數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

數(shù)形結(jié)合主要是指數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，將抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。因此，數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，更是一種數(shù)學(xué)思想（方法）。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最古老、最基本的兩個(gè)研究對(duì)象，它們之間存在著對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，一方面各自獨(dú)立存在于自己的領(lǐng)域，另一方面兩者又完美地結(jié)合在一起，在宇宙空間釋放著關(guān)于空間形式與數(shù)量關(guān)系的無窮無盡的能量。從古到今，很多人曾經(jīng)對(duì)數(shù)與形的關(guān)系做過生動(dòng)的描繪：從《九章算術(shù)》里的“析理以辭，解體用圖”到華羅庚“數(shù)形本是相倚依，怎能分作兩邊飛；數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休；幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”的詩句；從古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的數(shù)陣圖、畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）到美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩提出的“如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問題，并且創(chuàng)造性思索問題的解法”等等，所有這些都向我們深刻地描繪了數(shù)形之間那種美妙的契合關(guān)系。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合的思想具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。第一，從小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫來看，有關(guān)數(shù)形的內(nèi)容沒有被人為割裂，而是交替呈現(xiàn)，螺旋上升，為滲透數(shù)形結(jié)合的思想提供了可能；第二，小學(xué)是學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的初級(jí)階段，他們頭腦中關(guān)于數(shù)與形沒有明顯的分隔符，是建構(gòu)數(shù)形結(jié)合思想的極佳時(shí)期，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至良好思維方式的形成奠定了基礎(chǔ)；第三，小學(xué)生的身心特點(diǎn)決定了他們的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，在以形象思維為主漸漸向抽象思維的過渡中，數(shù)形的結(jié)合正是順利完成這個(gè)過渡的最好的媒介，借助形的形象來理解數(shù)的抽象，利用數(shù)的抽象來提升形的內(nèi)在邏輯，這也正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。在課堂教學(xué)中，教師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)域常見于數(shù)概念、數(shù)的計(jì)算及數(shù)量（關(guān)系）的問題解決中。通常情況下以代數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，通過各種形式揭示隱含在它內(nèi)部的幾何背景，啟發(fā)學(xué)生的思維，找到解題的途徑。