第3課時等比數(shù)列（解析版）

第3課時等比數(shù)列編寫：廖云波【回歸教材】1.等比數(shù)列的有關概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．(2)等比中項：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2.等比數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝a1qn－1.(2)前n項和公式：.3.等比數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.4.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系等比數(shù)列的通項公式還可以改寫為，當且時，是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)型函數(shù)，因此數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一些孤立的點．當或時，是遞增數(shù)列；當或時，是遞減數(shù)列；當時，為常數(shù)列；當時，為擺動數(shù)列，所有的奇數(shù)項（偶數(shù)項）同號，奇數(shù)項與偶數(shù)項異號．【典例講練】題型一等比數(shù)列的基本量【例1-1】在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和q；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)；(2)，，或，；(3)9；(4)±4.【分析】(1)；(2)根據(jù)等比數(shù)列通項公式進行計算即可；(3)；(4)設等比數(shù)列公比為q，根據(jù)已知條件和等比數(shù)列通項公式列出方程組即可求解.(1)等比數(shù)列中，，，；(2)等比數(shù)列中，，，，；當時，，當時，，，或，；(3)等比數(shù)列中，，，，；(4)等比數(shù)列中，設公比為q，∵，，∴，兩式相除并化簡得，，解得或，當時，，，當時，，，綜上，或．【例1-2】已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足，，則（）A．B．9C．D．27【答案】D【分析】利用等比數(shù)列前項和公式，結合，求出該等比數(shù)列的公比，最后利用等比數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】設該等比數(shù)列的公比為，當時，因為，，所以有，所以，當時，，顯然不成立，故選：D歸納總結：【練習1-1】設是公比為的等比數(shù)列，且.則（）A．B．C．8D．11【答案】B【分析】先利用題給條件求得等比數(shù)列的首項，再利用等比數(shù)列前n項和公式去求的值【詳解】是公比為的等比數(shù)列，且.則，解之得，則故選：B【練習1-2】等比數(shù)列的前項和為，若，，則___________.【答案】或【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式和前項和公式，列出方程，求出等比數(shù)列的公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，即可求出結果.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，則，解得或，又，所以或.故答案為：或.題型二等比數(shù)列的性質【例2-1】已知{an}是等比數(shù)列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝（）A．10B．25C．5D．15【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質，由題中條件，可求出.【詳解】因為是等比數(shù)列，，所以，即，因為，所以.故選：C【例2-2】等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)為等比數(shù)列可求的值.【詳解】因為且為等比數(shù)列，故為等比數(shù)列，故，解得，故選：B.歸納總結：【練習2-1】【多選題】在正項等比數(shù)列{an}中，已知，，則（）A．B．C．D．n＝12【答案】BD【分析】由題可得，再由，得到，即可求解.【詳解】設數(shù)列的公比為q，由，可得，又由，所以AC錯誤；因為可得，所以，解得，所以BD正確.故選：BD.【練習2-2】已知等比數(shù)列，，是方程的兩根，則（）A．8B．10C．14D．16【答案】B【分析】根據(jù)韋達定理寫出，再根據(jù)等比數(shù)列的性質即可得到答案【詳解】，是方程的兩根根據(jù)等比數(shù)列的性質有：故選：B題型三等比數(shù)列的最值問題【例3-1】設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結論正確的是（）A．B．C．數(shù)列存在最大值D．是數(shù)列中的最大值【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項都大于，從開始后面所有的項的值都小于且大于.再分析每一個選項即可求解.【詳解】因為是公比為的等比數(shù)列，且，，，所以，，所以，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項都大于，從開始后面所有的項的值都小于且大于.對于A：因為，所以，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：根據(jù)上面的分析，等比數(shù)列中每一項都為正值，所以無最大值，所以數(shù)列無最大值，故C不正確；對于D：因為在等比數(shù)列中，從到的每一項都大于，從開始后面所有的項的值都小于且大于，所以是數(shù)列中的最大值，故D正確.故選：D.歸納總結：【練習3-1】【多選題】等比數(shù)列的公比為，其前項的積為，并且滿足條件，，．給出下列結論其中正確的結論是（）A．B．C．的值是中最大的D．T99的值是Tn中最大的【答案】ABD【分析】運用等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質根據(jù)題目條件逐項分析即得.【詳解】對于A，，，即，，又，又，，且，，故A正確；對于B，，，即，故B正確；對于C，由于，而，故有，故C錯誤；對于D，由題可知，所以當時，，即，當時，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正確.故選：.題型四等比數(shù)列的判定【例4-1】在數(shù)列中，已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，，求的通項公式.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義分析即可.（2）由（1）可得的通項公式，構造求.（1）各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足，得，即所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（2）因為，，所以，由（1）知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，于是，又因為，所以，即.【例4-2】已知數(shù)列滿足，且．(1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證.（2）由（1）可得，根據(jù)分組求和法，結合等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式，即可得答案.（1）因為，所以，所以，即，又，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可得，所以，所以前項和歸納總結：【練習4-1】記是公差不為的等差數(shù)列的前項和，已知，，數(shù)列滿足，且．(1)求的通項公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）設公差為，結合等差數(shù)列通項和求和公式可構造方程組求得，進而得到；（2）由已知遞推關系式可得，由此可得證得數(shù)列為等比數(shù)列；結合等比數(shù)列通項公式推導可得；（3）分別驗證時，不等式成立；當時，采用放縮法可得，依此對不等式進行放縮，結合等比數(shù)列求和公式可證得當時不等式成立，由此可得結論.