2019專題05導數(shù)壓軸題的零點及恒成立有解問題-快速提分談高考數(shù)學(理)?？碱}型

2019專題05導數(shù)壓軸題的零點及恒建立、有解問題-迅速提分之談高考數(shù)學（理）?？碱}型（1）若，證明：當時，；a1x0f(x)1（2）若在只有一個零點，求．f(x)(0,)a【分析】（1）當時，等價于．a(chǎn)1f(x)1(x21)ex10設函數(shù)，則．g(x)(x21)ex1g'(x)(x22x1)ex(x1)2ex當時，，所以在單一遞減．x1g'(x)0g(x)(0,)而，故當時，，即．g(0)0x0g(x)0f(x)1①若，即，在沒有零點；h(2)0ae2h(x)(0,)4②若，即，在只有一個零點；h(2)0ae2h(x)(0,)4③若，即，因為，所以在有一個零點，h(2)0ae2h(0)1h(x)(0,2)4由（1）知，當時，，所以．x0exx2h(4a)116a3116a316a314a(e2a)21410e(2a)a故在有一個零點，所以在有兩個零點．h(x)(2,4a)h(x)(0,)e2綜上，在只有一個零點時，．f(x)(0,)a41/82．（2017新課標全國Ⅰ理科）已知函數(shù).f(x)ae2x(a2)exx（1）議論的單一性；f(x)（2）如有兩個零點，求a的取值范圍.f(x)【分析】（1）的定義域為，，f(x)(,)f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)（?。┤簦瑒t，所以在單一遞減.a0f(x)0f(x)(,)（ⅱ）若，則由得.a0f(x)0xlna當時，；當時，，x(,lna)f(x)0x(lna,)f(x)0所以在單一遞減，在單一遞加.f(x)(,lna)(lna,)又，故在有一個零點.f(2)ae4(a2)e222e220f(x)(,lna)設正整數(shù)知足，則.n0n0ln(31)f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00a31)因為，所以在有一個零點.ln(lnaf(x)(lna,)a綜上，的取值范圍為.a(0,1)【名師點睛】研究函數(shù)零點問題經(jīng)常與研究對應方程的實數(shù)根問題互相轉(zhuǎn)變.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分別參數(shù)，結(jié)構(gòu)不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單一性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，進而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單一性、極值、最值，注意點是如有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只要其最小值小于0，且后邊還需考證最小值兩邊存在大于0的點.f(x)yaf(x)3．（2015新課標全國Ⅱ理科）設函數(shù)．f(x)emxx2mx（Ⅰ）證明：在單一遞減，在單一遞加；（Ⅱ）若對于隨意，都有，求的取值范圍．

f(x)(,0)(0,)x1,x2[1,1]|f(x1)f(x2)|e1m2/8(Ⅱ)由(Ⅰ)知，對隨意的，在單一遞減，在單一遞加，故在處獲得最小值．所以對于隨意，的充要條件是即①，設函數(shù)，則．當時，；當時，．故在單一遞減，在單一遞加．又，，故當時，．當時，，，即①式建立；當時，由的單一性，，即；當時，，即．綜上可知，的取值范圍是．mf(x)[1,0][0,1]f(x)x0x1,x2[1,1]|f(x1)f(x2)|e1f(1)f(0)e1,f(1)f(0)e1,emme1,g(t)ette1g'(t)et1t0g'(t)0t0g'(t)0g(t)(,0)(0,)em+me1，g(1)0g(1)e12e<0t[1,1]g(t)0m[1,1]g(m)0g(m)0m1g(t)g(m)0emme1m1g(m)0em+me1m[1,1]【名師點睛】(Ⅰ)先求導函數(shù)，依據(jù)的取值范圍議論導函數(shù)在和的符號即可；(Ⅱ)恒建立，等價于．由是兩個獨立的變量，可研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值為，最大值可能是或，故只要，進而得對于的不等式，因不易解出，故利用導數(shù)研究其單一性和符號，進而得解．f'(x)m(emx1)2xm(,0)(0,)f(x1)f(x2)e1f(x1)f(x2)maxe1x1,x2f(x)f(0)1f(1)f(1)f(0)e1,f(1)f(0)mf(1)e1,1．利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，一般出此刻解答題的壓軸題中，難度較大，這種零點一般都不可以直接求出數(shù)值，而是利用數(shù)形聯(lián)合、分類議論、轉(zhuǎn)變思想和分別變量等求零點的個數(shù)或依據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.3/82．利用導數(shù)解決函數(shù)恒建立問題或有解問題是最近幾年來高考的熱門問題，這種問題常常融函數(shù)、導數(shù)、不等式等知識于一體，以函數(shù)知識為載體，利用導數(shù)為工具研究函數(shù)的性質(zhì)，如單一性、極值、最值，綜合性強，很好地考察了考生的剖析問題和解決問題的能力，解決這種問題的重點是運用等價轉(zhuǎn)變的數(shù)學思想及整體結(jié)構(gòu)法和參數(shù)分別法.指點1：利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題對于含參數(shù)的函數(shù)零點的個數(shù)問題，由函數(shù)有個零點方程有個實數(shù)根函數(shù)與軸有個交點可轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠探獾膫€數(shù)問題，若能分別參數(shù)，可將參數(shù)分別出來，再作出函數(shù)的圖象，依據(jù)函數(shù)的圖象特點進而求出參數(shù)的取值范圍.也能夠依據(jù)函數(shù)的最值或極值的符號，即利用函數(shù)的性質(zhì)去確立函數(shù)零點的個數(shù)，此方法主假如通過數(shù)形聯(lián)合的方法確立存在零點的條件.yf(x)nf(x)0nyf(x)xn【例1】設函數(shù),此中為自然對數(shù)的底數(shù)．f(x)ex1alnxe1）若,求的單一區(qū)間;2）若,求證:無零點．

