2022-2023學(xué)年蘇教版高一數(shù)學(xué)新教材同步講義6.2 指數(shù)函數(shù)

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除6.2指數(shù)函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷題型二：利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式題型四：指數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用題型八：比較指數(shù)冪的大小題型九：解指數(shù)型不等式題型十：判斷函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域?yàn)椋R(shí)點(diǎn)詮釋：（1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如（且）的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)．像，，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)．（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：①如果，則②如果，則對(duì)于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．③如果，則是個(gè)常量，就沒(méi)研究的必要了．知識(shí)點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：時(shí)圖象時(shí)圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，時(shí)，⑤時(shí)，時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．（2）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．當(dāng)時(shí)，的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．知識(shí)點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時(shí)，（底大冪大）時(shí)，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：【方法技巧與總結(jié)】1、指數(shù)式大小比較方法（1）單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．（2）中間量法（3）分類討論法（4）比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：①若；；；②當(dāng)兩個(gè)式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．2、簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的單調(diào)性求解；（2）形如的不等式，可將化為為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調(diào)性求解；（3）形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解．【典型例題】題型一：指數(shù)函數(shù)定義的判斷例1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0例2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤.其中一定為指數(shù)函數(shù)的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)變式1．（多選題）（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一期中）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的有（

）A． B． C． D．變式2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是__________(填序號(hào))．①；②；③；④；⑤；⑥．【方法技巧與總結(jié)】一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．題型二：利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)例4．（2022·山東·淄博職業(yè)學(xué)院高一階段練習(xí)）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是________例5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為_(kāi)_______．例6．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有__________.變式3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則______.變式4．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是________．變式5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)在函數(shù)（且）圖象上，對(duì)于函數(shù)定義域中的任意，，有如下結(jié)論：①；②；③；④.上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【方法技巧與總結(jié)】系數(shù)為1．題型三：求指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式例7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則______．例8．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，則________.例9．（2022·重慶市璧山中學(xué)校高一期中）寫一個(gè)函數(shù)，滿足函數(shù)值域?yàn)開(kāi)______________．（答案不唯一，寫出一個(gè)符合題意的即可）變式6．（2022·福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）已知函數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，有；（2）對(duì)于任意的，且，都有.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足這些條件的函數(shù)____________________________.(寫出一個(gè)即可)變式7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的表達(dá)式為_(kāi)_____．【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型四：指數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例10．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)___________．例11．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若且，則函數(shù)的圖像恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．例12．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)_____________.變式8．（2022·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)高一階段練習(xí)）不論為何值時(shí)，函數(shù)且恒過(guò)定點(diǎn)__________．變式9．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_______．【方法技巧與總結(jié)】令指數(shù)為0求解題型五：指數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題例13．（2022·浙江寧波·高一期中）函數(shù)的圖像（

）A． B．C． D．例14．（2022·山東·青島二中高一期中）若直線與函數(shù)（，且）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則可以是（

）A．2 B． C． D．例15．（2022·山東·青島二中高一期中）已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．變式10．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，變式11．（2022·浙江省淳安中學(xué)高一期中）若函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．變式12．（2022·全國(guó)·高一期末）若函數(shù)的圖象如圖所示，且，則實(shí)數(shù)，的值可能為（

）A．， B．，C．， D．，變式13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知且，，當(dāng)時(shí)均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系可以快速地解答像本題這樣的有關(guān)問(wèn)題，同時(shí)還可以解決有關(guān)不同底的冪的大小比較的問(wèn)題，因此我們必須熟練掌握這一性質(zhì)，這一性質(zhì)可簡(jiǎn)單地記作：在軸的右邊“底大圖高”，在軸的左邊“底大圖低”．題型六：指數(shù)函數(shù)的定義域、值域例16．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值和最小值的和為，則a的值為（