但是，這并不是數(shù)形結(jié)合思想的全貌，在解決幾何問題時(shí)同樣要用到數(shù)形結(jié)合，即以幾何為出發(fā)點(diǎn)，將直觀的圖形與抽象的數(shù)學(xué)語言結(jié)合起來，將形象思維和抽象思維結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)具體形象、表象與抽象概念的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化直觀為抽象，通過數(shù)量關(guān)系的研究來解決問題?？梢韵胂螅?dāng)學(xué)生的思維能夠自覺并且自由地穿梭在數(shù)與形之間，那是一個(gè)多么美妙的教與學(xué)的境界。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微數(shù)形結(jié)合的思想要完全落實(shí)在課堂教學(xué)中絕非易事，或左或右都會(huì)有形而上和形而下的嫌疑。因此，需要找到一些可操作、可檢測(cè)的點(diǎn)，讓數(shù)形結(jié)合的思想實(shí)實(shí)在在地刻畫于學(xué)生的頭腦中。經(jīng)過大量的課堂實(shí)踐，我認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中有四種不同的表現(xiàn)形式，下面以一些教學(xué)片段為例逐一解釋說明。一、數(shù)形分工。在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，數(shù)與形一方面分別以不同的方式存在于各自的領(lǐng)域，另一方面又因?yàn)榇嬖诜绞降牟蛔慊ハ嘌a(bǔ)充。在教學(xué)“小數(shù)的意義”一課中，學(xué)生初步掌握了一位小數(shù)的意義，轉(zhuǎn)而學(xué)習(xí)兩位小數(shù)的意義時(shí)，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)情境：學(xué)生能自動(dòng)把兩個(gè)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)0.01和0.99,如果讓學(xué)生就此對(duì)兩個(gè)小數(shù)進(jìn)行意義上的解釋并不是一件難事，但很容易陷入機(jī)械照搬一位小數(shù)意義理解的誤區(qū)。在這句話的下面配上兩幅圖后，學(xué)生會(huì)在頭腦中經(jīng)過快速的分析與比較，用百格圖把0.01和0.99的意義表達(dá)出來。這里，表面上數(shù)與形各有分工，實(shí)質(zhì)上卻是在學(xué)生頭腦中補(bǔ)充0.01和0.99的存在方式，最后達(dá)到數(shù)形結(jié)合的目的，使學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的理解更為完整。二、數(shù)形對(duì)應(yīng)。數(shù)與形雖然存在于兩個(gè)系統(tǒng)中，但數(shù)系統(tǒng)中某一項(xiàng)的組成要素和形系統(tǒng)中某一項(xiàng)的要素在某種意義上有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。以“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課為例，在學(xué)生通過例題學(xué)習(xí)初步理解數(shù)意義的基礎(chǔ)上，我設(shè)計(jì)了下面一項(xiàng)獨(dú)立作業(yè)：這道題目跟例題相比，在呈現(xiàn)方式上的最大區(qū)別是，一改例題的“具體的數(shù)一半具體半抽象的數(shù)一抽象的數(shù)”的順序，讓學(xué)生經(jīng)歷“抽象的數(shù)一半具體半抽象的數(shù)一具體的數(shù)”的過程：學(xué)生們首先從寫數(shù)的角度書寫803這個(gè)數(shù)；接著從數(shù)意義理解的角度，在計(jì)數(shù)器上畫出表示803所應(yīng)該撥的珠子；然后從回歸生活的角度，在小棒圖中圈出803根小棒。反饋的重點(diǎn)則放在對(duì)十位上“0”的意義理解上，“書寫時(shí)十位上的零能不能省略？”“計(jì)數(shù)器上這個(gè)零在哪里？表示什么意思？”“圈小棒時(shí)如何表示十位上的零？”借助上面三個(gè)問題突破“數(shù)中間有零”的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)。