比例、黃金分割、平行線分線段成比例定理及例題

要點(diǎn)一、比例線段.成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段..比例的性質(zhì)：————〔1〕基本性質(zhì)：如果5d,那么城二玩.〔2〔2〕合比性質(zhì):巴二E,那么竺之=蟲如果占d上d要點(diǎn)詮釋：〔1〕兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，假設(shè)單位長度不同，先化成同一單位，再求它們的比；〔2〕兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關(guān)；〔3〕兩條線段的長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù).要點(diǎn)二、黃金分割A(yù)C__BC.定義：點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果金仁那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.要點(diǎn)詮釋：盤仃二或二1且B 苴二12 處0.618AB（2叫做黃金分割值）..作一條線段的黃金分割點(diǎn)：如圖，已知線段AB,按照如下方法作圖:1〔1〕經(jīng)過點(diǎn)B作BDLAB,使BD=^AB.⑵連接AD,在DA上截取DE=DB.〔3〕在AB上截取AC=AE.則點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個.

要點(diǎn)三、平行線截線段成比例基本領(lǐng)實(shí):兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，所得的對應(yīng)線段成比例已知如圖，直線1」、13是一組等距離的平行線基本領(lǐng)實(shí):兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，所得的對應(yīng)線段成比例已知如圖，直線1」、13是一組等距離的平行線，L、L是任意畫的兩條直線，分別于這組平行線相交于點(diǎn)A,B,C,D,E,F,則比例式成立.要點(diǎn)詮釋:上圖的變式圖形：分A型和X型;A型X型則常用的比例式AV_AEAD_AEDB_EC:NBEC'組QABHC依然成立要點(diǎn)四、把已知線段AB五等分.已知線段AB,請利用尺規(guī)作圖把線段AB五等分.作法.以A為端點(diǎn)作一條射線，并在射線上依次截取線段AA「AC廣A九二AsAjAR..連結(jié)A5B,并過點(diǎn)呼,,A,分別作A5B的平行線,依次交AB于點(diǎn)斗，B2,B3,

B,B就B,B就依據(jù)下關(guān)系式,.,AA=AA2=AA=A3A=A4A,.*.AB=BB=BB=BB4=BB,??.點(diǎn)B/B2，B3，把線段AB五等分.要點(diǎn)詮釋：在射線上截取等長的線段時使用的作圖工具是圓規(guī),不能使用直尺進(jìn)行量取,尺規(guī)作圖中的直尺是沒有刻度的,它的用途是畫線或者連線.例題：L〔2016?蘭州模擬〕假設(shè)a：b=2：3,則以下各式中正確的式子是〔 〕A.2a=3b B.3a=2bC.a3D.b3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)比例的性質(zhì)，對選項(xiàng)一一分析，選擇正確答案.【答案】B.【解析】A、2a=3boa：b=3：2,故選項(xiàng)錯誤；B、3a=2boa：b=2：3,故選項(xiàng)正確；h2C、==3ob：a=2：3,故選項(xiàng)錯誤；a-b1D、 a：a：=>a：b=3：2,故選項(xiàng)錯誤.故選B.【總結(jié)升華】考查了比例的性質(zhì).在比例里，兩個外項(xiàng)的乘積等于兩個內(nèi)項(xiàng)的乘積.yz 2工-§尸+工.設(shè)廠廠，求/-9-/的值.【思路點(diǎn)撥】由已知條件利用解方程的思想不能求出x,y,z的值，因此用設(shè)參數(shù)法代入化簡.【答案與解析】y_￡設(shè)234=k貝Ux=2k,y=3k,z=4k2x(2^)2-3x3^x4^+(4^)3 _[2好1原式=(好。小球崎=-24^=2【總結(jié)升華】解此類題學(xué)生容易誤認(rèn)為設(shè)k后，未知數(shù)越多更不易解出，實(shí)際上分子、分母能產(chǎn)生公因式約去A.B、后—1. 如下圖，矩形ABCD是黃金矩形〔即= 2 〕，如果在其內(nèi)作正方形CDEF,得到一個小矩形ABFE,試問矩形ABFE是否也是黃金矩形？D EA【思路點(diǎn)撥】#-1〔1〕矩形的寬與長之比值為2 ,則這種矩形叫做黃金矩形.AE乖-1〔2〕要說明ABFE是不是黃金矩形只要證明上B= 2即可.【答案與解析】矩形ABFE是黃金矩形.AEAD-ED_ADED理由如下：因?yàn)?E= <3皿2 [ 張檸+1) [、秒+1[75-1=、B-i奈-1gE+d2 2所以矩形ABFE也是黃金矩形.【總結(jié)升華】判斷四邊形是否是黃金矩形，要根據(jù)實(shí)際條件靈活選擇判斷方法.AGAF〔2014秋?平川區(qū)校級期中〕已知：如圖，在4ABC中，AB=AC,且GETf瓦EG〃CD.證明：AE=AF.【思路點(diǎn)撥】AGAEAG_AFAEAF AEAF由平行可得GD=EC,且GD-FB,可得EC=FB,結(jié)合ab=ac,由比例的性質(zhì)可得馥==限可得AE=AF.【解析】證明：?「EG〃CD,AGAE AG_AF..GD=EC,且GLFB,里AF?.EC=FB,

AB蝦AE里.?.AE+EC=AF+PB,即ANAB,「AB=AC,.?.AE=AF.【總結(jié)升華】此題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)線段.6.如圖，在矩形ABCD6.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EFD.2而D.2而〃AC〃HG,EH〃BD〃FG,則四邊形EFGH的周長是〔A.阮^ B.13C.2^【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的對角線相等，利用勾股定理求出對角線的長度，然后根據(jù)平行線分線段成比例的基本領(lǐng)實(shí)列式表示出EF、EH的長度之和，再根據(jù)四邊形EFGH是平行四邊形，即可得解.【答案與解析】在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,根據(jù)勾股定理，ac=bd=J.+3不「EF〃AC〃HG,EF_EB??? ,「EH〃BD〃FG,EH_AE而一》,EF_EH_EBAE...萬而二無盲=i

.*.EF+EH=AC=?「EF〃HG,EH〃FG,???四邊形EFGH是平行四邊形，，四邊形EFGH的周長=2〔EF+EH〕=2而故選D.【總結(jié)升華】此題考查了平行線分線段成比例的基本領(lǐng)實(shí)，矩形的對角線相等，勾股定EFEH,

+ =1理,根據(jù)平行線分線段成比例的基本領(lǐng)實(shí)求出WC卻是解題的關(guān)鍵，也是此題的難點(diǎn).理,7-把已知線段a（如圖）三等分.【答案與解析】作法.把已知線段a的兩端點(diǎn)分別標(biāo)注字母A,B,再以A為端點(diǎn)作一條射線，并在射線上