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第=page11頁,共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年廣東省深圳重點(diǎn)中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題(本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))1.已知復(fù)數(shù)z與(z+2)2A.2 B.?2 C.2i 2.在空間中,α,β表示平面,m表示直線,已知α∩β=lA.若m/?/l,則m與α,β都平行 B.若m與α,β都平行,則m/?/l
C.若m與l異面,則m與α,β都相交 D.若m與3.已知a=?2,?1,b=A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要4.已知a=12cA.b<c<a B.b<a5.已知底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積與半徑為1的球的表面積相等,則圓錐的母線長為(
)A.2 B.2 C.226.已知非零向量AB、AC滿足ABAB+ACAA.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰(非等邊)三角形 D.等邊三角形7.如圖,在△ABC中,∠BAC=π3,AD=2DB,P為
A.?3 B.?1312 C.138.若函數(shù)f(x)=cos2x+A.[5π6,4π3) 二、多選題(本大題共4小題,共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)9.已知i為虛數(shù)單位,則以下四個(gè)說法中正確的是(
)A.i10=?1 B.復(fù)數(shù)?2?i的虛部為?i
C.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),則10.設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列說法正確的是A.若BM=23BC,則AM=13AB+23AC
B.若AM=2AC?3AB,則點(diǎn)11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sA.若A=π3,c=1,則a=1
B.若A=π3,c=1,則△ABC的面積為π
12.在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AB=6,BA.最小值為3+10 B.最小值為310
C.最大值為三、填空題(本大題共4小題,共20.0分)13.已知sin(π6+α)14.已知向量a在向量b方向上的投影為?2b,且|b|=3,則a?15.若f(x)=2sin16.已知三棱錐P?ABC的棱長均為4,先在三棱錐P?ABC內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球O1,然后再放入一個(gè)球O2,使得球O2與球O四、解答題(本大題共6小題,共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(本小題10.0分)
在直角梯形ABCD中,已知AB/?/CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,對(duì)角線AC交B18.(本小題12.0分)
已知α,β為銳角,tanα=43,sin(α?β)=?19.(本小題12.0分)
如圖,在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E是DD1上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是CD的中點(diǎn).
(1)20.(本小題12.0分)
記△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且3cosC=2sinAsinB.
21.(本小題12.0分)
已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),其圖象中相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π2,且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線22.(本小題12.0分)
D為△ABC邊AB上一點(diǎn),滿足AD=2,DB=8,記∠ABC=α,∠CAB=β答案和解析1.【答案】C
【解析】【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)純虛數(shù)的概念,以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)已知條件,結(jié)合復(fù)數(shù)純虛數(shù)的概念,以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算,即可求解.【解答】解:設(shè)z=bi(b≠0),
∵(z+2)
2.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了空間中的線線、線面關(guān)系,熟練掌握相關(guān)定理是關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題.
利用線線關(guān)系、線面關(guān)系的定理分別分別選擇.
【解答】
解:對(duì)于A,α∩β=l,m/?/l,則m與α,β可能都平行,也可能在其中一個(gè)平面內(nèi);故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,α∩β=l,若m與α,β都平行,根據(jù)線面平行的性質(zhì)可以判斷m/?/l;故B正確;
對(duì)于C,α∩β=l,若m與l異面,則m與α,β可能都相交,也可能與其中一個(gè)平面平行,與另一個(gè)平面相交;故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D3.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查向量共線及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查充分必要條件的判定方法,是基礎(chǔ)題.
由a與b的夾角為鈍角??2λ?1<0且?2+λ≠0求解λ的范圍得答案.
【解答】
解:∵a=(?2,?1),b=(λ,14.【答案】C
【解析】解:a=12cos4°?32sin4°=cos(60°+4°5.【答案】C
【解析】解:設(shè)圓錐的母線長為l,則S圓錐側(cè)=π×2×l=2πl(wèi),
半徑為1的球的表面積為S球=4π×12=46.【答案】D
【解析】【分析】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算,三角形形狀的判斷,考查了學(xué)生綜合分析能力,屬于基礎(chǔ)題.
