2023學(xué)年完整公開(kāi)課版反證法

成才之路·數(shù)學(xué)路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索北師大版·選修1-2推理與證明第三章§4反證法第三章課堂典例探究2課時(shí)作業(yè)3課前自主預(yù)習(xí)1課前自主預(yù)習(xí)1.了解反證法是間接證明的一種基本方法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．2．感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用．1.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類(lèi)證明方法，不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的方法．反證法就是一種常用的__________證明方法．反證法間接2．反證法(1)概念：假定命題結(jié)論的__________成立．在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果與__________、__________、__________矛盾，或與命題中的__________相矛盾，或與假定相矛盾，從而說(shuō)明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立．這樣的證明方法叫作反證法(有時(shí)也叫歸謬法)．(2)形式：由證明p?q轉(zhuǎn)向證明：?q?r?……?t，t與假設(shè)或某個(gè)真命題矛盾，?q為假，推出q為真．反面定義公理定理已知條件3．反證法的證題步驟包括以下三個(gè)步驟：(1)作出否定結(jié)論的假設(shè)(反設(shè))——假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原命題的反面為真；(2)逐步推理，導(dǎo)出矛盾(歸謬)——從假設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；(3)否定假設(shè)，肯定結(jié)論(存真)——由矛盾結(jié)果，斷定假設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立．1.用反證法證明問(wèn)題的本質(zhì)反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法．用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論．也就是說(shuō)，反證法是由證明p?q轉(zhuǎn)向證明?q?r?……?t，t與假設(shè)或與某個(gè)真命題矛盾，?q為假，推出q為真的方法．從邏輯角度看，命題“若p，則q”的否定是“若p，則?q”，由此進(jìn)行推理，如果發(fā)生矛盾，那么“若p，則?q”為假，因此可知“若p，則q”為真．可以看出，反證法與證逆否命題是不同的．由于受“反證法就是證逆否命題”的錯(cuò)誤影響，在否定結(jié)論后的推理過(guò)程中，往往一味尋求與原題設(shè)的矛盾，而不注意尋求其他形式的矛盾，這樣就大大限制和影響了解題思路．歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木．推理必須嚴(yán)謹(jǐn)．導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類(lèi)型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾．2．反證法的適用對(duì)象作為一種間接證明方法，反證法尤其適合證明以下幾類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題：(1)直接證明需分多種情況的；(2)結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類(lèi)命題——否定性命題；(3)關(guān)于唯一性、存在性的命題；(4)結(jié)論以“至多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題；(5)條件與結(jié)論聯(lián)系不夠明顯，直接由條件推結(jié)論的線索不夠清晰，結(jié)論的反面是比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題．1.應(yīng)用反證法證明時(shí)，可作為條件使用的有(

)①結(jié)論的否定，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原命題的結(jié)論．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③[答案]

C2．使用反證法證明三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角時(shí)，正確的假設(shè)是(

)A．三角形中有兩個(gè)內(nèi)角是直角B．三角形中有三個(gè)內(nèi)角是直角C．三角形中至少有兩個(gè)角是直角D．三角形中沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角[答案]

C[解析]

至多有一個(gè)的否定是至少有兩個(gè)．3．(2014·山東理，4)用反證法證明命題“設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(

)A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根[答案]

A[解析]

至少有一個(gè)實(shí)根的否定為：沒(méi)有實(shí)根．課堂典例探究

如圖，AB、CD為圓的兩條相交弦，且不全為直徑．求證：AB、CD不能互相平分．[分析]

本題考查用反證法證明題目的能力，反設(shè)后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出矛盾，結(jié)論得證．用反證法證明結(jié)論為否定的問(wèn)題[證明]

假設(shè)AB、CD互相平分，則四邊形ACBD為平行四邊形．∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD．∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°.∴∠ACB＝90°，∠CAD＝90°.∴對(duì)角線AB、CD均為直徑，與已知矛盾．∴AB、CD不能互相平分．[方法規(guī)律總結(jié)]