1f(x)0aef(x)【分析】（1）若,則,∴．令,則,當時,,即單一遞加,又,∴當時,單一遞減,當時,單一遞加．∴的單一遞減區(qū)間為,單一遞加區(qū)間為．2）當時,，明顯無零點．當時,4/8當時,，明顯無零點．當時，易證，∴,∴．令，則，gxex1e令，得，當時，；當時，，gx0x21x2g(x)0x2g(x)0故，進而，明顯無零點.g(x)ming(2)0綜上,無零點．指點2：利用導數(shù)解決函數(shù)恒建立、有解問題利用導數(shù)研究恒建立問題、有解問題，往常采納分類議論思想或分別參變量的方法，經(jīng)過函數(shù)的單一性研究函數(shù)的最值，利用最值去研究恒建立問題、有解問題，此類問題最后都化歸為與函數(shù)最值相關(guān)的問題.一般地，若恒建立，只要即可；若恒建立，只要即可.若存在，使得建立，只要即可；若存在，使得建立，只要即可.f(x)af(x)minaf(x)af(x)maxaxf(x)af(x)maxaxf(x)af(x)mina【例2】已知函數(shù)，.1）若曲線與曲線在它們的交點處的公共切線為，求，，的值；2）當時，若，，求的取值范圍.【分析】（1）設它們的公共交點的橫坐標為，則.，則，①；，則，②.由②得，由①得.5/8將，代入得，∴，.（2）由，得，即在上恒建立，令，則，此中在上恒建立，∴在上單一遞加，在上單一遞減，則，∴.故的取值范圍是.1．設函數(shù)的單一遞減區(qū)間是.f(x)x3bx2cx1(1,2)（1）求的分析式；f(x)（2）若對隨意的，對于的不等式在時有解，務實數(shù)的取值范圍.m(0,2]xf(x)1m3mlnmmt3x[2,)t2【分析】（1）.f(x)3x22bxc∵的單一遞減區(qū)間是(1,2)，∴，f(x)f(1)32bc0f(2)124bc0解得∴.b9,c6.f(x)x39x26x122（2）由（1）得，f(x)3x29x63(x1)(x2)當時，≥0，∴在上單一遞加，∴.x[2,)f(x)f(x)[2,)f(x)minf(2)3要使對于的不等式在時有解，xf(x)1m3mlnmmt3x[2,)2即，即對隨意恒建立,1m3mlnmmt3f(x)min3mt1m3mlnmm(0,2]22只要在上恒建立.t1m2lnmm(0,2]26/8設，，則，h(m)1m2lnmm(0,2]h(m)m1(m1)(m1)2mm當時，在上單一遞減，在上單一遞加，∴.m(0,2]h(m)0,11,21h(m)minh(1)1m212要使在上恒建立，只要，則.tlnmm(0,2]th(m)mint,1)22故的取值范圍是.t(22．已知函數(shù)．f(x)(x1)ex（1）證明：當時，；x[0,)f(x)x212（2）當時，議論對于x的方程的根的個數(shù)．（2）①當時，易得對于x的方程不建立；

k02f(x)kx20x02f(x)kx20②當時，由可得，即，x02f(x)kx20k2f(x)k2(x1)exx2x2令，則問題可轉(zhuǎn)變?yōu)樽h論直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù).g(x)2(x1)ex,x0ykg(x)x2由，可得，易知恒建立，所以當時，，單一遞減；當時，，單一遞加，g(x)2(x1)exg(x)2(x22x2)ex(x22x2)ex0x0g(x)0g(x)x0g(x)0g(x)x2x3又易知當時，恒建立，且，x0g(x)0g(1)0所以當時，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點，即對于x的方程有且只有一個實數(shù)根.k0ykg(x)2f(x)kx203．設函數(shù).（1）議論函數(shù)的單一性；（2）若，且在區(qū)間上恒建立，求的取值范圍.【分析】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單一遞加，在區(qū)間上