個時空尺度下存在哪幾種運動模式？所以，對于等離子體這樣的存在大量運動模式的連續(xù)介質(zhì)來說，時空尺度分析尤其重要。7/13磁流體（MHD）理論的基本假設(shè)磁流體理論本質(zhì)上來說是一種與流體力學相類似的連續(xù)介質(zhì)的理論。因為考慮宏觀的大尺度問題，其特征長度 LH（或L0）一般可以看成是所研究等離子體區(qū)域的大小，比如柱形等離子體的橫截面（的半徑） 。而特征時間尺度 H（或者特征頻率 H~1/ H）則可以用一個特征信號穿越這一尺度的時間來表征。 這等于特征尺度LH與特征信號在等離子體這一介質(zhì)中傳播的速度之比。在流體理論里，這顯然是聲速csp/m1/2，這里m是質(zhì)量密度。但是在磁化等離子體中，對于大尺度的MHD問題來說，這一特征速度是所謂Alfvén速度VAB/4m1/2。當然，如果所研究的等離子體可以看成是一個驅(qū)動（driven）系統(tǒng)，那么其特征時間尺度應(yīng)該由驅(qū)動頻率給出。磁流體（MHD）理論基于下列假設(shè)：*非相對論假設(shè)：/k~LH/H~Vtypical1Ec0ct*流體假設(shè)：1）局域熱力學平衡（局域 Maxwellian分布）假設(shè)：H~H（要求較高碰撞頻率：壓強是標量，Π0）；2）忽略有限Larmor 半徑（FLR）效應(yīng)：H ci ce， e/LH i/LH 1;3）單流體（準電中性）假設(shè)（即Debye球內(nèi)有大量粒子，也稱等離子體假設(shè)）：n1/3 D LH， H pe， nq 0。我們會發(fā)現(xiàn)，局域 Maxwellian分布的假設(shè)對于“無碰撞”理想（ ideal）等離子體（其平均自由時間 ee,ii, ei H）來說的不是一個好的假設(shè)。我們需要進一步討論：8/131）粒子間“碰撞”（collision）和關(guān)聯(lián)（correlation）之間的關(guān)系，以及長程碰撞的“集體”（collective）效應(yīng)和短程碰撞之間的關(guān)系；2）以及導向中心理論的回旋動理學（gyrokinetic）和漂移動理學（drift-kinetic）近似。磁流體（MHD）方程組如果我們利用ne ni n，定義小的等離子體元的“單流體”物理量：質(zhì)量密度：mnmimenmi，流體速度unimiuinemeueuimeueui，等離子niminememi體壓強pnTeTi，等離子體電流Jne(uiue)，將（I-01）、（I-02）分別對不同電荷分量求和得到連續(xù)性方程nnu0，(I-08)t動量方程（并利用Ampere定律）nmiuuupJBp(B)B。(I-09)tc4而電子的動量方程（I-02）（ e時）可以寫成EueBpemeuemeueueue，cneeet這里e包括了電子自碰撞ee及電子—離子碰撞ei；或者EuBJBpeJmeueJcnecnene2temeumeueu。eet這個方程我們一般稱為廣義Ohm定律，其中eme/ne2為經(jīng)典的等離子體9/13Spitzer電阻率。一般來說電流主要是電子攜帶的，可以忽略最后兩項得到常用的廣義Ohm定律uBJBpemeueJ。(I-10)EnecneJcne2t所謂理想磁流體近似，在“無碰撞”近似下忽略方程右邊的電阻項，在大尺度磁流體近似下忽略方程右邊其它各項（ Hall電場項由離子慣性尺度、電子壓強梯度項由“離子聲回旋半徑”尺度、電子慣性項由電子慣性尺度表征） ，得到理想磁流體的Ohm定律EuB。(I-11)c0帶入Fayraday定律（I-07）得到B(uB)；(I-12)t加上狀態(tài)方程puppu，(I-13)t我們得到完整的理想磁流體（ idealMHD）方程組（I-08-09），（I-12-13）：共10個方程確定10個未知函數(shù)n，u，p，B。這10個變量是在n，u，p這7個流體變量之外加上磁場。所以稱磁流體（ MHD）。磁流體（MHD）方程組的守恒形式流體中物理量的守恒定律可以寫成Gòdsf0的形式其中Gdvg，t而f是g的“通量”。這個守恒定律的微觀形式是gf0。t則從MHD方程組出發(fā)，對于數(shù)密度nn(I-14)(nu)0，t對于動量密度 u nmiu，有10/13(u)T0，TuupB2IBB，(I-15)t84對于能量（絕熱狀態(tài)下）w1u2B2p1，有28wS0，S1u2puB(uB)。(I-16)t2141.5 位力定理對于一個有限系統(tǒng)，如果可以達到平衡態(tài)，則總的平均動能 K和總的平均“位力”（virial）U rF 之間滿足關(guān)系2K U 0。這個關(guān)系被稱為“位力定理”。對多粒子體系（量子的或經(jīng)典的）來說，這里說的平衡是總的“力學平衡” ；對統(tǒng)計力學體系來說，這個平衡指“熱力學平衡” 。這個定理在經(jīng)典力學和量子力學里成立，我們這里需要討論這個定理對等離子體的應(yīng)用。在磁流體理論中，容易證明K1mu23p，UB2/8Uext。則22“位力定理”可以寫成mu23pB2Uext0。(I-17)8這告訴我們保持等離子體平衡（力學的或熱力學的）唯一可能就是外加一個很大的、負的Uext 0來平衡 mu2 3p B2/8 0。這對應(yīng)于：（1）一個外加的勢場（勢阱），比如太陽的自身引力場或者約束塵埃等離子體的外加負電場來提供 Uext 0；（2）或者外部線圈產(chǎn)生的外加磁場提供一個邊界（比如各種磁約束位形） ；（3）最簡單的，一個容器的“硬壁” （hardwall）提供一個無窮高勢壘11/13Uext 0。1.6 變分原理經(jīng)典力學中的變分原理變分原理是物理學的理論基礎(chǔ)：（1）變分原理是物理規(guī)律更清晰、更普遍的形式，方便幾何方法的應(yīng)用（如Hamiltonian量的結(jié)構(gòu)、對稱性、度規(guī)等）；（2）變分原理自然保證不變量的全域守恒性質(zhì)；（3）是物理的和很多其它的