指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例

指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用舉例第一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型思考：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是什么?提示:解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是選擇和建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.函數(shù)模型名稱表達(dá)形式限制條件指數(shù)函數(shù)模型__________a,b,c為常數(shù),a≠0,b>0,b≠1對(duì)數(shù)函數(shù)模型_____________m,n,a為常數(shù),m≠0,a>0,a≠1f(x)=abx+cf(x)=mlogax+n第三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【知識(shí)點(diǎn)撥】1.建立函數(shù)模型應(yīng)把握的三個(gè)關(guān)口(1)事理關(guān):通過(guò)閱讀、理解,明白問(wèn)題講什么,熟悉實(shí)際背景,為解題打開(kāi)突破口.(2)文理關(guān):將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言,用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.(3)數(shù)理關(guān):在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中,利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn),從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.第四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.解決擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題的四個(gè)環(huán)節(jié)(1)作圖：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖.(2)選擇函數(shù)模型：一般是根據(jù)散點(diǎn)圖的特征，聯(lián)想哪些函數(shù)具有類似的圖象特征，找?guī)讉€(gè)比較接近的函數(shù)模型嘗試.(3)求出函數(shù)模型：求出(2)中找到的幾個(gè)函數(shù)模型的解析式.(4)檢驗(yàn)：將(3)中求出的幾個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行比較、驗(yàn)證，得出最適合的函數(shù)模型.

第五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六類型一指數(shù)函數(shù)模型

【典型例題】1.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……，現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y為()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2xD.y=2x第六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.某海濱城市現(xiàn)有人口100萬(wàn)人，如果年平均自然增長(zhǎng)率為1.2%.解答下面的問(wèn)題：(1)寫(xiě)出該城市人口數(shù)y(萬(wàn)人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系.(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人).(3)計(jì)算大約多少年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人(精確到1年).第七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解題探究】1.對(duì)于細(xì)胞分裂問(wèn)題，一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過(guò)x次分裂后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)一般怎樣表示？若是n個(gè)細(xì)胞呢？2.解決連續(xù)增長(zhǎng)問(wèn)題應(yīng)建立何種數(shù)學(xué)模型？探究提示：1.由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……，分裂x次后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)為2x個(gè)，若是n個(gè)細(xì)胞，則細(xì)胞個(gè)數(shù)為n·2x個(gè).2.對(duì)于連續(xù)增長(zhǎng)的問(wèn)題一般情況下可建立指數(shù)型函數(shù)模型y=a(1+p)x.第八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】1.選A.2個(gè)細(xì)胞分裂一次成4個(gè)，分裂兩次成8個(gè)，分裂3次成16個(gè)，所以分裂x次后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)為y=2x+1.第九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.(1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)，2年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)2，3年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)3，……x年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)x(x∈N).第十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)10年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(萬(wàn)人).(3)設(shè)x年后人口將達(dá)到120萬(wàn)人，即可得到100×(1+1.2%)x=120，所以大約16年后該城市人口總數(shù)達(dá)到120萬(wàn)人.第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【拓展提升】解應(yīng)用問(wèn)題的四步驟讀題?建模?求解?反饋(1)讀題：通過(guò)分析、畫(huà)圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等，弄清已知什么,求解什么,需要什么.(2)建模：正確選擇自變量，將問(wèn)題表示為這個(gè)變量的函數(shù)，通過(guò)設(shè)元,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式或建立數(shù)學(xué)模型，不要忘記考察函數(shù)的定義域.第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)求解：通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算將數(shù)學(xué)模型中的未知量求出.(4)反饋：根據(jù)題意檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合實(shí)際情況,并正確作答.第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【變式訓(xùn)練】某鋼鐵廠的年產(chǎn)量由2004年的40萬(wàn)噸，增加到2014年的60萬(wàn)噸，如果按此增長(zhǎng)率計(jì)算，預(yù)計(jì)該鋼鐵廠2024年的年產(chǎn)量為_(kāi)_____.【解析】設(shè)年增長(zhǎng)率為r，則有40(1+r)10=60，所以(1+r)10=所以2024年的年產(chǎn)量為60(1+r)10=60×=90(萬(wàn)噸).答案：90萬(wàn)噸第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六類型二對(duì)數(shù)函數(shù)模型

