高等等離子體物理

高等等離子體物理（一）線(xiàn)性理論（研究生教材）王曉鋼北京大學(xué) 物理學(xué)院2009年2月1/13等離子體的流體理論等離子體的流體描述1.1 等離子體的雙流體模型1.2 Hall磁流體（Hall-MHD ）模型1.3 電子磁流體（E-MHD）模型1.4 理想磁流體力學(xué)（MHD）方程組1.5 位力定理1.6 變分原理理想磁流體平衡2.1 磁場(chǎng)與磁面2.2Z-箍縮與 -箍縮2.3 一維平衡與螺旋箍縮2.4Grad-Shafrano 方程等離子體的理想磁流體穩(wěn)定性3.1 能量原理3.2扭曲模與交換模3.3 一維穩(wěn)定性，直柱托卡馬克磁流體力學(xué)波4.1 線(xiàn)性磁流體（MHD）方程4.2 非磁化等離子體中的磁流體波4.3 磁化等離子體中的磁流體波2/13均勻等離子體中的波（雙流體理論）5.1 雙流體模型5.2 介電張量與色散關(guān)系5.3 靜電波簡(jiǎn)介5.4 準(zhǔn)靜電波與準(zhǔn)電磁波5.4 電磁波簡(jiǎn)介3/13等離子體的流體描述1.1 等離子體的雙流體模型等離子體是由大量帶電粒子組成的物質(zhì)狀態(tài)。 一般意義上的等離子體由帶正電的離子和帶負(fù)電的電子組成。由于帶電粒子之間的 Coulomb長(zhǎng)程相互作用，等離子體呈整體電中性，即總的正電荷與負(fù)電荷相等。因此，除特殊的非中性（一般是強(qiáng)耦合的）等離子體之外，我們可以用帶負(fù)電的電子流體和帶正電的離子流體組成的“雙流體”模型來(lái)描述等離子體的宏觀行為。這種近似牽涉到等離子體時(shí)空尺度的討論，我們?cè)诤竺鎸⑦M(jìn)一步詳細(xì)論述。基于流體力學(xué)的圖像及其近似，或者從統(tǒng)計(jì)物理的分布函數(shù)及其滿(mǎn)足的方程（如Vlasov方程或者 Fokker-Planck方程等，取決與碰撞項(xiàng)的形式，這里用類(lèi)Markov過(guò)程的碰撞項(xiàng)(f0f)/(f0f)）出發(fā)，我們得到“雙流體”方程組：連續(xù)性方程（統(tǒng)計(jì)方程的零階矩）nnu0，(I-01)t動(dòng)量方程（力平衡方程，統(tǒng)計(jì)方程的一階矩）nmuuutpnquB，(I-02)Enmuc狀態(tài)方程（對(duì)統(tǒng)計(jì)方程各階矩的“不封閉鏈”（Hierarchy）的一種截?cái)啵﹑ppu；(I-03)utCoulomb定律（Poisson方程）E4nq，(I-04)4/13Ampere定律B4J1E4nqu1E，(I-05)cctcctGaussion定理B 0， (I-06)Fayraday定律E 1 B； (I-07)c t這里 i,e；對(duì) 類(lèi)粒子來(lái)說(shuō)：n是粒子數(shù)密度， m是粒子質(zhì)量，q是粒子電荷，u 是流體速度， p nT是理想氣體近似下的分壓強(qiáng)；而 是 類(lèi)與 類(lèi)粒子之間的碰撞頻率（當(dāng) 時(shí)為自碰撞）。E，B，J則分別是電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、和等離子體電流密度。關(guān)于狀態(tài)方程，我們以后會(huì)進(jìn)一步討論。這里我們只是指出：參數(shù) 的取值決定等離子體的狀態(tài)，如等溫（ isothermal）狀態(tài)對(duì)應(yīng) 1；不可壓縮狀態(tài)對(duì)應(yīng)；其它的 值對(duì)應(yīng)“絕熱”狀態(tài)。1.2Hall 磁流體（Hall-MHD ）模型一般來(lái)說(shuō)，雙流體模型是描述等離子體宏觀（大于粒子回旋半徑的尺度）運(yùn)動(dòng)的有力工具；在高頻波段也可以應(yīng)用，甚至在回旋半徑的尺度上也可以得到一些有用的結(jié)果。但是，由于電子與離子質(zhì)量之間超過(guò)三個(gè)數(shù)量級(jí)的差別，在具體計(jì)算雙流體模型的時(shí)候，會(huì)遇到所謂“剛性”問(wèn)題：即電子已經(jīng)完全改變了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，離子還基本沒(méi)有動(dòng)！