數學史近代數學的興起

數學史近代數學的興起第一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日教學目標：了解三、四次方程求解方法，理解對數產生背景及思想和映射產生的背景及符合代數的意義，掌握解析幾何產生的原因，熟練掌握射影幾何產生的問題及其意義。教學重點：三、四次方程解法，對數的產生和射影幾何的產生教學難點：對數產生的思想方法近代數學的興起第二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日5.1中世紀的歐洲5.1.1黑暗時代(5-11世紀)從公元5世紀中葉，西羅馬帝國滅亡開始到11世紀這個時期，稱為歐洲的黑暗時代。這一時期,舊的社會秩序已破壞，封建主和基督教會成為歐洲社會的絕對勢力。封建宗教的統治，使一般人篤信天國，追求來世，從而淡漠世俗生活，對自然不感興趣。教會宣揚天啟真理，并擁有解釋這種真理的絕對權威，導致了理性的壓抑，歐洲文明在整個中世紀處于凝滯狀態(tài)。學校教育名存實亡，希臘學問幾乎絕跡，連許多從古代世界流傳下來的藝術和技藝也被忘記了。第三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日5.1.1黑暗時代(5-11世紀)由于羅馬人偏重于實用，而沒有發(fā)展抽象數學，僅僅滿足于數學在商業(yè)和民用工程上的應用。隨著羅馬帝國的衰亡以及由此導致的東西方貿易的中斷、國家工程計劃的撤銷,就連在這方面應用的興趣也減少了.毫不夸大地說,在整個500年的黑暗時代中,整個歐洲除制定教歷外,在數學上沒有什么成就.第四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

在黑暗時代,在數學史上起到重要作用的人,可以勉強地提到的是：博埃齊(A.M.S.Boethius,約480-524,羅馬)他根據希臘材料用拉丁文編寫的著作《幾何學》和《算術》，在好幾百年中一直作為教會學校的標準課本。《幾何學》除了對歐幾里得《原本》第一卷的命題和第三、第四卷的少數幾個命題的陳述，以及一些簡單的測量術外，就再沒有什么東西。第五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

比德(V.Bede,674-735,英國)，中世紀最大的教會學者之一。他的許多著作中有不少是講數學的，其中主要的是關于歷法和指算的論著。熱爾拜爾(Gerbert,約950-1003,法國)，第一個在西班牙穆斯林學校學習的基督教徒。有證據表明，他可能把沒有包含零的印度-阿拉伯數字帶入基督教的歐洲。據說，他做過算盤、地球儀和天球儀、鐘，也許還有手風琴。他在教會中的地位逐步提升，并最后于公元999年被選為教皇。他被認為是一位知識淵博的學者，并且寫了關于占星學、算術和幾何學等著作。第六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日5.1.2翻譯時代(12世紀)直到12世紀,由于受翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激,歐洲數學才開始出現復蘇的跡象.1100年左右，歐洲人通過貿易和旅游，同地中海地區(qū)和近東的阿拉伯人以及東羅馬帝國的拜占庭人發(fā)生了接觸。十字軍為掠奪土地的東征，使歐洲人進入了阿拉伯世界。從此歐洲人從阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希臘以及東方古典學術。古典學術的發(fā)現激起了他們的極大興趣，對這些學術著作的搜求、翻譯和研究最終導致了文藝復興時期歐洲數學的高漲.第七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日阿德拉特(Adelard,約1120)

阿德拉特，翻譯了歐幾里得的《原本》和花拉子米的天文表。阿德拉特是基督教徒，他為獲得阿拉伯學問而冒生命危險的故事是很感人的。據說他為了得到被保守得很嚴密的知識，不惜假裝成伊斯蘭教的學生。第八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日普拉托(Plato,約1120)普拉托(Plato,約1120)，意大利人。他翻譯了巴塔尼的《天文論著》和狄奧多修斯的《球面幾何》以及其他著作。古代學術傳播西歐的路線第九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日偉大的翻譯家杰拉德這個時期最辛苦的翻譯者是偉大的翻譯家杰拉德(Gherardo,約1114-1187)，他把90多部阿拉伯文著作譯成拉丁文，其中包括托勒玫的《大匯編》、歐幾里得的《原本》、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》和阿基米德的《圓的度量》等?？梢哉f，12世紀是歐洲數學的翻譯時代.第十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日翻譯時代(12世紀)