先根據(jù)(AB|AB|+【解答】解:∵(AB|AB|+AC|AC|)?BC=0,AB|AB|,A
7.【答案】C
【解析】解:在△ABC中,因?yàn)锳D=2DB,
所以AB=32AD,
所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD,
又因?yàn)镃,P,D三點(diǎn)共線,
所以m+34=1,
即m=8.【答案】B
【解析】解:f(x)=cos2x+sin(2x+π6)=3sin9.【答案】AD【解析】解:對(duì)于A,i10=(i4)2?i2=?1,故A正確,
對(duì)于B,復(fù)數(shù)?2?i的虛部為?1,故B錯(cuò)誤,
對(duì)于C,不妨設(shè)z=3i,
則|z|2=9,z2=?9,故C錯(cuò)誤,
對(duì)于D,設(shè)z=10.【答案】AC【解析】解:A,∵BM=23BC,∴AM?AB=23(AC?AB),∴AM=13AB+23AC,∴A正確,
B,∵AM=2AC?3AB,2+(?3)≠1,∴M,B,C不共線,∴B錯(cuò)誤,
C,若點(diǎn)M是△ABC的重心,則MA=?111.【答案】AC【解析】解:因?yàn)閟inB+sinC=2sinA,
所以b+c=2a,
對(duì)于A,B,若c=1,則b=2a?1,cosA=b2+c2?a22bc=3a2?4a+24a?2=12,解得a=1,
可得△ABC的面積S12.【答案】BD【解析】解:連接A1B,沿CB1將平面BCB1展開到與平面A1CB1在同一個(gè)平面內(nèi),
連接BA1,其長度即為所求,
∵直三棱柱ABC?A1B1C1中,底面為直角三角形,∠ACB=90°,
AB=6,BC=22,∴∠A1B1B=135°,
在△A1B1B中,由余弦定理可得BA113.【答案】?7【解析】【分析】
本題主要考查誘導(dǎo)公式和余弦的二倍角公式,屬于中檔題.
因?yàn)閏os(π3?α)=sin(π6+α)=13,利用二倍角公式求得cos(14.【答案】?18【解析】解:向量a在向量b方向上的投影向量為|a|cosθ?b|b|=?2b,15.【答案】π6【解析】解:因?yàn)閒(x)=2sin(x+φ)?cosx為奇函數(shù),
由奇函數(shù)性質(zhì)可得,f(0)=16.【答案】2π【解析】解:如圖所示:
依題意得S△ABC=12×4×4×sin60°=43,
底面ABC的外接圓半徑為2r1=4sin60°=432=833?r1=433,
點(diǎn)P到平面ABC的距離為d=417.【答案】解:方法一
(1)在梯形ABCD中,因?yàn)锳B/?/CD,AB=2CD,
所以AO=2OC,
∴AM?BD=(AO+OM)?BD=AO?BD+OM?BD=AO?BD
=23AC?BD
=23(AD+DC)?(AD?AB)=23(AD2?DC?AB)
=23(4?2【解析】方法一(1)根據(jù)AB/?/CD,AB=2CD,得到AO=2OC;再把AM?BD轉(zhuǎn)化為=23AC?BD進(jìn)一步整理即可得到結(jié)論;
(2)令A(yù)M=λAB18.【答案】解:(1)因?yàn)閠anα=43,所以cos2α=1?tan2α1+tan2α=?725;
(【解析】(1)利用萬能公式求解;
(2)先求出tan(α19.【答案】解:(1)在正方體ABCD?A1B1C1D1中,DD1/?/平面ABB1A1
所以點(diǎn)E在DD1上運(yùn)動(dòng)時(shí),到平面ABB1A1的距離為4,VB?AB1E=VE?AB1B=13S△AB1B×4=32【解析】(1)在正方體ABCD?A1B1C1D1中,DD1/?/平面ABB1A20.【答案】解:(1)由已知得3cosC=?3cos(A+B)=?3cosAcosB+3sinAsinB=2sinAs【解析】(1)利用兩角和的余弦公式,將已知條件化成tanAtanB=3的形式,然后將結(jié)論也化成tanA,21.【答案】解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的圖象相鄰的對(duì)稱中心之間的距離為π2,
所以T2=π2,即周期T=π,
所以ω=2πT=2,
所以f(x)=2sin(2x+φ),
又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=?π3軸對(duì)稱,
所以2(?π3)+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ+7π6,【解析】(1)根據(jù)條件相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π2
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