流體運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

流體運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日

在流體靜力學(xué)中，我們討論了流體處于平衡狀態(tài)下的一些力學(xué)規(guī)律，如壓力分布規(guī)律，及流體對(duì)固體壁的作用力等。但實(shí)際上，流體的靜止總是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)才是絕對(duì)的。流體最基本的特性就是它的流動(dòng)性，因此，進(jìn)一步研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律便更為重要。

流體運(yùn)動(dòng)學(xué)主要是研究運(yùn)動(dòng)參數(shù)（速度、加速度等）隨空間位置和時(shí)間的變化規(guī)律。第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日流場

——

充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間稱為流場

流體只能在固體壁面所限制的空間內(nèi)外進(jìn)行運(yùn)動(dòng)；流場中流體質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)性決定表征流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和物性的參數(shù)（速度、加速度、壓強(qiáng)、密度等）在流場中也是連續(xù)的。并且隨時(shí)間和空間而變化。連續(xù)介質(zhì)模型的引入，使我們可以把流體看作為由無數(shù)個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)所組成的連續(xù)介質(zhì)，并且無間隙地充滿它所占據(jù)的空間。描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日

假如你是一名籃球教練，防守中該如何掌控整個(gè)籃球場？

二.描述流體運(yùn)動(dòng)的方法盯人戰(zhàn)術(shù)

聯(lián)防戰(zhàn)術(shù)

用五名己方球員分別對(duì)對(duì)方球員進(jìn)行一對(duì)一的跟蹤防守。用己方五名球員對(duì)防守半場進(jìn)行分區(qū)監(jiān)管，一人負(fù)責(zé)一片區(qū)域的防守。布哨跟蹤？？？請(qǐng)問如何獲取某對(duì)方球員的行蹤？第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程著眼于空間點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性布哨跟蹤根據(jù)著眼點(diǎn)的不同，流體力學(xué)中研究流體的運(yùn)動(dòng)也有兩種不同的方法，一種是拉格朗日（Lagrange）方法，另一種是歐拉（Euler）方法。第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日拉格朗日法著眼于流體質(zhì)點(diǎn)跟蹤個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)研究其位移、速度、加速度等隨時(shí)間的變化情況綜合流場中所有流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)流場分布又稱隨體法第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日跟蹤個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)質(zhì)點(diǎn)從(a,b,c)運(yùn)動(dòng)到（x,y,z）t0時(shí)刻:t時(shí)刻:流場中全部質(zhì)點(diǎn)都包含在（a,b,c）的變數(shù)中(a,b,c)

是拉格朗日變數(shù)，即

t=t0

時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用來對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)簽。第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)（a,b,c）變化時(shí)，這就表示全部質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的位置變動(dòng)函數(shù)。當(dāng)t變化時(shí)，便是質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）運(yùn)動(dòng)軌道的參數(shù)方程

自變量（a,b,c,t）稱為拉格朗日變數(shù)流體在運(yùn)動(dòng)過程中其它運(yùn)動(dòng)要素和物理量的時(shí)間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：注意：第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日在使用拉格朗日法時(shí)必須找到x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);z(a,b,c,t)等的函數(shù)形式，即跟蹤每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行研究。由于流體具有易流動(dòng)性，對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行跟蹤是十分困難的。因此，除了在一些特殊情況（波浪運(yùn)動(dòng)。水滴等的運(yùn)動(dòng)時(shí)），很少采用拉格朗日法。拉格朗日法的缺陷第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日歐拉法著眼于研究空間固定點(diǎn)的情況選定某一空間固定點(diǎn)記錄其位移、速度、加速度等隨時(shí)間的變化情況綜合流場中許多空間點(diǎn)隨時(shí)間的變化情況通過描述物理量在空間的分布來研究流體運(yùn)動(dòng)的方法。