大學：波隆尼亞大學（1088）、巴黎大學（1160）、牛津大學（1167）——搖籃文藝復興運動——資產階級文化的興起斐波那契（1170-1250），著作《算經》（《算盤書》）內容：前七章為十進制整數及分數的計算問題；8—11章涉及商業(yè)計算的比例、利息、等差級數及等比級數，還有賺賠、合股、折扣、復利等應用問題；12、13章為求一次方程的整數解問題；14章是求平方根、立方根的法則；15章是幾何度量及代數問題。斐波那契，是歐洲黑暗時期過后，第一位有影響的數學家。第十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):《算經》(1202)第十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250,意大利).由于父親經商的緣故，還在斐波那契的孩童時代就已經喚起了這個孩子對算術的興趣。后來，他們旅行到埃及、西西里、希臘和敘利亞，他又接觸到東方和阿拉伯的數學實踐。斐波那契完全確信印度—阿拉伯計算方法在使用上的優(yōu)越性。1202年，在他回到家里不久，便發(fā)表了他的著名著作《算經》。第十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日裴波那契數列某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子,假定每對兔子每月生一對小兔,而小兔出生后兩個月就能生育.問從這對兔子開始,一年內能繁殖出多少對兔子?裴波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21，……Un=Un-1+Un-2(n≥3)黃金分割第十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日自然現象中的裴波那契數：向日葵花瓣依兩個相反的螺旋形排列，朝一個螺旋方向生長的花瓣數同朝相反螺旋方向生長的花瓣數，幾乎總等于裴波那契序列中兩個相鄰的數。菠蘿、冬表、球花、牛眼菊和許多植物的花也有類似的情形。一些花的花瓣數構成裴波那契序列中的一串數字。電子學專門設計的電路也能產生裴波那契序列。第十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

植物主莖的側面的葉子（或芽體、枝叉）。在主莖底部附近選定一片葉子，然后沿主莖向上計數葉子，一直數到恰好在選定葉子正上方的一片為止，這個數通常是斐波那契數列中的一項；繞主莖旋轉計數葉片數，并且數到剛才位于上端的那片葉子為止，所得到的數通常是剛才那項前面的鄰項。向日葵的花盤。從盤中心向外輻射出來的螺旋線：順時針方向伸展的螺線數目，與逆時針方向伸展的螺線數目是斐波那契數列的兩個鄰項。事實上，任何菊科植物（如皺菊或翠菊）的花盤都有此特征。第十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日黑死病流行至于14世紀,可以說相對而言，這是數學上的不毛之地。這是黑死病流行的世紀，掃蕩了歐洲三分之一以上的人口；并且使北歐在政治上和經濟上發(fā)生動亂的“百年戰(zhàn)爭”就始于這個世紀。第十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

歐洲數學復蘇的過程十分曲折，從12世紀到15世紀中葉，教會中的經院哲學派利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來阻抗科學的進步。特別是他們把亞里士多德、托勒枚的一些學說奉為絕對正確的教條，企圖用這種新的權威主義來繼續(xù)束縛人們的思想。歐洲數學真正的復蘇，要到15-16世紀。從12世紀到15世紀中葉第十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日5.2向近代數學的過渡三次及以上的方程的根式解問題：巴巧利認為x3+mx=n，x3+n=mx無根式解，就象解化圓為方一樣。費羅（1465-1526）發(fā)現了形如x3+mx=n（m,n>0）的解法。尼古拉·豐丹納（綽號塔塔里亞）（1499-1557），1535年宣布發(fā)現了三次方程的代數解法。第十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日三、四次方程根式求解的成功費羅（1515年）,波倫亞大學的數學教授。

x3+mx=n(m,n>0)塔塔利亞（Tartaglia，即意大利語的“口吃者”。）x3+mx2=n(m,n>0)由于幼年時他在布雷西亞受法軍攻擊時挨了一馬刀,愈后語言遇到障礙