這道題目的另一個(gè)重要目的是幫助學(xué)生多角度理解803的意義，通過三個(gè)連續(xù)動(dòng)作把具體的小棒圖、半具體半抽象的計(jì)數(shù)器、抽象的三位數(shù)中的各個(gè)數(shù)位一一對(duì)應(yīng)在一起后，“八個(gè)百、零個(gè)十、三個(gè)一”就清晰、生動(dòng)、準(zhǔn)確地刻畫在學(xué)生的頭腦中了。三、數(shù)形聯(lián)系。即在數(shù)與形獨(dú)立、對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上，讓兩者接上關(guān)系，互相作用互相影響，以便于學(xué)生更深刻地理解知識(shí)，更全面地揭示知識(shí)的本質(zhì)。在“分?jǐn)?shù)的意義”一課中，學(xué)生借助大量的圖形操作，經(jīng)歷比較、歸納，抽象出分?jǐn)?shù)意義的文字表達(dá)后，再要求他們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解釋具體分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，很多學(xué)生往往只會(huì)停留在抽象的模仿階段，習(xí)慣用“把單位1平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份”來解釋所有具體情境中的分?jǐn)?shù)意義，雖然在教師的引導(dǎo)下，部分學(xué)生能夠及時(shí)糾正認(rèn)識(shí)中的偏差，但這并不能完全證明學(xué)生已經(jīng)達(dá)到了學(xué)習(xí)目標(biāo)。因此，我在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中嘗試著適時(shí)添加或轉(zhuǎn)化為圖的形式，較好地改變了學(xué)生理解分?jǐn)?shù)局限于語言文字層面的尷尬局面。同時(shí)也進(jìn)一步詮釋了“如果一個(gè)特定的分?jǐn)?shù)可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么有關(guān)分?jǐn)?shù)意義的思想就整體地把握了，并且還具有學(xué)生各自的特點(diǎn)”。教學(xué)實(shí)錄如下：師：接下來請(qǐng)你運(yùn)用剛才所學(xué)的知識(shí)，說說下面幾個(gè)分?jǐn)?shù)的意義。生：1/8就是把單位“1”平均分成8份，表示這樣的1份的數(shù)。師：你能結(jié)合題目說得具體一點(diǎn)嗎？生：就是把人平均分成8份，頭部的長度表示了這樣的1份。師：是把人的體重平均分成8份嗎？這里的單位“1”是指什么？生：不是，是把人的身高平均分成8份，單位“1”是人的身高。師：對(duì)，找準(zhǔn)單位“1”很重要，假設(shè)這條線段（教師畫草圖）表示單位“1”即人的身高，你能通過畫圖來進(jìn)一步說明它的意義嗎？生：（邊畫圖邊講解）把這條線段也就是身高平均分成8份，第1份就是頭部。師：一個(gè)普通成年人的身高相當(dāng)于8個(gè)頭部的長度，你們知道最美的身材是怎樣的嗎？一一九頭身，是什么意思呢？生：身高相當(dāng)于9個(gè)頭部的長度，他們頭部的長度占身高的九分之一。生：第二題表示把長江干流平均分成5份，其中的3份受到了不同程度的影響。師：說說誰是單位“1”？生：長江所有的干流（水體）。師：如果這個(gè)正方形代表長江所有干流水體，你能把這個(gè)分?jǐn)?shù)的意思在圖上表示嗎？（學(xué)生嘗試畫草圖）?！合乱活}是把死海的含鹽量平均分成10份，表層的含鹽量占了3/10。師：這里單位“1”是指誰？生：死海的含鹽量。生：錯(cuò)了，單位“1”應(yīng)該是死海表層的水。生：把死海表層的水平均分成了10份，鹽占了其中的3份，叫做3/10。師：你能用圖來解釋這個(gè)分?jǐn)?shù)的意義嗎？四、數(shù)形變換。下面以幾何教學(xué)為例談?wù)剶?shù)形變換。這是小學(xué)數(shù)學(xué)（人教版四年級(jí)下）“三角形三邊關(guān)系”中的一道習(xí)題：從表面上看這道題非常簡(jiǎn)單，絕大部分學(xué)生都能解答。如果我們的教學(xué)目標(biāo)僅僅停留于此，那么本課教學(xué)就沒有意義。