2022屆高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

共66頁(yè)1第六模塊數(shù)列第二十七講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法回歸課本共66頁(yè)21.數(shù)列的定義數(shù)列是按照一定順序排列著的一列數(shù),在函數(shù)意義下,數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù),即當(dāng)自變量從小到大的順序依次取值時(shí),所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,其圖象是相應(yīng)的曲線(或直線)上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn),數(shù)列的一般形式為a1,a2,…,an,…,通常簡(jiǎn)記為{an},其中an是數(shù)列{an}的第n項(xiàng),也叫做通項(xiàng).共66頁(yè)32.數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的關(guān)系,如果可以用一個(gè)式子an=f(n)來表示,我們就把這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列的最佳載體,因此確定一個(gè)數(shù)列是否有通項(xiàng)公式,以及如何求出這個(gè)通項(xiàng)公式,是解決數(shù)列問題的關(guān)鍵.求通項(xiàng)公式的常用方法有:觀察分析法?累差法?累商法和公式法等.共66頁(yè)43.數(shù)列的表示方法從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列的表示方法有:列表法?圖象法?解析法.4.數(shù)列的分類(1)按照項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限來分:有窮數(shù)列?無(wú)窮數(shù)列.(2)按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系來分:遞增數(shù)列?遞減數(shù)列?常數(shù)列?擺動(dòng)數(shù)列.(3)按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否都小于某一正數(shù)來分:有界數(shù)列?無(wú)界數(shù)列.共66頁(yè)55.數(shù)列an與Sn之間的關(guān)系Sn=a1+a2+a3+…+an,an=6.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且從第2項(xiàng)起(或某一項(xiàng))任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.等差數(shù)列與等比數(shù)列是最基本的遞推數(shù)列,遞推數(shù)列的基本問題是由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.共66頁(yè)6考點(diǎn)陪練共66頁(yè)71.(2010·安徽)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為()A.15 B.16C.49 D.64解析:a8=S8-S7=82-72=15.答案:A共66頁(yè)82.下列說法正確的是()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列的第k項(xiàng)為D.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}共66頁(yè)9解析:根據(jù)數(shù)列的定義與集合定義的不同可知A,B不正確;D項(xiàng){2n}中的n∈N*,故不正確;C中an=∴ak=答案:C共66頁(yè)103.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,那么這個(gè)數(shù)列是( )A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列共66頁(yè)11解析:解法一:∵an+1-an=,∴an+1>an,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.共66頁(yè)12共66頁(yè)13答案:A4.設(shè)數(shù)列{an}中,a1=1,n≥2,都有a1?a2?a3?…?an=n2,則a3+a5=()共66頁(yè)14分析:從理論上說,如果已知數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式可以求出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng),但當(dāng)序號(hào)較大時(shí),利用遞推公式來求是很麻煩的,從這一點(diǎn)來說數(shù)列的通項(xiàng)公式要比遞推公式更為深刻,當(dāng)序號(hào)較小時(shí)可用解法二,如果由遞推公式能很快地推導(dǎo)出通項(xiàng)公式,還是用通項(xiàng)公式來求解,這樣能使得計(jì)算簡(jiǎn)捷?準(zhǔn)確.共66頁(yè)15解析:解法一:由已知a1?a2?a3?…?an=n2得an=,n≥2,n∈N*,將a1·a2·…·an-1=(n-1)2,n≥3,n∈N*,代入an得an=

(n≥3).當(dāng)n=2時(shí)適合此式,當(dāng)n=1時(shí)不適合此式.∴an=∴a3+a5=,∴選A.共66頁(yè)16解法二:當(dāng)n=2時(shí),a1?a2=4,∴a2=4.當(dāng)n=3時(shí),a1?a2?a3=9,∴a3=當(dāng)n=4時(shí),a1?a2?a3?a4=16,∴a4=當(dāng)n=5時(shí),a5=,∴a3+a5=,∴選A.答案:A共66頁(yè)175.數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,當(dāng)n∈N*時(shí),an+2等于anan+1的個(gè)位數(shù),若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和為243,則k=( )A.61 B.62C.63 D.64共66頁(yè)18解析:依題意,得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,…,數(shù)列{an}除第一項(xiàng)外,其余的項(xiàng)形成以6為周期的數(shù)列,且從a2到a7這六項(xiàng)的和等于24.注意到243=1+24×10+2,因此k=1+6×10+1=62.故選B.

答案:B

共66頁(yè)19類型一 由前n項(xiàng)探索數(shù)列的通項(xiàng)公式解題準(zhǔn)備:觀察法就是觀察數(shù)列的特征,找出各項(xiàng)共同規(guī)律,橫看“各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)”,縱看“各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系”,從而確定出數(shù)列的通項(xiàng).共66頁(yè)20利用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),要抓住以下幾個(gè)特征:(1)分式中分子?分母的特征;(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;(3)拆項(xiàng)后的特征;(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行歸納?聯(lián)想.注意:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)形式不一定唯一.共66頁(yè)21【典例1】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)1,0,1,0,…;(2)1,1,2,2,3,3,…;(3),….共66頁(yè)22共66頁(yè)23

