【中考數(shù)學精創(chuàng)資料】中考數(shù)學二輪專題復習：比例式探源 教案

比例式探源教學設(shè)計教學目標：1.探索等積式或比例式的源頭找相似三角形（掌握證明線段等積式或比例式的一般思路與方法）；2.會用證明線段等積式或比例式的一般思路與方法求兩條線段的比值或乘積和一條線段長度。教學重點：掌握證明線段等積式或比例式的一般思路與方法。教學難點：例2直接解決不了，需添輔助線來證明。教學設(shè)計：引言：前面我們剛學習完相似三角形的有關(guān)內(nèi)容，平時我們在做題目過程中經(jīng)常會遇到有關(guān)等積式或比例式的問題，許多同學可能解起來不順手或者有些同學還感覺無從下手，所以今天這節(jié)課我們就一起來對比例式或等積式進行追本溯源。第一環(huán)節(jié)（知識儲備）：1.如圖1，已知l1//l2//l3，你能完成以下填空嗎？ （（圖1）設(shè)計意圖：復習平行線分線段成比例定理，有利于學生在有平行線的圖形中快速準確的得出相關(guān)的線段的比例式，從而能幫助學生準確分析問題。2.相似三角形判定方法：（1）定義；（2）預備定理；（3）有兩個角對應相等的兩個三角形相似；（4）有兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；（5）三邊對應成比例的兩個三角形相似；設(shè)計意圖：在解決問題過程中，要得到比例式常常要先證明相應的兩個三角形相似，所以復習相似三角形的的判定方法，有利于學生能根據(jù)題中和圖中的條件快速準確的找到需要證明的兩個相似三角形，從而能幫助學生準確分析問題。第二個環(huán)節(jié)追本溯源（圖2）（圖2）（1）要證明這個等積式一般只要先證明什么？（2）要證明這個比例式，一般考慮證明什么？（3）證明哪兩個三角形相似？你是怎么去找這兩個三角形的？預設(shè)（如果學生一下回答不上）就先分析1師分析1：我們一下找不到的話，不妨我們先把這比例式中的四條線段在圖形上進行標注起來，現(xiàn)在我們知道要找哪兩個相似三角形了嗎？師分析2：如果我們不在圖形上進行標注，直接從比例式中能找出這兩個三角形嗎？我們就可以從比例式的橫向去找，先觀察比例式橫向上面的兩條線段CD和BD有四個端點C、D、B、D,由于線段CD的端點D與線段BD的端點D是同一個點，即重合，所以實際上線段CD與BD只有三個不同的端點C,B,D，這三個不同的端點可能構(gòu)成△BCD。我們接下來看比例式橫向的下面兩條線段AD，CD，這兩條線段實際上也只有三個不同的端點A,C,D，一般來說可能構(gòu)成△ACD.我們接下對照圖形，看看這兩個△BCD和△ACD在圖形中存在不存在。發(fā)現(xiàn)存在，所以我們?nèi)タ紤]證明這兩個三角形相似，這種從比例式的橫向來確定三角形的方法，我們把它稱為橫定法。事實上，我們也可以從比例式的豎向來找兩個三角形。我們先來看比例式左邊的兩條線段CD和AD,這兩條線段實際上也只有3個不同的端點C,D,A.能構(gòu)成△CDA.我們再來看比例式右邊的兩條線段CD和BD,這兩條線段實際上有3個不同的端點C,D,B，能構(gòu)成△CDB.接下來我們對照圖形發(fā)現(xiàn)這兩個三角形都存在，所以接下來我們?nèi)タ紤]證明這兩個三角形是否相似，這種從比例式的豎向來確定三角形的方法，我們把它稱為豎定法。再把解題的思路一起來梳理一下。設(shè)計意圖：利用引例引出用橫定法和豎定法,從比例式中去找相似三角形的方法，幫助學生快速準確的找到需要證明的兩個相似三角形，從而能幫助學生準確分析問題。小結(jié)：要證明等積式的思路：一般先轉(zhuǎn)化為比例式，再用橫定法或豎定法找到兩個三角形，再證明這兩個三角形是否相似，如果這兩個三角形相似，則問題得以解決（板書思路）。小試牛刀：如圖3，在ABCD中，E是AB延長線上一點，DE交BC于點F.（圖3（圖3）2.證明等積式或比例式用用橫定法或豎定法時讓學生明白有時候用橫定法和豎定法都能找到相似三角形，但有時兩種方法中只有一種方法能找到相似三角形，而另一種方法找不到相似三角形。（圖（圖4）能用用橫定法找到相似三角形嗎？能用豎定法找到相似三角形嗎？如果都不能，那我們又該怎么辦呢？結(jié)合圖形和已知我們可以考慮進行代換什么？代換的目的是什么？（目的是為了滿足橫定法或豎定法的條件）設(shè)計意圖：讓學生理解當我們所證的比例式都不滿足用橫定法或豎定法的條件時，我們就要考慮等量代換，代換之后使其比例式滿足橫定法或豎定法的條件，找到相似三角形，從而解決問題。其中等線段代換是一種重要方法，當然還有一些其他的代換，比如說等比代換，等積代換等等。板書梳理：（圖（圖5）引導學生分析：這個比例式用橫定法能得到哪兩個三角形？△ACD與△CBD相似嗎？（明顯不相似）那用豎定法呢？（一個△ACB和A、D、B三點在同一直線上構(gòu)不成三角形）。也就是說這個比例式比滿足橫定法的條件，但這個圖形中的三角形明顯不相似，所以我們自己去構(gòu)造相似三角形，那怎么構(gòu)造呢？學生展示圖形并回答，教師追問：你是怎樣想的？