5.2.1代數學第二十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日關于這一發(fā)現的故事大約在1515年,波倫亞大學的數學教授費羅(S.Ferro,1465-1526,意大利)用代數方法解了三次方程。按當時的風氣，學者們是不公開自己的研究成果的，因為這樣可以提高他在資助人眼里的地位。所以，費羅沒有發(fā)表自己的解法，但是，他將自己的解法秘密地透漏給了他的學生費奧(A.M.Fior)。費奧把這一結果看成是他日后成名得利的憑據，以及在解題挑戰(zhàn)賽中向其他數學家們挑戰(zhàn)的資本。第二十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

與此同時,布雷西亞的尼古拉?豐坦那(NiccoloFontana,約1500-1557,意大利)也在研究三次方程的解法。由于幼年時他在布雷西亞受法軍攻擊時挨了一馬刀，愈后語言遇到障礙，人們都稱他為塔塔利亞(Tartaglia)，即意大利語的“口吃者”，并以此聞名于世。1535年，塔塔利亞宣布：他發(fā)現了三次方程的代數解法。費奧認為此項聲明純系欺騙,就向塔塔利亞提出挑戰(zhàn)，要求來一次解三次方程的公開比賽，參賽者要解出對方提出30個三次方程。比賽在米蘭大教堂公開舉行。關于這一發(fā)現的故事第二十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日關于這一發(fā)現的故事結果是,塔塔利亞很快就解出了形如和

兩種類型的所有三次方程。然而，費奧似乎是一位平庸的數學家，他只能求解第一種類型的三次方程，而這還是他的老師告訴他的。費奧自取其辱，塔塔利亞大勝而歸。第二十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日關于這一發(fā)現的故事塔塔利亞勝利的消息傳到了一位不怎么道德的意大利一個教書匠卡爾丹G.Cardano,1501-1576)的耳朵里，他以把塔塔利亞推薦給一位投資者的推薦信為誘餌，說服塔塔利亞把三次方程的解法告訴了他。1539年,他們在米蘭會面時，塔塔利亞逼迫卡爾丹起誓決不泄漏這一秘密。然而，卡爾丹不久就違背諾言，于1545年在德國的紐倫堡發(fā)表了一部關于代數學的拉丁文巨著《大法》，其中就有三次方程的塔塔利亞解法。第二十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日1540年,意大利數學家達科伊(T.DaCoi)向卡爾丹提出了一個導致四次方程的問題，卡爾丹未能解出，最終還是被其才華出眾的弟子費拉里解決?？柕ず芨吲d地將這個解法收入他的著作《大法》。解法的實質是將四次方程化為三次方程求解?，F在看來，說卡爾丹完全是剽竊，顯然有失公正，因為他在書中已注明這個解法是塔氏告訴他的。而且塔氏從沒有給出證明，卡爾丹不僅將塔氏方法推廣到了一般形式的三次方程，而且還補充了幾何證明。關于這一發(fā)現的故事第二十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日卡爾丹（1501-1576）醫(yī)生、數學家、預言家?！洞蠓ā饭剂巳畏匠痰慕夥?。第二十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日《大法》（ArsMagna）p,q>0

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卡爾丹公式：第二十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日卡爾丹公式