【典型例題】1.某地為了抑制一種有害昆蟲(chóng)的繁殖，引入了一種以該昆蟲(chóng)為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A.300只B.400只C.600只D.700只第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過(guò)冬，研究燕子的專家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為v=5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，則燕子靜止時(shí)的耗氧量為_(kāi)_____.當(dāng)一只兩歲燕子的耗氧量為80個(gè)單位時(shí)，其速度是______.第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解題探究】1.對(duì)于題1中的參數(shù)a應(yīng)利用哪些數(shù)值來(lái)確定？2.借助已知對(duì)數(shù)值求解實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？探究提示：1.可由該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，即x=1，此時(shí)y=100，代入y=alog2(x+1)中，可解得a.2.借助已知對(duì)數(shù)值求解實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是充分借助對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把求解數(shù)值用已知對(duì)數(shù)值表示.第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】1.選A.將x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1)，解得a=100，所以x=7時(shí)，y=100log2(7+1)=300.2.由題意，燕子靜止時(shí)v=0，即5log2=0，解得q=10；當(dāng)q=80時(shí)，v=5log2=15(m/s).答案：1015m/s第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【互動(dòng)探究】題1中，若引入的此種特殊動(dòng)物繁殖到500只以上時(shí)，也將對(duì)生態(tài)環(huán)境造成危害，那么多少年時(shí)，必須采取措施進(jìn)行預(yù)防？【解析】500=100log2(x+1)，解得x=31.所以31年時(shí)，必須采取措施進(jìn)行預(yù)防.第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【拓展提升】對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略(1)基本類型：有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)解析式，然后根據(jù)實(shí)際問(wèn)題再求解.(2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【變式訓(xùn)練】2012年6月16日，“神舟九號(hào)”載人飛船經(jīng)“長(zhǎng)征二號(hào)F”運(yùn)載火箭發(fā)射升空.火箭起飛質(zhì)量是箭體的質(zhì)量m和燃料質(zhì)量x的和，在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y=k［ln(m+x)-ln(m)］+4ln2(其中k≠0)，當(dāng)燃料質(zhì)量為(-1)m噸時(shí)，該火箭的最大速度為4km/s，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_(kāi)_____.第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解題指南】先由燃料質(zhì)量為(-1)m時(shí)，則該火箭的最大速度為4km/s，代入y=k［ln(m+x)-ln(m)］+4ln2中，確定出k的值.【解析】由題意，x=(-1)m時(shí),y=4km/s，即4=k{ln［m+(-1)m］-ln(m)}+4ln2,所以k=8,故y=8［ln(m+x)-ln(m)］+4ln2.答案：y=8［ln(m+x)-ln(m)］+4ln2第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六類型三擬合模型

【典型例題】1.(2013·廈門(mén)高一檢測(cè))今有一組數(shù)據(jù)如下：在以下四個(gè)模擬函數(shù)中，最適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)是()A.v=log2tB.v=C.v=D.v=2t-2t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.四人賽跑，假設(shè)其跑過(guò)的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)=x2，f2(x)=4x，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A.f1(x)=x2B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解題探究】1.對(duì)于表格給出的數(shù)據(jù)，如何選擇合適的模擬函數(shù)？2.指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)具有什么特點(diǎn)？探究提示：1.可用直接法，將表中的數(shù)據(jù)直接代入所給出的模擬函數(shù)中，驗(yàn)證哪個(gè)最適合即可.2.指數(shù)函數(shù)的變化呈爆炸方式增長(zhǎng)，隨著變量的增大，與其他函數(shù)類型相比，其函數(shù)值將增長(zhǎng)得最快.第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】1.選C.可將自變量的值取整數(shù)，代入備選答案，易知C成立．2.選D.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的變化呈爆炸方式增長(zhǎng)，所以一直跑下去，最終在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是f4(x)=2x，應(yīng)選D.第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【拓展提升】數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題的三種求解策略(1)直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型,或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型,則可直接代入表中的數(shù)據(jù),問(wèn)題即可獲解.(2)列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問(wèn)題,則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式,然后進(jìn)行比較.第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)描點(diǎn)觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型,則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn),作出散點(diǎn)圖,然后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況,確定所需要用的數(shù)學(xué)模型,問(wèn)題即可順利解決.第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【變式訓(xùn)練】某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖，下列函數(shù)中，最能近似刻畫(huà)y與t之間關(guān)系的是()A.y=2tB.y=t3C.y=log2tD.y=2t2【解析】選C.由曲線的緩慢增長(zhǎng)趨勢(shì)知，應(yīng)為對(duì)數(shù)函數(shù)型，故選C.第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六

圖表型應(yīng)用問(wèn)題【典型例題】1.某天0時(shí)，小鵬同學(xué)生病了，體溫上升，吃過(guò)藥后感覺(jué)好多了，中午時(shí)體溫基本正常(大約37℃),但是下午他的體溫又開(kāi)始上升，直到半夜才感覺(jué)不發(fā)燒了，下面能反映小鵬這一天體溫變化情況的圖象大致是()第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)組成有序數(shù)對(duì)(t,P)，點(diǎn)(t,P)落在如圖中的兩條線段上.

