北師大數(shù)學必修二講義第一章立體幾何初步2

[學習目標]1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖．2.用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖.【主干自填】1．平面圖形直觀圖的畫法斜二測畫法規(guī)則：(1)在已知圖形中建立平面直角坐標系xOy，畫直觀圖時，它們分別對應x′軸和y′軸，兩軸交于點O′，使∠x′O′y′＝eq\o(□,\s\up3(01))45°，它們確定的平面表示eq\o(□,\s\up3(02))水平平面．(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成eq\o(□,\s\up3(03))平行于x′軸和y′軸的線段．(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度eq\o(□,\s\up3(04))不變；平行于y軸的線段，長度為原來的eq\o(□,\s\up3(05))eq\f(1,2).2．立體圖形與平面圖形相比多了一個eq\o(□,\s\up3(06))z軸，其直觀圖中對應于z軸的是eq\o(□,\s\up3(07))z′軸，平面x′O′y′表示eq\o(□,\s\up3(08))水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示eq\o(□,\s\up3(09))直立平面．平行于z軸的線段，在直觀圖中eq\o(□,\s\up3(10))平行性和eq\o(□,\s\up3(11))長度都不變．【即時小測】1．思考下列問題(1)相等的角在直觀圖中還相等嗎？提示：不一定．例如正方形的直觀圖為平行四邊形．(2)空間幾何體的直觀圖唯一嗎？提示：不唯一．作直觀圖時，由于選軸的不同，畫出的直觀圖也不同．2．長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個()A．①②B．①②③C．②⑤D．③④⑤提示：C因為長方形的直觀圖中直角應為45°角，且平行線仍為平行的平行四邊形，只有②⑤滿足．3．梯形的直觀圖是()A．梯形 B．矩形C．三角形 D．任意四邊形提示：A因為梯形的兩底在直觀圖中應平行且不相等，故仍為梯形．4．如圖所示的直觀圖△A′O′B′，其平面圖形的面積為________．提示：6由直觀圖可知其對應的平面圖形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝6.例1畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．[解]畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，畫對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．類題通法1本題巧借等腰梯形的對稱性建系使“定點”“畫圖”簡便易行.2在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來完成.eq\a\vs4\al([變式訓練1])用斜二測畫法畫如圖所示邊長為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖．解(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸．(2)畫對應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′軸上取O′A′＝eq\f(1,2)OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示.例2畫出正五棱柱的直觀圖．[解](1)畫軸．畫x′軸、y′軸和z′軸，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如圖①所示．(2)畫底面．按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.(3)畫側(cè)棱．過點A、B、C、D、E分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都相等．(4)成圖，順次連接A′、B′、C′、D′、E′，去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示．類題通法1畫空間幾何體的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關的點，最后連點成圖便可.2直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“一斜、二半、三不變”.eq\a\vs4\al([變式訓練2])用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長方體ABCD－A′B′C′D′的直觀圖．解畫法：(1)畫軸．如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱．過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖．例3如圖，一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面圖形的面積為()A.eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C．a(chǎn)2D．2a2[解析]由直觀圖還原出原圖，如圖，所以S＝a·2eq\r(2)a＝2eq\r(2)a2.[答案]B類題通法由直觀圖還原平面圖形的關鍵兩點(1)平行x′軸的線段長度不變，平行y′軸線段擴大為原來的2倍；(2)對于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．eq\a\vs4\al([變式訓練3])一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面積為eq\r(2)，則原梯形的面積為()A．2B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4答案D解析如圖，由斜二測畫法原理知，原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長度是一樣的，不一樣的是兩個梯形的高．原梯形的高OC是直觀圖中OC′長度的2倍，OC′的長度是直觀圖中梯形的高的eq\r(2)倍，由此知原梯形的高OC的長度是直觀圖中梯形高的2eq\r(2)倍，故其面積是梯形OA′B′C′面積的2eq\r(2)倍，梯形OA′B′C′的面積為eq\r(2)，所以原梯形的面積是4.易錯點?畫直觀圖時忽略斜二測畫法的規(guī)則[典例]畫出下圖中四邊形OABC的直觀圖．[錯解]如圖(1)所示，畫x′軸和y′軸，使∠x′O′y＝45°.在x′軸上取O′B′＝4，O′D′＝3，在y′軸上取O′C′＝1，過D′作∠B′D′A′＝90°，取A′D′＝1，順次連接O′A′，A′B′，B′C′，擦去輔助線，所得四邊形O′A′B′C′為四邊形OABC的直觀圖，如圖(2)所示．[錯因分析]錯解中沒有將∠B′D′A′畫成135°.[正解]如圖(1)所示，畫x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上取O′B′＝4，O′D′＝3，在y′軸上取O′C′＝1，過D′作∠B′D′A′＝135°，取A′D′＝1，順次連接O′A′，A′B′，B′C′，擦去輔助線，所得四邊形O′A′B′C′為四邊形OABC的直觀圖，如圖(2)所示．課堂小結(jié)1.斜二測畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時，可根據(jù)斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形．兩者之間關系為：eq\f(S直,S原)＝eq\f(\r(2),4).2.在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實夾角大小.1．已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積為()A．16 B．64C．16或64 D．無法確定答案C解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.2．利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的()答案C解析正方形的直觀圖應是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長之比為2∶1.3．在用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，與軸不平行的線段的長度()A．變大 B．變小C．一定改變 D．可能不變答案C解析當與x軸不平行時，過該線段的中點