(3)∵奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,故選用(-1)n確定符號(hào).由觀察知分子為2n,而分母為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積即(2n-1)(2n+1).∴an=(-1)n共66頁(yè)24[反思感悟]由給出的前n項(xiàng)求通項(xiàng)公式時(shí),常由數(shù)列的各項(xiàng)中的有關(guān)元素與項(xiàng)數(shù)之間相關(guān)變化歸納出規(guī)律,并對(duì)找出的規(guī)律加以驗(yàn)證.這種問題顯然較簡(jiǎn)單且單純,此類題型在高考題中也少有出現(xiàn),但它是“猜想—證明”的前提,在高考中占有很重要的地位.共66頁(yè)25類型二 簡(jiǎn)單的數(shù)列遞推公式解題準(zhǔn)備:①已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng),可把每相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系列出來,抓住它們的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)處理,有時(shí)借助拆分或取倒數(shù)等方法構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)問題;共66頁(yè)26②對(duì)于形如an+1=an+f(n)的遞推公式求通項(xiàng)公式,只要f(n)可求和,便可利用累加的方法;對(duì)于形如 =g(n)的遞推公式求通項(xiàng)公式,只要g(n)可求積,便可利用累積的方法或迭代的方法;對(duì)于形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1)型遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式時(shí),可用迭代法或構(gòu)造等比數(shù)列法.共66頁(yè)27【典例2】根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式:(1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2n-1an=an-1.[分析](1)將遞推關(guān)系寫成n-1個(gè)等式累加.(2)將遞推關(guān)系寫成n-1個(gè)等式累乘,或逐項(xiàng)迭代也可.共66頁(yè)28

[解](1)當(dāng)n=1,2,3,…,n-1時(shí),可得n-1個(gè)等式.an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,…,a2-a1=1,將其相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1).∴an=a1+共66頁(yè)29共66頁(yè)30共66頁(yè)31類型三 數(shù)列的單調(diào)性解題準(zhǔn)備:①數(shù)列的單調(diào)性是高考中經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容,有關(guān)數(shù)列的最大(小)項(xiàng)、數(shù)列的有界性等問題,都可以借助于數(shù)列的單調(diào)性來研究,必須牢固掌握這類問題的解決方法.這些方法主要有a作差法;b作商法;c利用數(shù)列或函數(shù)的單調(diào)性等方法.共66頁(yè)32共66頁(yè)33【典例3】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=(n+1)()n(n∈N+).試問該數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,說明理由.共66頁(yè)34

[分析]因an是n的函數(shù),難點(diǎn)在于an是一個(gè)一次函數(shù)(n+1)與一個(gè)指數(shù)函數(shù)()n的積.所以從一次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)增減性看,一增一減積不確定.但n∈N+,不妨試從比較an與an+1的大小入手.共66頁(yè)35[解]∵an+1-an=(n+2)( )n+1-(n+1)·( )n=( )n· .∴當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是a9或a10,其值為10·()9,其項(xiàng)數(shù)為9或10.

共66頁(yè)36[反思感悟]由通項(xiàng)公式研究數(shù)列是常用方法,此時(shí)要注意數(shù)列是一類特殊的函數(shù),要重視函數(shù)思想方法的運(yùn)用和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.共66頁(yè)37類型四 利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式解題準(zhǔn)備:①an與Sn的關(guān)系式an=Sn-Sn-1的使用條件是n≥2,求an時(shí)切勿漏掉n=1的情況;②利用an與Sn的關(guān)系可以消去Sn得到關(guān)于an與an-1的關(guān)系,也可以消去an得到Sn與Sn-1之間的關(guān)系,借助遞推關(guān)系的特點(diǎn)構(gòu)造等差或等比數(shù)列,前者可直接求出通項(xiàng)an,后者求出Sn后再利用an與Sn的關(guān)系求an即可.共66頁(yè)38共66頁(yè)39∴8an=(an+an-1+4)(an-an-1),∴(an+an-1)(an-an-1-4)=0,∵an>0,∴an+an-1>0,∴an-an-1-4=0,即an-an-1=4,∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差d=4,又a1=S1=,∴a1=2,∴an=2+4(n-1)=4n-2.共66頁(yè)40共66頁(yè)41【典例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1,則|an|=________.[錯(cuò)解]由題意得:an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.則|an|=|2n-5|.[剖析]未驗(yàn)證n=1時(shí),a1=S1是否適合當(dāng)n≥2時(shí)的解析式,適合合并,否則,分段來寫.共66頁(yè)42共66頁(yè)43錯(cuò)源二 方法理解不到位共66頁(yè)44共66頁(yè)45

[剖析]本題的錯(cuò)誤原因是忽視了a1+3a2+…+3n-2an-1=中n≥2,使得計(jì)算過程中出現(xiàn)了考慮不全面的錯(cuò)誤.共66頁(yè)46共66頁(yè)47共66頁(yè)48名師技法·練智力求解數(shù)列遞推式通項(xiàng)的6種類型與方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列知識(shí)的一類基本題型,是進(jìn)一步研究數(shù)列性質(zhì)的前提,因此是高考數(shù)列知識(shí)考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.研究近幾年的高考命題,我們可以歸納出求解這類問題的基本思想主要是把問題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,而轉(zhuǎn)化的常見方法有兩種:一種是通過變形把問題轉(zhuǎn)化,另一種是通過構(gòu)造把問題轉(zhuǎn)化.下面我們列舉幾種常見數(shù)列遞推式的類型,希望能給同學(xué)們提供解答這類問題的基本方法.共66頁(yè)49技法一an+1=pan+qn(其中p,q均為常數(shù),(pq(p-1)≠0))或an+1=pan+rqn(其中p,q,r均為常數(shù))共66頁(yè)50共66頁(yè)51共66頁(yè)52共66頁(yè)53共66頁(yè)54共66頁(yè)55技法二 an+1=an+f(n)把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),再利用疊加法(逐差相加法)求解.共66頁(yè)56共66頁(yè)57技法三 an+1=f(n)an把原遞推公式轉(zhuǎn)化為再利用疊乘法(逐商相乘法)求解.共66頁(yè)58共66頁(yè)59技法四an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0)先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)