《大法》所載三次方程的解法，實質上是考慮恒等式若選取a和b，使由上式不難解出a和b：于是得到就是所求的x.第二十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日2.四次方程求解費拉里（1522-1565），卡爾丹的學生，獲得解一般四次方程的解法。x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通過配方、因式分解后，降為三次方程。第二十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日關于這一發(fā)現的故事塔塔利亞被這一背信棄義的行為激怒。為了尋求報復,他在一本書中講了自己的故事。塔塔利亞的強烈抗議遭到卡爾丹的最有能力的學生費拉里(L.Ferrari,1522-1565,意大利)的反擊。在長時間的交鋒中，費拉里始終站在老師一邊。他說卡爾丹曾通過第三者(費羅的養(yǎng)子)從費羅那里得知此法，反而控告塔塔利亞剽竊費羅的成果。1548年,塔塔利亞從威尼斯一個很低的算術教師的職位突然升到了布雷希亞的講師的職位。他向費拉里提出挑戰(zhàn)，認為這樣能給他帶來更大的榮譽并且能夠復仇。但是他太低估了對手的實力，兩人在比賽結束之前不歡而散。這對塔塔利亞產生了不利影響，布雷西亞的權威們后來拒絕付給他薪水，他只好回到威尼斯教他的課。至此，一場鬧劇終于收場。讓人同情的塔塔利亞……“反客為主法”第三十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日卡爾丹卡爾丹是數學史上具有異常性格的人物之一。他出身貧寒，并一直在尋找可靠的支持者，后來功成名就并積累了一點財產。他的職業(yè)生活是多變的：當醫(yī)生，搞業(yè)余研究，當教授，寫數學書。他一度遠到蘇格蘭旅行，回到意大利后，相繼主持帕維亞和波倫亞大學的重要講座。因為他發(fā)表了基督命運的星占，以邪說罪被監(jiān)禁了一個時期。他辭去波倫亞的講座,遷到羅馬,成為杰出的占星學家，并以教皇宮廷的占星學家接受年薪。傳說他于1576年自殺于羅馬，為的是使他對自己的死期的預卜得以實現。關于他的壞脾氣有許多傳說，例如，一次大怒，他割掉了小兒子的耳朵。當然，有些傳說，可能是他的仇人有意夸大，結果被過分地惡意中傷。問題：中國古代的數學家中，有類似性格的嗎?第三十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日卡爾丹卡爾丹是那個時代最有才華、多才多藝的人物之一。他是數學家、物理學家、天文學家、賭徒和異教徒。他寫了許多關于算術、天文學、物理學和其他學科的著作。他的最大著作是《大法》---一部專講代數的巨著。其中采用了方程的負根，并講到虛數的計算?？柕ぷ鳛橐粋€積習很深的賭徒，寫了一本賭徒手冊，其中討論到一些有趣的概率問題，這使他成為早期的概率論的研究者。第三十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日關于四次方程的解法，以后韋達和笛卡爾都作過研究，并取得成果，由此引發(fā)探求五次方程根式解的嘗試，經拉格朗日、阿貝爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般的五次及以上方程無根式解，伽羅瓦在此基礎上創(chuàng)造了群論，將代數研究推向縱深。第三十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日數學符號體系與代數運算

韋達(F.Vieta):《分析引論》(1591)近代數學的開始最重大的事莫過于符號代數的引進。韋達是第一個有意識地、系統地使用字母。韋達1540年出生于法國的豐特內.他是一位律師和議員,但把絕大部分閑暇時間都獻給了他熱愛著的數學。關于韋達，有很多軼聞趣事。第三十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

韋達（1540-1603），法國數學家，創(chuàng)立符號代數；發(fā)現根與系數的關系。第三十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

弗朗索瓦·韋達（1540年－1603年12月13日），法國數學家，十六世紀最有影響的數學家之一，被尊稱為“代數學之父”。他是第一個引進系統的代數符號，并對方程論做了改進的數學家。由于韋達做出了許多重要貢獻，成為十六世紀法國最杰出的數學家之一。

