數(shù)學(xué)建模中的微分方程模型

數(shù)學(xué)建模中的微分方程模型第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六

在研究實(shí)際問題時(shí)，常常會涉及到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求解微分方程。

求解微分方程有三種方法：1）求精確解；2）求數(shù)值解（近似解）；3）定性理論方法。第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六建立微分方程模型的方法：（1）根據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六（3）模擬近似法在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六觀眾廳地面設(shè)計(jì)1問題的提出在影視廳或報(bào)告廳，經(jīng)常會為前邊觀眾遮擋住自己的視線而苦惱。顯然，場內(nèi)的觀眾都在朝臺上看，如果場內(nèi)地面不做成前低后高的坡度模式，那么前邊觀眾必然會遮擋后面觀眾的視線。試建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)良好的報(bào)告廳地面坡度曲線。第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六o—在臺上的設(shè)計(jì)視點(diǎn)b—第一排觀眾的眼睛到x軸的垂直距離a—第一排觀眾與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離d—相鄰兩排的排距—視線升高標(biāo)準(zhǔn)x—表示任一排與設(shè)計(jì)視點(diǎn)的水平距離求任一排x與設(shè)計(jì)視點(diǎn)o的垂直距離函數(shù)使此曲線滿足視線的無遮擋要求。問題：建立坐標(biāo)系obxyadd第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六2問題的假設(shè)（1）觀眾廳地面的縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面的起伏曲線即可。（2）同一排的座位在同一等高線上。（3）每個(gè)坐在座位上的觀眾的眼睛與地面的距離相等。（4）每個(gè)坐在座位上的觀眾的頭與地面的距離也相等。（5）所求曲線只要使觀眾的視線從緊鄰的前一個(gè)座位的人的頭頂擦過即可。第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六3建模設(shè)眼睛升起曲線應(yīng)滿足微分方程初始條件xobyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點(diǎn)的連線的斜率隨排數(shù)的增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹的。第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六yoC1(x-d,0)C(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABND2）選擇某排和相鄰排，則由知：相似于由得：第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六再計(jì)算相似于得：由于是所以又因第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六4模型求解定義在某個(gè)區(qū)域D上，且微分不等式（比較定理）設(shè)函數(shù)1）在D上滿足存在唯一性定理的條件；2）在D上有不等式則初值問題與的解在它們共同存在區(qū)間上滿足第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六由于令于是第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六所求曲線的近似曲線方程為：折衷法第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六5總結(jié)與討論有時(shí)只需求近似解。方法：利用微分不等式建模；模型討論：obxyadd1）視點(diǎn)移動時(shí)升起曲線如何求得？2）怎樣減少地面的坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯(cuò)位。3）衡量經(jīng)濟(jì)的指標(biāo)？座位盡量多、升起曲線占據(jù)的空間盡量少等。第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六

一古尸年代鑒定問題

在巴基斯坦一個(gè)洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家把它帶到實(shí)驗(yàn)室，作碳14年代測定，分析表明，與的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24%，能否判斷此人生活在多少年前？第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六

年代測定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素，這種放射性碳是由于宇宙射線在高層大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過一系列交換過程進(jìn)入活組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)達(dá)到平衡濃度，這意味著在活體中，的數(shù)量與穩(wěn)定的的數(shù)量成定比，生物體死亡后，交換過程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度減少。背景：第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六則，當(dāng)設(shè)

為死后年數(shù)，時(shí)，即活體中與數(shù)量的比例積分得：當(dāng)時(shí)，求得：此即所求死亡年數(shù)。第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六年代測定的修訂：

1966年，耶魯實(shí)驗(yàn)室的MinzeStuiver和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校的HansE.Suess在一份報(bào)告中指出：在2500到10000年前這段時(shí)間中測得的結(jié)果有差異，其根本原因在于那個(gè)年代，宇宙射線的放射性強(qiáng)度減弱了，偏差的峰值發(fā)生在大約6000年以前。他們提出了一個(gè)很成功的誤差公式，用來校正根據(jù)碳測定出的2300年到6000年前這期間的年代：真正的年代＝第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六

二范.梅格倫（VanMeegren）偽造名畫案

第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放后，荷蘭保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者，發(fā)現(xiàn)一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer的一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過荷蘭的利益，所有的油畫都是自己偽造的，為了證實(shí)這一切，在獄中開始偽造Vermeer的畫《耶穌在學(xué)者中間》。當(dāng)他的工作快完成時(shí)，又獲悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六

為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國際專門小組，采用了當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的科學(xué)方法，動用了X-光線透視等，對顏料成份進(jìn)行分析，終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡。這樣，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑，1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。但是，許多人還是不相信其余的名畫是偽造的，因?yàn)?，Vanmeegren在獄中作的畫實(shí)在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到20年后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了這一問題。第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六原理：著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出：物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)。設(shè)時(shí)刻的原子數(shù)為，則有為物質(zhì)的衰變常數(shù)。初始條件求解得：第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六能測出或算出，只要知道就可算出這正是問題的難處，下面是間接確定的方法。年代。半衰期釙-210鈾-238鐳-226鉛-210討論涉及半衰期的相關(guān)知識：第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六油畫中的放射性物質(zhì)

白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時(shí)，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時(shí)Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六鈾238鐳226鉛210釙210鉛206（放射性）（無放射性）第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六假設(shè)（2）釙的半衰期為138天容易測定，鉛210的半衰期為22年，對要鑒別的300多年的顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙的衰變原子數(shù)與鉛210的衰變原子數(shù)可視為相等。（1）鐳的半衰期為1600年，我們只對17世紀(jì)的油畫感興趣，時(shí)經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變原子數(shù)可視為常數(shù)，用表示。第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六建模設(shè)時(shí)刻每克白鉛中含鉛210的數(shù)