新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2第1課時直線與平面垂直的定義及判定定理課件新人教A版必修第二冊

第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.2直線與平面垂直第1課時直線與平面垂直的定義及判定定理學(xué)習(xí)任務(wù)1．借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系．(直觀想象)2．歸納出直線與平面垂直的判定定理．(數(shù)學(xué)抽象)3．了解直線與平面所成的角．(數(shù)學(xué)抽象)必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次，如圖．如果兩次檢查時，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直．問題：(1)用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？(2)上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么？知識點1直線與平面垂直的定義定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的________直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的____，平面α叫做直線l的____．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做____圖示

畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直任意一條垂線垂面垂足思考直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“無數(shù)條直線”？[提示]

不可以，因為一條直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個平面不一定垂直．知識點2直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個平面內(nèi)的____________垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言m?α，n?α，_____＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α圖形語言

兩條相交直線m∩n知識點3直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線與一個平面____，但不與這個平面____，這條直線叫做這個平面的斜線，如圖中直線PA

斜足斜線和平面的____，如圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點向平面引____，過____和____的直線叫做斜線在這個平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO相交垂直交點垂線垂足斜足有關(guān)概念對應(yīng)圖形直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO；規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是____；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是___．取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則____________90°0°0°≤θ≤90°1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直． (

)(2)若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線． (

)(3)若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線． (

)×××2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________；AB1與平面ADD1A1所成的角等于________；AB1與平面DCC1D1所成的角等于________．45°

45°

0°

[∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.]45°45°0°關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1直線與平面垂直的判定類型2直線與平面所成的角類型1直線與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[證明]

(1)因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因為SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.反思領(lǐng)悟

證線面垂直的方法(1)線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)．②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時作輔助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α.②α∥β，a⊥α?a⊥β.[跟進訓(xùn)練]1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上任意一點，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM.[證明]

設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點M為圓周上一點，∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，∴AN與PM、BM兩條相交直線互相垂直．故AN⊥平面PBM.2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D.[證明]

如圖，連接AC，則AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可證BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.類型2直線與平面所成的角【例2】已知正方體ABCD-A1B1C1D1．(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；

(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．

[母題探究]在本例正方體中，若E為棱AB的中點，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．[解]

連接AC交BD于點O，過E作EO1∥AC交BD于點O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

求直線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點作平面的____，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的__________中計算．垂線直角三角形[跟進訓(xùn)練]3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．

學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)0312341．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．垂直C．相交不垂直

D．不確定B

[一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．]√1234√2．(多選)下列說法，正確的是(

)A．若直線l垂直于α，則直線l垂直于α內(nèi)任一直線B．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行C．若a∥b，a?α，l⊥α，則l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，則a∥αAC

[由線面垂直的定義知，A正確；當(dāng)l⊥α?xí)r，l與α內(nèi)的直線相交或異面，但不會平行，故B錯；C顯然是正確的；而D中，a可能在α內(nèi)，所以D錯誤．]√12343．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是(

)A．60°

B．45°

C．30°

D．120°√

12344．設(shè)三棱錐P-ABC的頂點P在平面ABC上的射影是點H，給出以下說法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則點H是△ABC的垂心；③若點P到△ABC的三邊距離相等，且點H在△ABC的內(nèi)部，則H是△ABC的內(nèi)心；④若PA＝PB＝PC，則點H是△ABC的外心．其中正確的說法是____________(填序號)．①②③④1234①②③④

[①正確，因為點P在平面ABC上的射影是H，則PH⊥平面ABC，故PH⊥BC.又PA⊥BC，PA∩PH＝P，所以BC⊥平面PAH，所以AH⊥BC，同理，BH⊥AC，所以H是△ABC的垂心；②正確，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心；③正確，易證Rt△PHD≌Rt△PHE≌Rt△PHF(D，E，F(xiàn)為△ABC各邊的垂足)，所以HD＝HE＝HF，且點H在△ABC的內(nèi)部，則H是△ABC的內(nèi)心；④正確，可得Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC，所以HA＝HB＝HC，則H是△ABC的外心．]回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．直線與平面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么？證明線面垂直的主要方法有哪些？[提示]

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直；證明線面垂直的主要方法：(1)線面垂直定義；(2)