直線與平面垂直的判定(高中數(shù)學(xué)人教版必修二)

2.3.1直線與平面垂直的判定

2021/5/91

生活中有很多直線與平面垂直的實例，你能舉出幾個嗎？實例引入旗桿與底面垂直2021/5/92橋柱與水面的位置關(guān)系，給人以直線與平面垂直的形象.2021/5/93思考1.陽光下直立于地面的旗桿及它在地面的影子有何位置關(guān)系.ABα1.旗桿所在的直線始終與影子所在的直線垂直.2021/5/942021/5/95請同學(xué)們準備一塊三角形的紙片，我們一起來做如圖所示的試驗：過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌上（BD、DC與桌面接觸）.ABCD2021/5/96思考3

(1)折痕AD與桌面垂直嗎？(2)如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面垂直？當折痕AD⊥BC時,折痕AD與桌面所在平面垂直.2021/5/97BDCABD,CD都在桌面內(nèi)，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直線AD所在的直線與桌面垂直mnP2021/5/98

如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作．平面的垂線直線l的垂面垂足定義直線與平面垂直2021/5/99對定義的認識①“任何”表示所有.②直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況，在垂直時，直線與平面的交點叫做垂足.③

等價于對任意的直線，都有利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì).2021/5/910問題直線與平面垂直

除定義外，如何判斷一條直線與平面垂直呢？2021/5/911判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．作用：判定直線與平面垂直．直線與平面垂直判定定理簡記為：線線垂直線面垂直“平面內(nèi)”，“相交”，“垂直”三個條件必不可少2021/5/912

如圖，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，？

底面四邊形對角線相互垂直．探究隨堂練習(xí)2021/5/913線面垂直判定定理的應(yīng)用

例1：已知：如圖1，空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中點E，連接AE、DE，求證：BC⊥平面AED.圖1

證明：∵AB＝AC，DB＝DC，E為BC中點， ∴AE⊥BC，DE⊥BC.

又∵AE與DE交于E，∴BC⊥平面AED.

由判定定理可知要證明直線垂直平面，只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩條相交直線垂直即可．2021/5/914例2:如圖，點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，O是對角線AC與BD的交點，且PA=PC,PB=PD.求證：PO⊥平面ABCDCABDOP

=ABCDPOOBDAC平面又^\IQBDPOBDOPDPB的中點是點又^\=Q,ACPOACOPCPA的中點是點證明^\=Q,2021/5/915PABCO3.如圖，圓O所在一平面為，AB是圓O的直徑，C在圓周上,且PAAC,PAAB,求證：（1）PABC

（2）BC平面PAC2021/5/916證明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC?⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O直徑，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

例3：如圖6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB為⊙O直徑，C是圓周上任一點，過A作AE⊥PC于E， 求證：AE⊥平面PBC.

圖62021/5/917

例1

如圖，已知，求證根據(jù)直線與平面垂直的定義知又因為所以又是兩條相交直線，所以證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m，n．因為直線，典型例題即：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面A2021/5/918VABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV-求證:VB⊥AC.中，在三棱錐1.如圖，練習(xí)：提示：找AC中點D,連接VD,BD2021/5/919中外垂2021/5/9204－1.P為△ABC所在平面外一點，O為P在平面ABC上的射影．(1)若PA＝PB＝PC，則O是△ABC的_____；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，則O是△ABC的_____；(3)若P到△ABC三邊的距離相等，且O在△ABC內(nèi)部，則O是△ABC的______；(4)若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是△ABC的_____．外心垂心內(nèi)心垂心2021/5/921

解析：(1)如圖23，∵PO⊥平面ABC， ∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分別是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△

ABC的外心．圖23圖24(2)如圖24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可證AC⊥OB，∴O是△

ABC的垂心．故填垂心．2021/5/922(3)如圖25，圖25P到△

ABC三邊的距離分別是PD、PE、PF，則PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上的射影分別是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△

ABC的內(nèi)心，故填內(nèi)心．2021/5/923∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上的射影．又∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.∴OA⊥BC.同理可證OB⊥AC.∴O是△

ABC的垂心．故填垂心．(4)如圖26，圖262021/5/924直線與平面垂直的性質(zhì)定理的簡單應(yīng)用例1：如圖

，在四面體P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求證：PC⊥AB.PABC2021/5/925思維突破：要證線線垂直，可先證線面垂直，進而由線面垂直的定義得出線線垂直．證明：過P作PH⊥平面ABC，垂足為H，連接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH?平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H為△ABC的垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC?平面PCH，∴PC⊥AB.點評：從本例可以進一步體會線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解(證)題中的作用．2021/5/9261.已知：正方體中，AC是面對角線，BD′是與AC異面的體對角線.求證：AC⊥BD′ABDCA′B′CD′′2021/5/927∵正方體ABCD-A′B′C′D′∴DD′⊥正方形ABCD證明：連接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD為對角線∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′?面D′DB∴AC⊥BD′2021/5/928(1)自一點P向平面α引垂線，垂足P/叫做點P在平面α內(nèi)的正射影(射影)(2)點P與垂足P/間的線段叫點P到平面α的垂線段(3)如果圖形F上的所有點在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖形F/，則F/叫做圖形F在這個平面內(nèi)的射影幾個概念2021/5/929aAPoα

一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫斜足，斜線上一點和斜足間的線段叫這點到這個平面的斜線段．

平面外一點到這個平面的垂線段有且只有一條，而這點到這個平面的斜線段有無數(shù)條斜線與斜線段2021/5/930

從斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫斜線在這個平面內(nèi)的射影．垂足和斜足間的線段叫這點到平面的斜線段在這個平面上的射影斜線在平面內(nèi)的射影2021/5/931

平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的夾角，叫做斜線和平面所成的角

(或斜線和平面的夾角).簡稱線面角斜線和平面所成的角2021/5/932斜線和平面所成的角1、直線和平面垂直<＝>直線和平面所成的角是直角直線和平面平行或在平面內(nèi)<＝>直線和平面所成的角是0°2、直線與平面所成的角θ的取值范圍是：___________斜線與平面所成的角θ的取值范圍是：______________2021/5/933OPAα斜線斜足線面所成角（銳角∠PAO）射影關(guān)鍵：過斜線上一點作平面的垂線線面所成的角2021/5/9341.如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1與面ABCD所成的角（2）A1C1與面BB1D1D所成的角（3）A1C1與面BB1C1C所成的角（4）A1C1與面ABC1D1所成的角A1D1C1B1ADCB45o2021/5/935典型例題例2、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角O2021/5/9362021/5/937例2：如圖

4，在正方體ABCD－A1B1C1D1

中，求A1B與平面A1B1CD所成的角．圖4解：連接BC1交B1C于O，連接A1O，在正方體ABCD－A1B1C1D1

中各個面為正方形，設(shè)其棱長為a.2021/5/938?A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影?∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．?A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.2021/5/939

求直線和平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是：(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系．(2)當直線和平面斜交時，常有以下步驟：①作——作出或找到斜線與射影所成的角；②證——論證所作或找到的角為所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④結(jié)論——說明斜線和平面所成的角值．2021/5/940圖5

2－1.如圖5，在長方體ABCD－A1B1C1D1

中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1

與平面A1B1C1D1

所成角的正弦值為(

)2021/5/941A2－2.若斜線段AB是它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，則AB與α所成的角為()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D

解析：如圖22，連接A1C1

，則∠AC1A1

為AC1

與平面A1B1C1D1

所成角．圖222021/5/9421．直線與平面垂直的概念（1）利用定義；（2）利用判定定理．3．數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想空間問題平面問