第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六該股票在30天內(nèi)的日交易量Q(萬(wàn)股)與時(shí)間t(天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：(1)根據(jù)提供的圖象，寫(xiě)出該種股票每股的交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系.(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q(萬(wàn)股)與時(shí)間t(天)所滿足的一次函數(shù)關(guān)系.第t天4101622Q(萬(wàn)股)36302418第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】1.選C.觀察圖象A，體溫逐漸降低，不符合題意；圖象B不能反映他下午體溫又開(kāi)始上升；圖象D不能反映他下午體溫又開(kāi)始上升與直到半夜才感覺(jué)不發(fā)燒了.第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.(1)由圖象知，前20天滿足的是遞增的直線方程，且過(guò)點(diǎn)(0,2),(20,6)，容易求得其方程為P=t+2；從20天到30天滿足遞減的直線方程，且過(guò)點(diǎn)(20,6),(30,5)，求得方程為P=+8，所以每股的交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系為第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)設(shè)日交易量Q(萬(wàn)股)與時(shí)間t(天)所滿足的一次函數(shù)關(guān)系為Q=kt+b，過(guò)點(diǎn)(4,36),(10,30)，解得k=-1,b=40，所以Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【拓展提升】圖表型應(yīng)用問(wèn)題的解決思路(1)結(jié)合圖象特征，觀察坐標(biāo)軸所代表的含義.(2)緊扣題目的語(yǔ)言敘述，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)特征(單調(diào)性，最值，奇偶性).第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】指數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用【典例】

【條件分析】第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)根據(jù)圖象求k,b的值.(2)若市場(chǎng)需求量為Q，它近似滿足當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為均衡價(jià)格，為使均衡價(jià)格控制在不低于9元的范圍內(nèi)，求稅率t的最小值.第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【規(guī)范解答】(1)由圖可知①時(shí)，有解得…………4分第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)當(dāng)P=Q時(shí)，得………………6分解得…………8分令∵x≥9,∴m∈(0,］③,在t=(17m2-m-2)中，對(duì)稱軸為直線且圖象開(kāi)口向下.……10分∴m=時(shí)，t取得最小值此時(shí)，x=9.………………12分第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【失分警示】第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【防范措施】1.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用意識(shí)在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，如本例中通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)求最值.2.二次函數(shù)求最值準(zhǔn)確應(yīng)用變量的范圍在求解二次函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)一定要注意自變量的范圍以及和對(duì)稱軸的關(guān)系.例如本例中利用換元法得到二次函數(shù)后注意應(yīng)用準(zhǔn)確.第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【類題試解】某地區(qū)為響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，在2013年初，新建了一批有200萬(wàn)平方米的廉價(jià)住房，供困難的城市居民居?。捎谙掳肽晔芪飪r(jià)的影響，根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際情況，估計(jì)今后廉價(jià)住房的年平均增長(zhǎng)率只能達(dá)到5%.(1)經(jīng)過(guò)x年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房為y萬(wàn)平方米，求y=f(x)的解析式，并求此函數(shù)的定義域．(2)作出函數(shù)y=f(x)的圖象，并結(jié)合圖象求：經(jīng)過(guò)多少年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬(wàn)平方米.第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六【解析】(1)經(jīng)過(guò)1年后，廉價(jià)住房面積為200＋200×5%＝200(1＋5%)；經(jīng)過(guò)2年后為200(1＋5%)2；……經(jīng)過(guò)x年后，廉價(jià)住房面積為200(1+5%)x，∴y=200(1+5%)x(x∈N*)．第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)作函數(shù)y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)的圖象，如圖所示：作直線y＝300，與函數(shù)y=200(1+5%)x(x≥0)的圖象交于A點(diǎn)，則A(x0,300)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的值就是函數(shù)值y＝300時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間x的值．因?yàn)?＜x0＜9，則取x0＝9，即經(jīng)過(guò)9年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬(wàn)平方米．第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期六1.某種商品2012年提價(jià)25%，201