）A． B． C． D．或例17．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________例18．（2022·內(nèi)蒙古·阿拉善盟第一中學(xué)高一期中）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____．變式14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______變式15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____________．變式16．（2022·湖北·武漢市第十五中學(xué)高一期末）函數(shù)（，且）在上的最大值為13，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.變式17．（2022·山東煙臺(tái)·高一期末）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.變式18．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)镸，值域?yàn)?，則M=______．變式19．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則_________．變式20．（2022·內(nèi)蒙古·北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)（文））已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)其中且則函數(shù)的值域是________．變式21．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)在的值域?yàn)開(kāi)_____．變式22．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)不等式對(duì)于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．變式23．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)___.變式24．（2022·河北武強(qiáng)中學(xué)高一期中）函數(shù)的最大值為_(kāi)________．變式25．（2022·陜西渭南·高一期末）方程的解在內(nèi)，則的取值范圍是___________.變式26．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)且的值域是，則實(shí)數(shù)____.【方法技巧與總結(jié)】求值域時(shí)有時(shí)要用到函數(shù)單調(diào)性，求定義域使表達(dá)式有意義．題型七：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例19．（2022·廣西南寧·高一期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減例20．（2022·浙江·溫州市第八高級(jí)中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．例21．（2022·浙江·玉環(huán)市坎門中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式27．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，則是（

）A．奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減 B．偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減C．奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減 D．偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減變式28．（2022·河南·登封市第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．變式29．（2022·安徽省蚌埠第三中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】研究型的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性用復(fù)合法，比用定義法要簡(jiǎn)便些，一般地有：即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性與的單調(diào)性相同；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)與的單調(diào)性相反．題型八：比較指數(shù)冪的大小例22．（2022·河南南陽(yáng)·高一期中）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，，，，則（

）．A． B． C． D．例23．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室高一期末）若，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．例24．（2022·四川德陽(yáng)·高一期末）已知，則以下關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．變式30．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．變式31．（2022·浙江·高一階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí)，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果，若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化成同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)（如0，1等）分別與之比較，從而得出結(jié)果．總之比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成底的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷．題型九：解指數(shù)型不等式例25．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是______.例26．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）不等式的解集為_(kāi)________．例27．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_____．變式32．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.變式33．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）不等式的解集是___________.變式34．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)__________.變式35．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為_(kāi)__________．【方法技巧與總結(jié)】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．題型十：判斷函數(shù)的奇偶性例28．（2022·北京五十五中高一期中）如果函數(shù)是奇函數(shù)，則的值是__________.例29．（2022·浙江省臨安中學(xué)高一期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求在上的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范圍．例30．（2022·江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，(1)求函數(shù)的解析式(2)若，求實(shí)數(shù)的值.變式36．（2022·浙江寧波·高一期中）已知函數(shù)(1)若是奇函數(shù)，求的值；(2)若在上恒成立，求的取值范圍．變式37．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)用定義證明的單調(diào)性．變式38．（2022·湖南·華容縣教育科學(xué)研究室高一期末）已知定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有最小正周期2，且當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(3)當(dāng)取何值時(shí)，方程在上有實(shí)數(shù)解.變式39．（2022·云南昆明·高一期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若時(shí)，函數(shù)的最小值為.求實(shí)數(shù)的值.變式40．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)函數(shù)，若，對(duì)任意的，總存在，使得，求的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】利用奇偶性的性質(zhì)求解．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，則的圖象大致是（

）A． B．C． D．2．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東·福田外國(guó)語(yǔ)高中高三階段練習(xí)）設(shè)，，那么是（

）A．奇函數(shù)且在上是增函數(shù) B．偶函數(shù)且在上是減函數(shù)C．奇函數(shù)且在上是減函數(shù) D．偶函數(shù)且在上是增函數(shù)4．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（，且），若，則（

）A． B． C． D．5．（2022·天津市建華中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江·青田縣船寮綜合高級(jí)中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù)（且），且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在定義域上的增區(qū)間為C．函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) D．函數(shù)解析式為7．（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或二、多選題9．（2022·河南南陽(yáng)·高一期中）已知函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，則（

）．A． B．C．為R上的增函數(shù) D．的解集為10．（2022·黑龍江哈爾濱·高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線y＝2，但又不