第三十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日《分析引論》

韋達1540年生于法國的普瓦圖。1603年12月13日卒于巴黎。年輕時學習法律并當過律師。后從事政治活動，當過議會的議員。在對西班牙的戰(zhàn)爭中，曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現了方程根與系數之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”）。第三十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日韋達定理如果方程的根是，那么問題：該定理如何證明呢？第三十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日5.2.2三角學三角學1450年以前的三角主要是球面三角，直到1450年平面三角學才在測量的基礎上發(fā)展起來。原因是由于受航海，歷法推算和天文觀測的需要。第三十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日雷格蒙塔努斯

雷格蒙塔努斯1464年，《論各種三角形》使三角學最終脫離天文學，而成為一門獨立的數學學科，并將平面三角和球面三角分離開來。這部著作主要從納西爾·丁的著作中得到啟發(fā)，全書共5卷，前2卷是平面三角，后3卷是講球面三角。書中采用印度人的正弦，用到余弦，給出了球面三角的正弦定理和關于邊的余弦定理。第四十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

球面三角的正弦定理球面三角的余弦定理第四十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日雷提庫斯哥白尼的學生雷提庫斯(G.J.Rhaeticus,1514-1576)將傳統的弧與弦的關系，改進為角的三角函數關系，并采用了六個函數(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，他是將三角函數定義為直角三角形的邊與邊之比的第一人。他還雇人花了十二年功夫編制了兩個著名的、至今尚有用的三角函數表。由于雷提庫斯的強求，哥白尼臨死之前戲劇性地發(fā)表了他的關于宇宙理論的巨著。第四十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日韋達關于三角的著作有《標準數學》和《斜截面》，將三角學進一步地發(fā)展，系統化三角學。他把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起。他自已得到的正切公式為第四十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日5.2.3從透視學到射影幾何布努雷契(F.Brunelleschi,1377-1446，意大利)第一個認真研究透視法并試圖運用幾何方法進行繪畫的藝術家。數學透視法的天才阿爾貝蒂(L.B.Alberti,1404-1472)的《論繪畫》(1511)一書,則是早期數學透視法的代表作。第四十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日由于繪畫、制圖中提出的問題的刺激，而導致了富有文藝復興特色的學科——透視學的興起。第四十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

第四十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

第四十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日英國畫家柯爾比《泰勒博士透視方法淺說》(1754)卷首插圖第四十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日出發(fā)點透視畫的天才阿爾貝蒂提出一個很重要的問題：如果眼睛和景物之間插立一張直立的玻璃屏板，設想光線從眼睛出發(fā)射在景物上，那么這些光線形成投影錐，投影錐經過屏板上的點便形成截景，截景給眼睛的印象和物景本身一樣。如果在眼睛與物景之間再插另一張屏板，那么兩個截景都傳達原來的形象，但它們具有何數學關系？（見后面示意圖）第四十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

眼物景截景第五十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日德沙格的工作德沙格（1591-1661），原是法國陸軍軍官,后來成為建筑師和工程師,靠自學成名。德沙格發(fā)表了—本關于圓維曲線的很有獨創(chuàng)性的小冊子《試論錐面截一平面所得結果的初稿》，從開普勒的連續(xù)性原理開始，導出了許多關于對合、調和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理。1、兩投影三角形對應邊交點共線，反之，對應邊共點的兩三角形，對應頂點的連線共點（德沙格定理）第五十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

2、交比在投影下的不變性：(見P134的定義）3、對合、調合點組關系不變性：對任一直線上的定點O，稱直線上的兩對點A，B和A’，B’是對合的，如果成立：OA·OB=OA’·OB’德沙格的工作第五十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

任一不過頂點的直線遭到圓錐曲線以及完全四邊形相交的點具有對合關系ACBDGEHFA，B；C，D；E，F；G，H是四組點對合德沙格的工作第五十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

3、對合、調合點組投射關系不變性調合點組：有一點E，若使OA·OB=OE2則稱E為二重點，另還有一個二重點F，O是EF的中點，稱點A，B；E，F是調合點組。德沙格的工作第五十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

4、極帶極帶德沙格的工作第五十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日帕斯卡（1623－1662）法國數學家、物理學家、思想家。

