第13講函數(shù)的表示方法（解析版）

第13講函數(shù)的表示方法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖象法以及各自的優(yōu)缺點(diǎn).2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).3.通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.4.會(huì)求函數(shù)的解析式.【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的三種表示方法注意三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)表示法定義解析法用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系列表法列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)二分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集分段函數(shù)在書寫時(shí)要用大括號(hào)，把各段函數(shù)合并寫成一個(gè)函數(shù)的形式，并寫出各段的定義域.(1)一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù).(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集.(3)作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：三種表示法的應(yīng)用例1．已知函數(shù)，部分與的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)表格中所給數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果．【詳解】由表知，，則．故選：D．考點(diǎn)二：求函數(shù)解析式例2．根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）利用換元法即可求解；（2）設(shè)，然后結(jié)合待定系數(shù)法即可得解；（3）由題意可得，利用方程組思想即可得出答案.(1)解：令，則，故，所以；(2)解：設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所以?3)解：因?yàn)棰?，所以②，②①得，所?考點(diǎn)三：分段函數(shù)求值問(wèn)題例3．，則=__________．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，代入自變量的值，求得函數(shù)值即可.【詳解】由題知，，則故答案為：9.考點(diǎn)四：分段函數(shù)解不等式問(wèn)題例4．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＜－3，則a的取值范圍是____.【答案】(－∞，－3).【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)a≤－2，－2＜a＜4，a≥4，由f(a)＜－3討論求解.【詳解】當(dāng)a≤－2時(shí)，f(a)＝a＜－3，此時(shí)不等式的解集是(－∞，－3)；當(dāng)－2＜a＜4時(shí)，f(a)＝a＋1＜－3，解得a＜－4，此時(shí)不等式無(wú)解；當(dāng)a≥4時(shí)，f(a)＝3a＜－3，解得a＜－1，此時(shí)不等式無(wú)解.綜上：a的取值范圍是(－∞，－3).故答案為：(－∞，－3)考點(diǎn)五：分段函數(shù)的圖象與應(yīng)用例5．已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值；(3)請(qǐng)?jiān)诮o定的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的值域【解析】(1)因?yàn)樗?2)當(dāng)時(shí)，，不合題意，應(yīng)舍去當(dāng)時(shí)，解之得或（舍）當(dāng)時(shí)，，則綜上，或(3)值域?yàn)椤菊骖}演練】1．下列函數(shù)中，不滿足：的是A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：A中，B中，C中，D中考點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系判斷2．設(shè),若,則A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【詳解】由時(shí)是增函數(shù)可知，若，則，所以，由得，解得，則，故選C.【名師點(diǎn)睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值，首先要確定自變量的范圍，然后選定相應(yīng)關(guān)系式，代入求解；當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍．3．設(shè)函數(shù)則=_____；若，則x的取值范圍是________；【答案】

【解析】【分析】將函數(shù)化為分段函數(shù)，代入自變量求，在各區(qū)間上解不等式，然后取其并集．【詳解】由題設(shè)，，所以，由，若，可得；若，可得；綜上，不等式解集為.故答案為：，.4．已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.5．函數(shù)的定義域是_____.【答案】.【解析】【分析】由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.【詳解】由已知得，即解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?【點(diǎn)睛】求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．6．設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，，則實(shí)數(shù)a=_____，b=______.【答案】－2，1【解析】【詳解】試題分析：，，所以，解得．【考點(diǎn)】函數(shù)解析式.【思路點(diǎn)睛】先計(jì)算，再將展開，進(jìn)而對(duì)照系數(shù)可得含有，的方程組，解方程組可得和的值．7．已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（-1,4）,則a=________．【答案】-2【解析】【詳解】試題分析：由可得.考點(diǎn)：本題主要考查利用函數(shù)解析式求值.8.設(shè)若，則的取值范圍為_____________.【答案】【解析】【詳解】由題意，若，則不合題意，因此，此時(shí)時(shí)，，滿足.【考點(diǎn)】分段函數(shù).9．設(shè)常數(shù)，函數(shù)，若，則.【答案】3【解析】【詳解】由題意，則，所以.【考點(diǎn)】函數(shù)的定義.10．已知函數(shù).（1）求的值；（2）求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入計(jì)算即可；（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數(shù)解析式，得到的具體不等式寫法，解不等式即可.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，則，因?yàn)?，所以，即，解?【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：,當(dāng)，，當(dāng)，，所以，故選：A2．列車從地出發(fā)直達(dá)外的地，途中要經(jīng)過(guò)離地的地，假設(shè)列車勻速前進(jìn)，后從地到達(dá)地，則列車與地距離（單位：與行駛時(shí)間（單位：）的函數(shù)圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】當(dāng)列車到達(dá)地時(shí)，距離，求出列車到達(dá)地的時(shí)間即可得出答案.【詳解】由題可知列車的運(yùn)行速度為，列車到達(dá)地的時(shí)間為，故當(dāng)時(shí)，.故選：C.3．已知函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C．－3 D．－2【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)分段函數(shù)求出，再根據(jù)分段函數(shù)求，即可求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，因此，，故選：B.4．已知，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)，求出，再由求出.【詳解】設(shè)，因?yàn)樗?，又，所以，所?故選：C.5．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a＝（

）A． B． C．2 D．9【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的解析式可得，求解可得答案．【詳解】函數(shù)，，則，即，解可得：.故選：C6．設(shè)函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的不同定義域?qū)?yīng)的函數(shù)解析式，進(jìn)行代入計(jì)算即可.【詳解】，故選：B7．設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出解析式，即得到的解析式，再利用換元法求出的解析式即可.【詳解】因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以，令，則，，所以.故選：B.8．函數(shù)f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是(

)A． B．± C．0或1 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)值為2，分類討論即可.【詳解】若f(x)＝2，①x≤－1時(shí)，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2時(shí)，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2時(shí)，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).綜上，x＝.故選：A.9．設(shè)函數(shù)，則的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，可得出且，化簡(jiǎn)可得出，即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】令，則且，所以，，因此，.故選：B.二、多選題10．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】【分析】令，利用換元法求出的解析式即可求解.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，，故選：BD.三、填空題11．若函數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】通過(guò)換元，令，則，代入原式即可得解.【詳解】令，則，，函數(shù)的解析式為.故答案為：.12．設(shè)函數(shù)滿足，且對(duì)任意，都有，則=_________.【答案】2021【解析】利用賦值法求出的解析式，即可求解.【詳解】令，得，令得，即，所以，所以，故答案為：2021【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是準(zhǔn)確賦值求出的解析式.13．已知函數(shù)若，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】按照分段函數(shù)解析式，分兩種情況分別代入解析式解不等式【詳解】由函數(shù)，可知當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.所以等價(jià)于：或,解得故答案為：四、解答題14．已知函數(shù)．(1)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)f(x)；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象，并寫出函數(shù)f(x)的值域．【答案】(1)(2)作圖見解析，的值域?yàn)椤窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，由此將表示為分段函數(shù)的形式.（2）根據(jù)的解析式畫出