這使得我們?cè)谟?jì)算離子時(shí)空尺度下的物理問(wèn)題時(shí)，耗費(fèi)大量的計(jì)算機(jī)時(shí)間。而且由于code本身的精度，即使經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)算看到了離子的運(yùn)動(dòng)，其結(jié)果或者是看到了很強(qiáng)的數(shù)值不穩(wěn)定性、或者是很難令人相信。而5/13為了穩(wěn)定code引進(jìn)的數(shù)值耗散，則往往帶來(lái)人為的非物理的效應(yīng)。 即使對(duì)純理論的解析推導(dǎo)，不僅過(guò)程繁雜，而且得到的物理圖像也不清晰。所以我們經(jīng)常引進(jìn)進(jìn)一步的近似。因?yàn)殡x子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)長(zhǎng)于電子的時(shí)間尺度（通常在 40倍以上，對(duì)于回旋運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)則可以大于 1840倍），所以我們?cè)谥饕紤]離子運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為電子響應(yīng)是“瞬時(shí)”的（ instantaneouslyorsimultaneously ）。這樣，我們可以保持其它方程不變，近似地把（ I-02）中電子的質(zhì)量趨于零，得到：ueBpeneeue，(I-02e)Ecnee這里4e/pe2是所謂的“Spitzer電阻”。利用在“準(zhǔn)電中性”近似nine下，ueuiJ/nee，Jnieuineeueneeue是等離子體電流，這個(gè)方程可以寫(xiě)為：uiBJBpe(JJBpeJ。Ecneecneenieui)neecnee必須注意到：這里我們還用到了ueui的條件。明顯地，ueui要求電子運(yùn)動(dòng)與離子運(yùn)動(dòng)的分離，即所謂Hall效應(yīng)。所以我們稱(chēng)這個(gè)近似模型為Hall磁流體模型；這個(gè)方程則稱(chēng)為Hall磁流體的廣義歐姆定律（HallMHDGeneralizedOhm’sLaw）。方程中的JB/neec明顯地就是我們?cè)陔姶艑W(xué)課程里熟知的Hall電場(chǎng)項(xiàng)。1.3 電子磁流體（E-MHD）模型而另一方面，我們?cè)谥饕紤]電子運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為離子響應(yīng)是“無(wú)窮慢”的，或者說(shuō)離子可以看成是保持總體電中性的 “背景”。或者說(shuō)，把離子看成是“穩(wěn)態(tài)”的（ / t 0，但是可以有ui 0）。將 /t 0的近似帶入離子的方程，得到的是所謂電子磁流體（ElectronMHD）模型。這個(gè)模型也是在電子和離子的運(yùn)動(dòng)6/13分離的情況下得到的，適用于比HallMHD模型更小的空間尺度和更快的時(shí)間尺度的問(wèn)題。1.4 理想磁流體（MHD）方程組如果不僅整體等離子體呈電中性，而且在非常小的局部也呈電中性，我們可以把這個(gè)局部取做流體元，則有ne ni n。上面（I-04）的右邊等于零，而（I-02）的不同電荷粒子方程相加可以消去小尺度下（即流體元）的電場(chǎng)。這樣可以在很多情況下使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。這個(gè)圖像，我們稱(chēng)為磁流體（magnetohydrodynamics,MHD）近似（或稱(chēng)“磁流體力學(xué)”近似）。在這個(gè)近似下，宏觀的“大尺度”電場(chǎng)滿(mǎn)足的方程可以由（I-02）兩式之差（得到的Ohm定律）來(lái)計(jì)算。這一節(jié)里，我們?cè)敿?xì)討論這一近似。