應(yīng)用反證法的注意事項(xiàng)1．用反證法證題時(shí)，首先要搞清反證法證題的思路步驟，其次注意反證法是在條件較少、不易入手時(shí)常用的方法．2．注意否定命題時(shí)，要準(zhǔn)確無(wú)誤．3．用反證法證題時(shí)，必須把結(jié)論的否定作為條件使用，否則就不是反證法．有時(shí)在證明命題“若p，則q”的過(guò)程中，雖然否定了結(jié)論q，但是在證明過(guò)程中沒(méi)有把“?q”當(dāng)作條件使用，也推出了矛盾或證得了結(jié)論，那么這種證明過(guò)程不是反證法．4．用反證法證題，最后要產(chǎn)生一個(gè)矛盾命題，常見(jiàn)的主要矛盾有：(1)與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾；(2)與假設(shè)矛盾；(3)與已知條件矛盾；(4)與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾．矛盾是在推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的，不是推理之前設(shè)計(jì)的．平面上有四個(gè)點(diǎn)，沒(méi)有三點(diǎn)共線．證明以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形．[證明]

假設(shè)以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)的四個(gè)三角形都是銳角三角形，記這四個(gè)點(diǎn)為A、B、C、D．考慮△ABC，則有點(diǎn)D在△ABC之內(nèi)或之外兩種情況．(1)如果點(diǎn)D在△ABC之內(nèi)(圖1)，根據(jù)假設(shè)以D為頂點(diǎn)的三個(gè)角都是銳角，其和小于270°，這與一個(gè)圓周角等于360°矛盾．(2)如果點(diǎn)D在△ABC之外(圖2)，根據(jù)假設(shè)∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°，其和小于360°，這和四邊形內(nèi)角之和等于360°矛盾．綜上所述，原結(jié)論成立．[分析]

本題中，含有“至少存在一個(gè)”，可考慮使用反證法．

用反證法證明“至多”、“至少”類(lèi)命題

[方法規(guī)律總結(jié)]

1.當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“沒(méi)有……”、“唯一”等指示性詞語(yǔ)時(shí)，宜用反證法．2．用反證法證題，必須準(zhǔn)確寫(xiě)出命題的否定，把命題所包含的所有可能情形找全，范圍既不縮小，也不擴(kuò)大．常用反設(shè)詞如下：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有對(duì)所有x成立存在某個(gè)x0不成立至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)任意x不成立存在某個(gè)x0成立至少有n個(gè)至多有n－1個(gè)p或q?p且?q至多有n個(gè)至少有n＋1個(gè)p且q?p或?q

求證：方程2x＝3有且只有一個(gè)根．[分析]

本題中“有且只有”含有兩層含義：一層為“有”即存在；另一層為“只有”即唯一性，證明唯一性常用反證法．[證明]

顯然x＝log23是方程的一根，假設(shè)方程2x＝3有兩個(gè)根b1、b2(b1≠b2)．則2b1＝3,2b2＝3.兩式相除，得2b1－b2＝1.用反證法證明存在性、唯一性命題∵b1≠b2，∴b1－b2≠0.如果b1－b2>0，則2b1－b2>1，這與2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，則2b1－b2<1，這與2b1－b2＝1相矛盾．所以假設(shè)不成立．從而2x＝3的根是唯一的．故2x＝3有且只有一個(gè)根．[方法規(guī)律總結(jié)]

1.證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個(gè)”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以宜用反證法證明．2．若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．已知直線m與直線a和b分別交于A、B且a∥b，求證：過(guò)a、b、m有且只有一個(gè)平面．[證明]

∵a∥b，∴過(guò)a、b有一個(gè)平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m?α.即過(guò)a、b、m有一個(gè)平面α假設(shè)過(guò)a、b、m還有一個(gè)平面β異于平面α.則a?α，b?α，a?β，b?β這與a∥b，過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面相矛盾．因此，過(guò)a、b、m有且只有一個(gè)平面．準(zhǔn)確寫(xiě)出反設(shè) 已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0.[錯(cuò)解]

假設(shè)a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0，abc≤0與題設(shè)條件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．∴假設(shè)不成立，∴原命題成立．[辨析]

錯(cuò)解沒(méi)有弄清原題待證的結(jié)論是什么？導(dǎo)致反設(shè)錯(cuò)誤．“求證：a>0，b>0，c>0”的含義是“求證a、b、c三數(shù)都是正數(shù)”，故反設(shè)應(yīng)為“假設(shè)a、b、c中至少有一個(gè)不大于0.”[正解]

假設(shè)a、b