人教A紅對勾配套小結(jié)

本章小結(jié)1．在等差數(shù)列中：(1)已知五個元素a1，an，n，d，Sn中的任意三個，便可求出其余兩個量．(2)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可借助定義，即證明an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù))或利用中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(3)等差數(shù)列的性質(zhì)有著十分廣泛的應(yīng)用，應(yīng)熟練掌握等差數(shù)列的一些主要性質(zhì)．4．應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題，往往可以回避求其首項和公差或公比，使問題得到解決．它有利于提高解題的靈活性，對于開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)能力是非常有益的．一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念與性質(zhì)等差數(shù)列、等比數(shù)列是高中階段學(xué)習(xí)的兩類特殊數(shù)列，有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的一些性質(zhì)的應(yīng)用在高考中經(jīng)常以選擇題、填空題出現(xiàn)，考查知識應(yīng)用的靈活性．【例1】若互不相等的實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，c，a，b成等比數(shù)列，且a＋3b＋c＝10，則a等于(

)A．4

B．2C．－2 D．－4【解析】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和性質(zhì)．設(shè)公差為d，則b＝a＋d，c＝a＋2d，∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋3b＋c＝a＋c＋3b＝2b＋3b＝10，∴b＝2.又∵c，a，b成等比數(shù)列，∴a2＝bc＝2(a＋2d)＝2(a＋4－2a)＝8－2a.∴a2＋2a－8＝0，∴a1＝2，a2＝－4.∴d1＝0，d2＝6.∵a，b，c互不相等，∴a1＝2，d1＝0不符合題意，即a＝－4.故選D.【答案】

D【評析】

若a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c；若a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac.【評析】

巧用等比數(shù)列的一些性質(zhì)解題，可使得問題計算簡化．【例3】

已知a1＝2，點(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，其中n＝1,2,3，….(1)證明數(shù)列{lg(1＋an)}是等比數(shù)列；(2)設(shè)Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及數(shù)列{an}的通項．【分析】

把點(an，an＋1)代入f(x)，可得{an}的遞推式，再變形使之形成新的等比數(shù)列來求解．【評析】

函數(shù)與數(shù)列結(jié)合的題目是高考的熱點之一，做這類題目的關(guān)鍵是利用函數(shù)關(guān)系得出數(shù)列的遞推關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列進行求解．二、數(shù)列通項公式的常見求法1．觀察歸納法觀察歸納法就是觀察數(shù)列的特征，找出各項共同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項之間的關(guān)系，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項公式．【例5】

數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝a1＋2a2＋…＋(n－1)·an－1(n≥2)，求an的通項公式．3．形如：an＋1＝Aan＋D(A≠1，D≠0)的式子，構(gòu)造等比數(shù)列．【例6】

(2009·全國卷Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．【解】

(1)由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．【例7】

(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(－1)n＋1n，求an；(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3＋2n，求an.【解】

(1)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1n－(－1)n(n－1)＝(－1)n(1