高中數(shù)學(xué)北師大版選修22講義第一章3反證法

§3反_證_法1．問(wèn)題：在今日商品中，廣告成了電視節(jié)目中的一道漂亮的風(fēng)景線，幾乎全部的廣告商都熟諳這樣的命題變換藝術(shù)．如宣揚(yáng)某種食品，其廣告詞為：“擁有的人們都幸福，幸福的人們都擁有〞．該廣告詞實(shí)際說(shuō)明白什么？提示：說(shuō)的是“不擁有的人們不幸福〞．2．正整數(shù)a，b，c滿意a2＋b2＝c2.求證：a，b，c不行能都是奇數(shù)．問(wèn)題1：你能利用綜合法和分析法給出證明嗎？提示：不能．問(wèn)題2：a，b，c不行能都是奇數(shù)的反面是什么？此時(shí)，還滿意條件a2＋b2＝c2嗎？提示：a，b，c都是奇數(shù)．此時(shí)不滿意條件a2＋b2＝c2.1．反證法的定義在證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，假設(shè)推出的結(jié)果與定義、公理、定理相沖突，或與命題中的條件相沖突，或與假定相沖突，從而斷定命題結(jié)論的反面不行能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立，這種證明方法叫作反證法．2．反證法的證題步驟(1)作出否認(rèn)結(jié)論的假設(shè)；(2)進(jìn)行推理，導(dǎo)出沖突；(3)否認(rèn)假設(shè)，確定結(jié)論．1．反證法就是通過(guò)否認(rèn)命題的結(jié)論而導(dǎo)出沖突來(lái)到達(dá)確定命題結(jié)論的目的．2．可能消失沖突的四種狀況：(1)與題設(shè)沖突；(2)與假定沖突；(3)與公理、定理或已被證明白的結(jié)論沖突；(4)在證明過(guò)程中，推出自相沖突的結(jié)論．用反證法證明否(肯)定式命題[例1]三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．[思路點(diǎn)撥]此題為否認(rèn)形式的命題，可選用反證法，證題關(guān)鍵是利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)．[精解詳析]假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，那么eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，即eq\r(a)＝eq\r(c)，從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列沖突，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．[一點(diǎn)通](1)對(duì)于這類“否認(rèn)〞型命題，明顯從正面證明需要證明的狀況太多，不但過(guò)程繁瑣，而且簡(jiǎn)潔遺漏，故可以考慮采納反證法．一般地，當(dāng)題目中含有“不行能〞“都不〞“沒(méi)有〞等否認(rèn)性詞語(yǔ)時(shí)，宜采納反證法證明．(2)反證法證明“確定〞型命題相宜于結(jié)論的反面比原結(jié)論更詳細(xì)更簡(jiǎn)潔討論和把握的命題．1.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，用反證法證明直線BM與直線A1N是兩條異面直線．證明：假設(shè)直線BM與A1N共面．那么A1D1平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方體特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.這與BN∩BC＝B沖突，故假設(shè)不成立．所以直線BM與直線A1N是兩條異面直線．2．直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形OABC不行能為菱形．證明：假設(shè)四邊形OABC為菱形．由于點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝kx＋m))消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，那么eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4km,1＋4k2)，eq\f(y1＋y2,2)＝k·eq\f(x1＋x2,2)＋m＝eq\f(m,1＋4k2)，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，那么Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4km,1＋4k2)，\f(m,1＋4k2)))，由于M為AC和OB的交點(diǎn)，且m≠0，k≠0，所以直線OB的斜率為－eq\f(1,4k).由于k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4k)))≠－1，所以AC與OB不垂直．所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)沖突．所以四邊形OABC不行能是菱形.用反證法證明唯一性命題[例2]求證函數(shù)f(x)＝2x＋1有且只有一個(gè)零點(diǎn)．[思路點(diǎn)撥]一般先證存在性，再用反證法證唯一性．[精解詳析](1)存在性：由于2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0，所以－eq\f(1,2)為函數(shù)f(x)＝2x＋1的零點(diǎn)．所以函數(shù)f(x)＝2x＋1至少存在一個(gè)零點(diǎn)．(2)唯一性：假設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋1除－eq\f(1,2)外還有零點(diǎn)x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0≠－\f(1,2)))，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f(x0)＝0.即2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝2x0＋1，∴x0＝－eq\f(1,2)，這與x0≠－eq\f(1,2)沖突．故假設(shè)不成立，即函數(shù)f(x)＝2x＋1除－eq\f(1,2)外沒(méi)有零點(diǎn)．綜上所述，函數(shù)f(x)＝2x＋1有且只有一個(gè)零點(diǎn)．[一點(diǎn)通](1)結(jié)論以“有且只有〞、“只有一個(gè)〞、“唯一存在〞等形式消失的“唯一〞型命題，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出沖突，所以用反證法證明簡(jiǎn)潔而又明白．(2)“有且只有〞的含義有兩層①存在性：此題中只需找到函數(shù)f(x)＝2x＋1的一個(gè)零點(diǎn)即可．②唯一性：正面直接證明較為困難，故可采納反證法尋求沖突，從而證明原命題的正確性．3．設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)．證明：由于a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(lna)＝(1＋ln2a)elna－a＝aln2a>0，所以f(0)·f(lna)<0，由零點(diǎn)存在性定理可知f(x)在(0，lna)內(nèi)存在零點(diǎn)．假設(shè)至少有2個(gè)零點(diǎn)，那么f(x)在(－∞，＋∞)上不單調(diào)．由得f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，沖突，∴假設(shè)不成立，那么f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)．4．用反證法證明：過(guò)直線a外一點(diǎn)A只有一條直線b與直線a平行．證明：假設(shè)過(guò)點(diǎn)A還有一條直線b′與直線a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.由于b∥a，由平行公理知b′∥b.這與假設(shè)b∩b′＝A沖突，所以過(guò)直線外一點(diǎn)只有一條直線與直線平行.