生於克萊蒙費朗，早逝於巴黎。父親是數學家、“梅森學會”成員，對他的早期教育影響很大。他自幼聰穎，求知欲極強，12歲始學幾何，即通讀歐幾里得（Euclid）的《幾何原本》（Elements）并掌握了它。16歲時發(fā)現著名的帕斯卡六邊形定理：內接於一個二次曲缐的六邊形的三雙對邊的交點共線。據說他後來由此推出400多條推論。17歲時寫成《圓錐曲缐論》，是研究德札爾格（GirardDesargues）射影幾何工作心得的論文，包括上述定理。第五十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日帕斯卡六邊形定理：內接於一個二次曲缐的六邊形的三雙對邊的交點共線。

將“二次曲線”換成圓，你會證明嗎？第五十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日第五十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日帕斯卡（符號Pa）是國際單位制(SI)的壓力或壓強單位。在不致混淆的情況下，可簡稱帕。它等于一牛頓每平方米。以法國數學家、物理學家兼哲學家布萊士·帕斯卡命名。第五十九頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

與此同時，笛卡兒的代數幾何取得了巨大的成功。笛卡兒認為如果把德沙格的研究用代數語言來表示，那么他的研究會更容易理解。后來，笛卡兒承認，他的代數幾何與德沙格的研究可能只是風格上有所不同，但在內容上并沒有什么區(qū)別。但是，數學家們正忙于研究數學的其他方向，德沙格的工作逐漸被遺忘。他的射影幾何和畫法幾何都是到了19世紀初才重新被建立在健全的數學基礎之上的。笛卡爾的貢獻，見5.3.第六十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日5.2.4計算技術與對數16世紀前半葉,歐洲把實用的算術計算放在數學的首位。工程技術上的應用、實踐上的需要，地理探險與海洋貿易需要更為準確的天文知識，以精確觀測為基礎的新天文學，也需要精密的天文數表,特別是三角函數表；日益發(fā)展起來的銀行業(yè)務和商務活動也需要更好的計算技術,所有這些都對計算技術的改進提出了前所未有的要求。第六十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日對數對數的創(chuàng)始人是蘇格蘭數學家納皮爾（Napier，1550年~1617年）。他發(fā)明了供天文計算作參考的對數，并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數定律說明書》，公布了他的發(fā)明。恩格斯把對數的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分的建立并稱為17世紀數學的三大成就。1)已知a,b,求N乘方運算

2)已知b,N,求a開方運算

3)已知a,N,求b對數運算“對數”(logarithm)一詞源自於希臘，表示思想的文字或記號，也可作“計算”或“比率”。由於16世紀的天文星象的觀測、航海、測量、地圖的繪製等，需要大量且龐雜的數字乘除開方運算，這種化乘除為加減的運算工具，即為對數。第六十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日故事過去，有個商人向財主借錢，財主的條件是每借1元，一年后利息是1元，即連本帶利還2元，年利率100%。利息好多喔！財主好高興。財主想，半年的利率為50%，利息是1.5元，一年后還1.52=2.25元。半年結一次帳，利息比原來要多。財主又想，如果一年結3次，4次，……，365次，……，豈不發(fā)財了？真的是這樣嗎？大家覺得呢？第六十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

他以為，結帳次數越多，利息也就增長得越快。財主根本不知道，的值是隨n的增大而增大，但增加的數額極其緩慢；并且，不管結算多少次，連本帶利的總和不可能突破一個上限。數學家歐拉把極限記作e，e=2.71828…，即自然對數的底。第六十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日對數的發(fā)明和應用它的產生主要是由于天文、航海方面所遇到的繁雜數值計算,自然希望將乘除法歸結為簡單的加減法,這種設想受到人們熟知的三角公式(積化和差):的啟示,或許還受到德國數學家斯蒂弗爾(M.stifle,約1487-1567)在他的《綜合算術》(1554)中所發(fā)現的幾何級數