你這樣添輔助線的目的是什么？想得到什么？（圖5-2）（圖5-1）解法梳理：用橫定法得到的△ACD與△CBD明顯不相似，所以那我們可以以△ACD為本構(gòu)造一個三角形與它相似或也可以以△CBD為本構(gòu)造一個三角形與它相似；再用豎定法只能得到一個△ABC，另外線段AD（圖5-2）（圖5-1）以△ACD為本，構(gòu)造相似三角形（如圖5-1，圖5-2）：（（圖5-4）（圖5-3）以△BCD為本，構(gòu)造相似三角形（如圖5-3，圖5-4）：（圖5-6）（圖5-6）（圖5-5）設(shè)計意圖：讓學生理解當我們所證的比例式不滿足用橫定法或豎定法的條件或者滿足橫定法或豎定法條件但兩個三角形明顯不相似時我們首先考慮等量代換（比如等線段代換或等比代換或等積代換)去找相似三角形，如果還找不到相似三角形那我們自己就以橫定法或豎定法中得到的一個三角形為本去構(gòu)造一個與它相似的三角形，再進行等量代換，從而解決問題。構(gòu)造相似三角形最常用的方法是過端點或分點添平行線。說明：事實上這道題目的方法還有很多，由于時間關(guān)系我們課內(nèi)就不再繼續(xù)探究，有興趣的同學自己課后去作進一步探究。第三個環(huán)節(jié)：知識梳理問題：通過今天這節(jié)課的學習同學們有什么收獲？（學生回答）比例式追本溯源（證明等積式或比例式的一般思路與方法）：要證明等積式一般先轉(zhuǎn)化為比例式，再通過橫定法或豎定法來找兩個三角形，如果這兩個三角形相似則問題解決；如果用橫定法或豎定法找不到兩個三角形或者找到的兩個三角形不相似，則我們可以通過等量代換法（等線段代換、等比代換和等積代換法）來找到相似三角形，如果還找不到相似三角形那我們自己就以橫定法或豎定法中得到的一個三角形為本去構(gòu)造一個與它相似的三角形，再進行等量代換，從而解決問題。構(gòu)造相似三角形最常用的方法是過端點或分點添平行線。這就是證明等積式或比例式的一般思路與方法。當然還有一些特殊的方法，比如等面積法。設(shè)計意圖：對比例式追本溯源的過程進行梳理，得到證明等積式或比例式的一般思路與方法，讓學生在今后解決等積式或比例式的有關(guān)問題時有方向、有途徑、有方法，提高解題的效率。（圖6（圖6）如圖6，在△ABC中，點D在BC上，點F在邊AB上，AD與CF相交于點E.若AD是中線，E為AD的中點，溫馨提示：要求兩條線段的比值，關(guān)鍵是找到隱含在題中與線段AF和BF有關(guān)的比例式。（圖6-4）解法展示：以圖中線段AF為邊的△AFE（圖6-4）（圖6-1）（（圖6-1）（圖6-6）（圖6-5）（圖6-2）（圖6-3）（（圖6-7）以圖中線段BF為邊的△BFC為本，構(gòu)造三角形與△BFC相似（如圖6-7）：小結(jié)：在圖形中找出以線段AF或BF為邊的三角形，通過端點或分點作平行線構(gòu)造一個三角形與以線段AF或BF為邊的三角形相似，再通過等量代換去解決問題。一般的從所求比值或乘積有關(guān)的兩條線段的比中選取一條線段作為一邊在圖形中找到相應的三角形，然后過端點或分點添一條平行線構(gòu)造一個三角形與那個三角形相似，再通過等量代換，從而解決問題。知識再梳理：運用線段等積式或比例式的一般思路與方法還可以求線段的長或兩條線段的比值或乘積。設(shè)計意圖：1.所求線段長或所求兩條線段的比或乘積時如何利用所求結(jié)論去構(gòu)造相似三角形。2.運用證明等積式或比例式的一般思路與方法還可以求有關(guān)線段的比值或長度或乘積，也就是說求線段的長度或者比值或乘積也可以運用證明等積式或比例式的一般思路與方法（將證明兩個字改成運用）。第五個環(huán)節(jié)：自我挑戰(zhàn)請你來編題請你在上題（學以致用）的基礎(chǔ)上對題目進行改編，并進行解答。（圖7）改編1：如圖7，在△ABC中，點D在BC上，點F在邊AB上，AD與CF相交于點E.若AD（圖7）改編2：如圖7，在△ABC中，點D在BC上，點F在邊AB上，AD與CF相交于點E.若AD是中線，改編3：如圖7，在△ABC中，點D在BC上，點F在邊AB上，AD與CF相交于點E.若AD是中線，改編4：如圖7，在△ABC中，點D在BC上，點F在邊AB上，AD與CF相交于點E.若AD是中線，改編5：如圖7，在△ABC中，點D在BC上，點F在邊AB上，AD與CF相交于點E.若AD是中線，改編6：如圖7，在△ABC中，點D在BC上，點F在邊AB上，AD與CF相交于點E.若AD是中線，改編7：如圖7，在△ABC中，點D在BC上，點F在邊AB上，AD與CF相交于點E.若AD是中線，…………小結(jié)：以上題目的不管如何改編，但解題的方法和思路還是一樣的，一道題目通一類。鞏固求兩條線段的比值的思路和方法：在圖形中找出所求線段或所求兩條線段的比或乘積有關(guān)的兩條線段中的一條線段為邊的三角形，通過端點或分點作平行線構(gòu)造一個三角形與這個三角形相似，再通過等量代換去解決問題。（圖8）老師編：如圖8，在△ABC中，點D，點F，點Q分別在邊BC，邊AB，邊AC上，AD與FQ相交于