這道習(xí)題既然歸屬幾何領(lǐng)域，在設(shè)定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，我們就不能只關(guān)注它代數(shù)領(lǐng)域的邏輯推理，把目標(biāo)降低為會(huì)用“a+b>c”進(jìn)行準(zhǔn)確而迅速的判斷，而要重視作為幾何的空間觀念的建立以及空間觀念中數(shù)的變化引起形的變化的規(guī)律。正是因?yàn)榭吹搅诉@一點(diǎn)，我在挖掘這道習(xí)題背后的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)強(qiáng)調(diào)了形與數(shù)的結(jié)合，使簡(jiǎn)單的判斷上升為復(fù)雜的數(shù)形變換。教學(xué)實(shí)錄如下：師：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成此題，之后同桌交流。師：第1題你是怎么判斷的？（學(xué)生把每兩個(gè)數(shù)相加，與第3個(gè)數(shù)比較得出結(jié)果。）師：判斷正確，但老師有一個(gè)疑問，每道題都加三遍，有點(diǎn)麻煩。生：只要最短的兩邊之和大于第三條邊就行了。師：為什么呢？生：連最短兩邊的和都大于第三邊，其他比它長的兩邊加起來肯定大于第三邊了。師：好，這是判斷三邊關(guān)系最優(yōu)的方法，我們用它來判斷其余三道題?！瓗煟旱谝唤M的三條線段非常有意思，3,4,5是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，那是否可以得出這樣的結(jié)論，只要三邊的長度是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)都可以圍成三角形呢？生：不一定。1，2,3不行，1加2等于3。生：一條邊是0也不行，0就表示其中一條線段沒有。師：對(duì)，除了0，1，2和1，2,3以外呢？舉舉例子看。生：都可以，比如：三條邊長度是7，8，9；100，101，102……師：有很多。大家想象一下，3,4,5三條線段圍成的圖形會(huì)是什么樣子的？（大多數(shù)學(xué)生無法想象。）生：是直角三角形。師：你的空間觀念太棒了！我們來看一看到底是什么三角形？（課件演示。）師：到中學(xué)我們還會(huì)學(xué)到這個(gè)三角形，有一個(gè)勾股定理，三邊分別稱作勾三股四弦五。師：第2題三條邊是3,3,3。它圍成的又是怎樣的三角形呢？生：是一個(gè)等邊三角形。（課件演示。）師：三條邊相等的三角形是等邊三角形，也叫正三角形。生：2,2,6,不能圍成三角形。（課件演示。）師：3,3,5,這一組線段圍成的三角形又是怎樣的呢？生：是等腰三角形。師：因?yàn)閮蓷l邊相等是嗎？知識(shí)學(xué)得還真多。（課件演示。）師：第4題的等腰三角形我很感興趣。如果把5厘米的邊換一條，可以怎么換呢？為了方便研究，線段取整厘米數(shù)。生：1?5,第三條邊不能等于或大于6,因?yàn)?加3等于6。師：想象第三條邊是1厘米的時(shí)候，這個(gè)三角形是怎樣的？能用手表示一下嗎?生：是很尖的。（課件）師：第三條邊是2厘米的時(shí)候呢?生：再胖一些。師：第三條邊是3呢？4呢？（課件演示三邊分別為1，2,3,4時(shí)的三角形，以幫助學(xué)生感知圖形的變化。）師：現(xiàn)在如果保留5厘米的邊，把其中3厘米的邊換掉，又可以怎么換呢？……師：想象一下，第三條邊分別是5,6,7時(shí)，這條邊所對(duì)應(yīng)的那個(gè)角會(huì)有什么變化？生：會(huì)越來越大。師：真厲害，我們一起來看圖，是否真的像這個(gè)同學(xué)所說的那樣？（屏幕顯示三條邊分別是5,6,7時(shí)的三角形圖形。）生：這條邊所對(duì)應(yīng)的那個(gè)角也在慢慢變大，開始是銳角，后來是鈍角了。從上面的教學(xué)片段中不難看出學(xué)生的學(xué)習(xí)變得分外有價(jià)值：從“優(yōu)化圍成三角形三條邊的判斷方法”到“三條邊的長度分別是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的推理”、從“勾三股四弦五直角三角形的想象”到“等邊、等腰三角形的勾勒”、從“不能圍三角形的小棒的調(diào)換”到“三角形第三邊范圍的猜想”、從“邊的長度變化引起三角形形狀的變化”到“邊所對(duì)應(yīng)的角也同時(shí)發(fā)生變化”等等，通過數(shù)與形之間的變化、聯(lián)系及自然的轉(zhuǎn)化引起學(xué)生的思考和討論，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，糾正、補(bǔ)充著關(guān)于三角形三邊關(guān)系的錯(cuò)誤或片面的認(rèn)識(shí)，從而把三角形三邊關(guān)系的知識(shí)一步步引向深入。