等離子體過(guò)程的時(shí)空尺度研究物理問(wèn)題時(shí)首要的是討論時(shí)空尺度。 經(jīng)典的宏觀（大空間尺度）、低速（慢時(shí)間尺度）下的牛頓力學(xué)與相對(duì)論（快時(shí)間尺度） 、量子力學(xué)（小空間尺度）的適用范圍就是典型例子。在等離子體中存在著很多的運(yùn)動(dòng)模式，我們無(wú)法、也沒(méi)有必要同時(shí)考慮所有這些運(yùn)動(dòng)模式。那么哪一種（或者幾種）運(yùn)動(dòng)模式是主導(dǎo)的、起著決定作用的？要回答這個(gè)問(wèn)題，就要進(jìn)行時(shí)空尺度分析：我們關(guān)心的是哪個(gè)時(shí)空尺度下的物理問(wèn)題，在這個(gè)時(shí)空尺度下存在哪幾種運(yùn)動(dòng)模式？所以，對(duì)于等離子體這樣的存在大量運(yùn)動(dòng)模式的連續(xù)介質(zhì)來(lái)說(shuō)，時(shí)空尺度分析尤其重要。7/13磁流體（MHD）理論的基本假設(shè)磁流體理論本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是一種與流體力學(xué)相類(lèi)似的連續(xù)介質(zhì)的理論。因?yàn)榭紤]宏觀的大尺度問(wèn)題，其特征長(zhǎng)度 LH（或L0）一般可以看成是所研究等離子體區(qū)域的大小，比如柱形等離子體的橫截面（的半徑） 。而特征時(shí)間尺度 H（或者特征頻率 H~1/ H）則可以用一個(gè)特征信號(hào)穿越這一尺度的時(shí)間來(lái)表征。 這等于特征尺度LH與特征信號(hào)在等離子體這一介質(zhì)中傳播的速度之比。在流體理論里，這顯然是聲速csp/m1/2，這里m是質(zhì)量密度。但是在磁化等離子體中，對(duì)于大尺度的MHD問(wèn)題來(lái)說(shuō)，這一特征速度是所謂Alfvén速度VAB/4m1/2。當(dāng)然，如果所研究的等離子體可以看成是一個(gè)驅(qū)動(dòng)（driven）系統(tǒng)，那么其特征時(shí)間尺度應(yīng)該由驅(qū)動(dòng)頻率給出。磁流體（MHD）理論基于下列假設(shè)：*非相對(duì)論假設(shè)：/k~LH/H~Vtypical1Ec0ct*流體假設(shè)：1）局域熱力學(xué)平衡（局域 Maxwellian分布）假設(shè)：H~H（要求較高碰撞頻率：壓強(qiáng)是標(biāo)量，Π0）；2）忽略有限Larmor 半徑（FLR）效應(yīng)：H ci ce， e/LH i/LH 1;3）單流體（準(zhǔn)電中性）假設(shè)（即Debye球內(nèi)有大量粒子，也稱(chēng)等離子體假設(shè)）：n1/3 D LH， H pe， nq 0。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，局域 Maxwellian分布的假設(shè)對(duì)于“無(wú)碰撞”理想（ ideal）等離子體（其平均自由時(shí)間 ee,ii, ei H）來(lái)說(shuō)的不是一個(gè)好的假設(shè)。我們需要進(jìn)一步討論：8/131）粒子間“碰撞”（collision）和關(guān)聯(lián)（correlation）之間的關(guān)系，以及長(zhǎng)程碰撞的“集體”（collective）效應(yīng)和短程碰撞之間的關(guān)系；2）以及導(dǎo)向中心理論的回旋動(dòng)理學(xué)（gyrokinetic）和漂移動(dòng)理學(xué)（drift-kinetic）近似。磁流體（MHD）方程組如果我們利用ne ni n，定義小的等離子體元的“單流體”物理量：質(zhì)量密度：mnmimenmi，流體速度unimiuinemeueuimeueui，等離子niminememi體壓強(qiáng)pnTeTi，等離子體電流Jne(uiue)，將（I-01）、（I-02）分別對(duì)不同電荷分量求和得到連續(xù)性方程nnu0，(I-08)t動(dòng)量方程（并利用Ampere定律）nmiuuupJBp(B)B。