用反證法證明“至多〞或“至少〞類命題[例3]a≥－1，求證三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．[精解詳析]假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，那么三個(gè)方程中：它們的判別式都小于0，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3＜0，,a－12－4a2＜0，,2a2＋4×2a＜0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，?－\f(3,2)＜a＜－1，,－2＜a＜0.))這與a≥－1沖突，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．[一點(diǎn)通](1)對(duì)于否認(rèn)性命題或結(jié)論中消失“至多〞“至少〞“不行能〞等字樣時(shí)，常用反證法．(2)常用的“原結(jié)論詞〞與“反設(shè)詞〞歸納如下表：原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒(méi)有(不存在)至少有兩個(gè)至多有n－1個(gè)至少有n＋1個(gè)5．將本例條件改為三個(gè)方程中至多有2個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：假設(shè)三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3≥0，,a－12－4a2≥0，,2a2＋4×2a≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2＋4a－3≥0，,3a2＋2a－1≤0，,a2＋2a≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤－\f(3,2)或a≥\f(1,2)，,－1≤a≤\f(1,3)，,a≤－2或a≥0.))即a∈?.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為實(shí)數(shù)R.6．a(chǎn)，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證：a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．證明：假設(shè)a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1，∴ac＋bd＋bc＋ad＝1.而ac＋bd＋bc＋ad＞ac＋bd＞1，與上式?jīng)_突，∴假設(shè)不成立，∴a，b，c，d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．用反證法證題要把握三點(diǎn)：(1)必需先否認(rèn)結(jié)論，對(duì)于結(jié)論的反面消失的多種可能，要逐一論證，缺少任何一種可能，證明都是不完全的．(2)反證法必需從否認(rèn)結(jié)論進(jìn)行推理，且必需依據(jù)這一條件進(jìn)行論證，否那么，僅否認(rèn)結(jié)論，不從結(jié)論的反面動(dòng)身進(jìn)行論證，就不是反證法．(3)推導(dǎo)出來(lái)的沖突可能多種多樣，有的與沖突，有的與假設(shè)沖突，有的與定理、公理相沖突，但推導(dǎo)出的沖突必需是明顯的．1．三人同行，一人道：“三人行，必有我?guī)煥暎硪蝗讼氡硎痉磳?duì)，他該怎么說(shuō)？()A．三人行，必?zé)o我?guī)烞．三人行，均為我?guī)烠．三人行，未嘗有我?guī)烡．三人行，至多一人為我?guī)熃馕觯哼xC“必有〞意思為“肯定有〞，其否認(rèn)應(yīng)當(dāng)是“不肯定有〞，應(yīng)選C.2．用反證法證明命題“假設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)〞時(shí)，以下假設(shè)正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至少有兩個(gè)是偶數(shù)解析：選B“a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)〞的反面是“a，b，c都不是偶數(shù)〞，故應(yīng)假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)．應(yīng)選B.3．假設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出以下推斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b與a<b及a＝b中至少有一個(gè)成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立．其中推斷正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C由于a，b，c不全相等，所以①正確；②明顯正確，③中的a≠c，b≠c，a≠b可以同時(shí)成立，所以③錯(cuò)，應(yīng)選C.4．x>0，y>0，z>0，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，那么a，b，c三個(gè)數(shù)()A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2解析：選C假設(shè)a，b，c都小于2，那么a＋b＋ca＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥2＋2＋2＝6，與假設(shè)沖突，所以a，b，c中至少有一個(gè)不小于2.5．用反證法證明命題“假設(shè)a2＋b2＝0，那么a，b全為0(a，b為實(shí)數(shù))〞，其反設(shè)為_(kāi)___________________．解析：“a，b全為0〞即是“a＝0且b＝0〞，因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0〞，即a，b不全為0.答案：a，b不全為06．?dāng)?shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數(shù)，且a＞b)，那么這兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均對(duì)應(yīng)相同的項(xiàng)有________個(gè)．解析：假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在n使得an＝bn，由題意a＞b，n∈N＋，那么恒有an＞bn，從而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.答案：07．假如非零實(shí)數(shù)a，b，c兩兩不相等，且2b＝a＋c，證明：eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)不成立．證明：假設(shè)eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)成立，那么eq\f(2,b)＝eq\f(a＋c,ac)＝eq\f(2b,ac)，故b2＝ac，又b＝eq\f(a＋c,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝ac，即(a－c)2＝0，a＝c.這與a，b，c兩兩不相等沖突．因此eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)不成立．8．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(c)＝0，且當(dāng)0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：eq\f(1,a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；(2)試用反證法證明：eq\f(1,a)>c.證明：(1)∵f(x)的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為x1，x2.∵f(c)＝0，∴c是f(x)＝0的一個(gè)根