(1)設等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.(2)由（1）知：，則，由得：，，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，.【完成課時作業(yè)（三十九）】【課時作業(yè)（三十九）】A組礎題鞏固1．正項等比數(shù)列中，，則（）A．1B．C．3D．【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質知：，即可求出答案.【詳解】由等比數(shù)列的性質知：，因為為正項等比數(shù)列，所以.故選：C.2．已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（）A．14B．12C．6D．3【答案】D【分析】設等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.3．等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．24B．12C．24或－12D．－24或12【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質得到方程，求出，再檢驗即可；【詳解】解：因為等比數(shù)列的前n項和為，所以，，成等比數(shù)列，因為，，所以，解得或，因為，所以，則．故選：A4．在等比數(shù)列中，已知前n項和，則a的值為（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】B【分析】利用成等比數(shù)列列方程，化簡求得的值.【詳解】，由于是等比數(shù)列，所以，即.故選：B5．已知數(shù)列滿足，，則的前10項和等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】運用等比數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】由題，，所以，所以是公比的等比數(shù)列，，；故選：C.6．已知等比數(shù)列的前項和為，且公比，，，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得出關于、的值，可求得、的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質可知，因為，則，由已知可得，可得，，則，因此，.故選：B.7．在正項等比數(shù)列中，，則（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定的等式，利用等比數(shù)列的性質計算作答.【詳解】在等比數(shù)列中，，于是得，而，所以.故選：C8．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，成等比數(shù)列，則公比為（）A．B．C．D．1【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質及等比中項可得，進而可得，即得.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，，，∴，∴，解得，∴，即公比為1.故選：D.9．等比數(shù)列中的項，是函數(shù)的極值點，則（）A．3B．C．D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意確定函數(shù)的極值點，進而得到，然后根據(jù)等比中項求得答案.【詳解】由題意，，則時，函數(shù)單調遞增，時，函數(shù)單調遞減，時，函數(shù)單調遞增，于是x=1和x=3是函數(shù)的兩個極值點，故，是的兩個根，所以，所以，又，所以，，設公比為，，所以.故選：D.10．【多選題】已知是數(shù)列的前項和，且，則（）A．數(shù)列為等比數(shù)列B．數(shù)列為等比數(shù)列C．D．【答案】AB【分析】由，分別得到，，然后逐項判斷.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則正確；由，得，又，所以數(shù)列是首項為7，公比為4的等比數(shù)列，則正確；，相減可得，所以，則錯誤；，，則錯誤．故選：AB．11．記等比數(shù)列的前n項和為Sn，若，則的公比為______【答案】-1【分析】先將公比假設為，接著對與1進行討論，分別求出的值即可求出答案【詳解】因為是等比數(shù)列，設的公比為，若時，由可得，整理得，因為，所以即，解得(舍去)或，因為，所以，若時，，，所以舍去，綜上所述，，故答案為：-112．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則.【答案】.【詳解】由得，所以【點睛】等差、等比數(shù)列的性質是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形.在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.13．已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．（1）設數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．14．在數(shù)列中，，其中．(1)設，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前n項和為，試比較與的大?。敬鸢浮?1)證明見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）由已知得，代入給定等式并變形，再利用等比數(shù)列定義判斷作答.（2）利用分組求和法求出，作與的差，構造新數(shù)列并判斷其單調性即可推理作答.(1)，由得：，而，則，整理得，而，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.(2)由（1）知，，于是得，，因此，，令，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，即時，，，當時，，所以，當時，，當時，.B組挑戰(zhàn)自我1．【多選題】已知等比數(shù)列的公比為，且，記的前項和為，前項積為，則下列說法正確的是（）A．當時，遞減B．當時，C．當時，D．當時，【答案】BCD【分析】由，，得到，即可判斷A錯誤；利用等比數(shù)列的通項公式和基本不等式求解，可判定B正確；分類討論與1的大小關系，可判定C正確；分析出的特征，得到，可判定D正確.【詳解】對于A中，因為，，所以，所以遞增，所以A錯誤.對于B中，當時，，當且僅當時等號成立，所以B正確.對于C中，當時，遞增，因為，所以當時，；當時，，所以當或時，最小，所以，故C正確.對于D中，當時，是擺動數(shù)列，偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，遞減，因為，所以當或時，最大，的前2022項中有1011項為正，1011項為負，所以，所以恒成立，所以D正確.故選：BCD.2．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則______，最小值為______．【答案】

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8【分析】根據(jù)等差中項可求出；利用，，成等比數(shù)列，結合基本不等式可得最小值.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，又因為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，所以，，成等比數(shù)列，所以，所以，當且僅當即時取“＝”．故答案為：；.3．規(guī)定摸球試驗規(guī)則如下：盒子中裝有一個白球和兩個紅球，每人有放回地任取一個，摸到白球得1分，摸到紅球得2分．(1)已知有n個人參加了這個摸球試驗，記這n人的合計得分恰為分的概率為，求；(2)已知若干人參加了這個摸球試驗，記這些人的合計得分恰為n分的概率為，證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再利用錯位相減法求解即可.（2）在隨機抽取的若干人的合計得分為分的基礎上再抽取1人，則這些人的合計得分