因此，這個(gè)片段對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起到了兩個(gè)方面的作用：一是讓學(xué)生從各自的經(jīng)驗(yàn)背景出發(fā)，推出關(guān)于三角形三邊關(guān)系的合乎邏輯的知識(shí)假設(shè)變得相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)，二是讓學(xué)生感知到觀察、分析、解決問題需要從（數(shù)、形）多個(gè)角度去完善的思維方式。在教學(xué)中，三角形三邊關(guān)系的意義建構(gòu)始終穿梭在數(shù)與形之間，學(xué)生比較深刻地體會(huì)到在三角形這個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中數(shù)的變化引起形的變化，形的背后是數(shù)的支撐，形與數(shù)互相影響、互相制約，學(xué)習(xí)顯得更具數(shù)學(xué)味和生命力。一個(gè)系統(tǒng)結(jié)合的例子數(shù)形分工、數(shù)形對(duì)應(yīng)、數(shù)形聯(lián)系、數(shù)形變換四個(gè)維度既是數(shù)形結(jié)合思想的不同表現(xiàn)形式，又可以作為在教學(xué)中落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想的一般順序。在“兩位數(shù)筆算乘法”的新知教學(xué)中，我一直在思考一個(gè)問題：如何在算理算法上突破以往的思維慣性，讓計(jì)算教學(xué)體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想呢？于是，我按照這個(gè)順序進(jìn)行了嘗試，沒想到也取得了意想不到的效果。第一步：數(shù)形分工一一為筆算乘法的引入打下伏筆。師：看大屏幕，我們一起來解決一個(gè)問題：6位小朋友參加羽毛球訓(xùn)練，教練員要求“每人準(zhǔn)備30只羽毛球”，他們訓(xùn)練了一個(gè)月后剩下的羽毛球只數(shù)分別是（如圖）：師：看到6個(gè)小朋友用剩下的羽毛球只數(shù)，你有什么想說的？生：6個(gè)人中有3個(gè)人訓(xùn)練后剩下的羽毛球只數(shù)是一樣的，另外3個(gè)人也一樣。師：這個(gè)小朋友的眼睛真亮，他馬上看到了這6個(gè)數(shù)中有3個(gè)數(shù)是相同的，還有3個(gè)數(shù)也是相同的，一下子找準(zhǔn)了這組數(shù)的特點(diǎn)。我按照這個(gè)小朋友的意思，把它們排排隊(duì)。老師把圖形也進(jìn)行了整理：趙陽、孫虹、錢凡剩下的羽毛球只數(shù)都是12個(gè)，王芳、陳園、張晴剩下的羽毛球只數(shù)都是21只。師：老師想提一個(gè)數(shù)學(xué)問題：（板書）訓(xùn)練前，6人一共有羽毛球多少只？你能不能也提一個(gè)問題，跟我這個(gè)問題能夠相對(duì)應(yīng)的?生：訓(xùn)練后，6人一共有多少只羽毛球？第二步：數(shù)形對(duì)應(yīng)一一充分展示筆算乘法的算理。師：剛才同學(xué)們分別用口算的方法、豎式的方法嘗試計(jì)算了21X3的積。這兩種方法你看懂了嗎？為了證明大家已經(jīng)理解了，老師想和同學(xué)一起合作一下，我點(diǎn)豎式中的一個(gè)（部分）數(shù)，你們點(diǎn)出它相當(dāng)于橫式中的哪一步？在這幅圖中，又是指哪一部分呢？（師點(diǎn)“3”，生點(diǎn)“3X1=3"，另一生指出了圖中王芳、陳園、張晴所剩下的羽毛球中，零散的3只。師再指6,生圈3X20=60,另一生指出3人剩下的6盒羽毛球。）第三步：數(shù)形聯(lián)系一一為進(jìn)一步理解算理與算法提供豐富的支撐。師：豎式中的每一步和口算、圖都是有密切聯(lián)系的，我們一起仔細(xì)觀看大屏幕：第四步：數(shù)形變換一一比較全面地展示算理與算法的多樣性。師：剛才我們計(jì)算了21X3和12X3,再把兩個(gè)積相加，算出還剩羽毛球99只。老師也解答了這個(gè)問