與其指數所構成的算術級數0,1,2,3,…之間對應關系及運算性質的啟示(把冪函數的乘法化成了其指數的加法)。第六十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日5.2.4計算技術與對數納皮爾（1550-1617），利用兩種不同的運動之間的關系，建立了“對數”關系。稱為納皮爾對數。布里格斯（1561-1631），建立了以10為底的常用對數，制出第一張常用對數表。岡特（1581-1626），算出三角函數的常用對數表。比爾吉（1552-1632），也獨立發(fā)明了對數。穆尼閣（1611-1656），把對數傳入中國第六十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日第六十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日納皮爾布里格斯第六十八頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日對數的創(chuàng)造者：納皮爾納皮爾是蘇格蘭貴族數學家。納皮爾1550年生于蘇格蘭首府愛丁堡，他從小喜歡數學和科學，并以其天才的四個成果被載入數學史。拉普拉斯認為:對數的發(fā)現“以其節(jié)省勞力而延長了天文學家的壽命?！钡诹彭摚舶耸?，編輯于2023年，星期日一個點P沿直線AB(長度為單位)的運動,其速度在每一點P處正比于剩余距離PB=y;再假定另一個點Q沿無窮直線CD勻速運動,其速度等于P點在A處的速度,CQ=x;令P與Q同時分別從A、C出發(fā),那么定義x是y的對數.

《奇妙的對數定理說明書》第七十頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

1615年，布里格斯向納皮爾建議取10作為底數，從而編制“常用對數表”。另一個獨立創(chuàng)造“對數”是瑞士的儀器工匠比爾吉，他是開普勒的一名助手，但其影響很小。第七十一頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日評價偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辨證法》中，曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分，共同稱為十七世紀的三大數學發(fā)明。第七十二頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日納皮爾的故事一次，他宣稱他的黑毛公雞能為他證實，他的哪一個仆人偷了他的東西。仆人們被一個接一個地派進暗室，要他們拍公雞的背。仆人們不知道納皮爾用煙灰涂黑了公雞的背。自覺有罪的那個仆人怕碰著那個公雞，所以回來時，手是干凈的！第七十三頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日據說，納皮爾的鄰居喜歡養(yǎng)鴿子，這些鴿子會跑到納皮爾家中偷食，他因此極不高興，向鄰居發(fā)出警告，可鄰居也是一位大貴族，我行我素，認為他的鴿子是不可能被捉住的，就告訴納皮爾，隨便捉好了！

第二天，鄰居發(fā)現自己家的鴿子全躺在納皮爾家的草坪上，原來，納皮爾一怒之下，用烈酒泡了一些糧食撒給鴿子吃，結果鴿子全醉倒了納皮爾的故事第七十四頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日三、解析幾何的誕生

16世紀，機械的廣泛運用，建筑業(yè)的興起，造船業(yè)的發(fā)展，顯微鏡、望遠鏡的使用，要求數學確定各種復雜的曲線、曲面。航海業(yè)向天文學和數學提出精確測定經緯度要求，槍炮制造要求研究拋射體軌跡，這些都需有一種新思想、新方法來解決問題，這是解析幾何產生的外部原因第七十五頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日第七十六頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日第七十七頁，共八十六頁，編輯于2023年，星期日

其次，代數學的充分發(fā)展，使過去依賴幾何方法解決代數問題的局面被打破，反過來利用代數方法研究幾何的思想已成熟，這是內部原因。第三，形數結合思想歷來有之，古希臘阿波羅尼奧斯研究圓錐曲線時，偶爾引用正交直線來顯示一種“坐標”，依巴谷在天文、地理的研究中曾明確指出一點的位置由經緯度來決定.到14世紀,奧雷斯姆(1323-1382)在其書中直接陳述過一種“坐標”幾何。格塔拉底(1566-1627)繼承韋達用代數研究幾何的思想，寫成《阿波羅尼奧斯著作的現代闡釋》，對幾何問題的代數解法作了系統的研究。