(I-09)tc4而電子的動(dòng)量方程（I-02）（ e時(shí)）可以寫(xiě)成EueBpemeuemeueueue，cneeet這里e包括了電子自碰撞ee及電子—離子碰撞ei；或者EuBJBpeJmeueJcnecnene2temeumeueu。eet這個(gè)方程我們一般稱(chēng)為廣義Ohm定律，其中eme/ne2為經(jīng)典的等離子體9/13Spitzer電阻率。一般來(lái)說(shuō)電流主要是電子攜帶的，可以忽略最后兩項(xiàng)得到常用的廣義Ohm定律uBJBpemeueJ。(I-10)EnecneJcne2t所謂理想磁流體近似，在“無(wú)碰撞”近似下忽略方程右邊的電阻項(xiàng)，在大尺度磁流體近似下忽略方程右邊其它各項(xiàng)（ Hall電場(chǎng)項(xiàng)由離子慣性尺度、電子壓強(qiáng)梯度項(xiàng)由“離子聲回旋半徑”尺度、電子慣性項(xiàng)由電子慣性尺度表征） ，得到理想磁流體的Ohm定律EuB。(I-11)c0帶入Fayraday定律（I-07）得到B(uB)；(I-12)t加上狀態(tài)方程puppu，(I-13)t我們得到完整的理想磁流體（ idealMHD）方程組（I-08-09），（I-12-13）：共10個(gè)方程確定10個(gè)未知函數(shù)n，u，p，B。這10個(gè)變量是在n，u，p這7個(gè)流體變量之外加上磁場(chǎng)。所以稱(chēng)磁流體（ MHD）。磁流體（MHD）方程組的守恒形式流體中物理量的守恒定律可以寫(xiě)成Gòdsf0的形式其中Gdvg，t而f是g的“通量”。這個(gè)守恒定律的微觀形式是gf0。t則從MHD方程組出發(fā)，對(duì)于數(shù)密度nn(I-14)(nu)0，t對(duì)于動(dòng)量密度 u nmiu，有10/13(u)T0，TuupB2IBB，(I-15)t84對(duì)于能量（絕熱狀態(tài)下）w1u2B2p1，有28wS0，S1u2puB(uB)。(I-16)t2141.5 位力定理對(duì)于一個(gè)有限系統(tǒng)，如果可以達(dá)到平衡態(tài)，則總的平均動(dòng)能 K和總的平均“位力”（virial）U rF 之間滿(mǎn)足關(guān)系2K U 0。這個(gè)關(guān)系被稱(chēng)為“位力定理”。對(duì)多粒子體系（量子的或經(jīng)典的）來(lái)說(shuō)，這里說(shuō)的平衡是總的“力學(xué)平衡” ；對(duì)統(tǒng)計(jì)力學(xué)體系來(lái)說(shuō)，這個(gè)平衡指“熱力學(xué)平衡” 。這個(gè)定理在經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)里成立，我們這里需要討論這個(gè)定理對(duì)等離子體的應(yīng)用。在磁流體理論中，容易證明K1mu23p，UB2/8Uext。則22“位力定理”可以寫(xiě)成mu23pB2Uext0。(I-17)8這告訴我們保持等離子體平衡（力學(xué)的或熱力學(xué)的）唯一可能就是外加一個(gè)很大的、負(fù)的Uext 0來(lái)平衡 mu2 3p B2/8 0。這對(duì)應(yīng)于：（1）一個(gè)外加的勢(shì)場(chǎng)（勢(shì)阱），比如太陽(yáng)的自身引力場(chǎng)或者約束塵埃等離子體的外加負(fù)電場(chǎng)來(lái)提供 Uext 0；（2）或者外部線(xiàn)圈產(chǎn)生的外加磁場(chǎng)提供一個(gè)邊界（比如各種磁約束位形） ；（3）最簡(jiǎn)單的，一個(gè)容器的“硬壁” （hardwall）提供一個(gè)無(wú)窮高勢(shì)壘11/13Uext 0。1.6 變分原理經(jīng)典力學(xué)中的變分原理變分原理是物理學(xué)的理論基礎(chǔ)：（1）變分原理是物理規(guī)律更清晰、更普遍的形式，方便幾何方法的應(yīng)用（如Hamiltonian量的結(jié)構(gòu)、對(duì)稱(chēng)性、度規(guī)等）；（2）變分原理自然保證不變量的全域守恒性質(zhì)；（3）是物理的和很多其它的