流場分布第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日分析流動(dòng)空間某固定位置處，流體運(yùn)動(dòng)要素（速度、加速度）隨時(shí)間變化規(guī)律分析流體質(zhì)點(diǎn)從某一空間位置轉(zhuǎn)移到另一位置，運(yùn)動(dòng)要素隨位置變化的規(guī)律歐拉法并沒有直接給定流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻經(jīng)過空間不同點(diǎn)不同時(shí)刻不同的流體質(zhì)點(diǎn)通過空間某一點(diǎn)注意：第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日歐拉法是流場法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量場為：(x,y,z)

是空間點(diǎn)（場點(diǎn)）。流速V是在t

時(shí)刻占據(jù)(x,y,z)

的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量。流體的其它運(yùn)動(dòng)要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時(shí)間和空間域上的場的形式表達(dá)。如加速度場、壓力場等：第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日

歐拉法把流場的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場的形式表達(dá)，為在分析流體力學(xué)問題時(shí)直接運(yùn)用場論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條件。采用歐拉法，加速度是一階導(dǎo)數(shù)，而拉格朗日法，加速度是二階導(dǎo)數(shù)（見下文），所得的運(yùn)動(dòng)微分方程分別是一階偏微分方程和二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上一階偏微分方程比二階偏微分方程求解容易。在工程實(shí)際中，并不關(guān)心每一質(zhì)點(diǎn)的來龍去脈。歐拉法在流體力學(xué)研究中廣泛被采用。兩種描述流體運(yùn)動(dòng)的方法之間可以相互轉(zhuǎn)換。第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日定常流和非定常流若流場中各空間點(diǎn)上的任何運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，稱流動(dòng)為定常（恒定）流。否則，為非定常（非恒定）流。恒定流中，所有物理量的歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間，它們只是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，時(shí)變導(dǎo)數(shù)為零。例如，恒定流的流速場：恒定流的局部加速度為零，但位變加速度可以不為零。第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日流動(dòng)是否恒定與所選取的參考坐標(biāo)系有關(guān),因此是相對(duì)的概念。第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日均勻流、非均勻流若某一時(shí)刻流場中各空間點(diǎn)上的物理量都相等，則稱均勻場（流），否則為非均勻場（流）。

判別：η為任意物理量梯度是場不均勻的度量也即梯度為0：第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日一元、二元、三元流動(dòng)模型用歐拉法描述流動(dòng)，雖然經(jīng)過恒定流的簡化去掉了時(shí)間變量，但仍存在x，y，z三個(gè)空間變量。這種在流場中的速度和性能參量由三個(gè)坐標(biāo)變量來描述的流動(dòng)就叫三元流，也稱為空間流動(dòng)。在實(shí)際情況下，多數(shù)的流動(dòng)都是三元流，但是，這種流動(dòng)模型太復(fù)雜了，我們是很難求解的。當(dāng)流動(dòng)中的速度和性能參量與坐標(biāo)中某一方向的變量無關(guān)時(shí)，且在這個(gè)方向上的分量也不存在的流動(dòng),就叫二元流或稱為平面流。當(dāng)流速和性能參量的變化僅與一個(gè)坐標(biāo)變量有關(guān)的流動(dòng)。u＝f（s）s：是流動(dòng)方向上的位置坐標(biāo)。這個(gè)模型的實(shí)質(zhì)是忽略流速和壓強(qiáng)參量等沿主流的橫向變化。三元流（三維流）二元流（二維流）一元流（一維流）第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)平面流動(dòng)軸對(duì)稱流動(dòng)任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡化和抽象，以便分析處理。演示動(dòng)畫第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日流動(dòng)要素只取決于一個(gè)空間坐標(biāo)變量的流動(dòng)在實(shí)際問題中，常把總流簡化為一維流動(dòng)。s

一維流動(dòng)其流場為s—空間曲線坐標(biāo)元流是嚴(yán)格的一維流動(dòng)，空間曲線坐標(biāo)s

沿著流線。第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日直角系中的平面流動(dòng)：流場與某一空間坐標(biāo)變量無關(guān)，且沿該坐標(biāo)方向無速度分量的流動(dòng)。xyoxyzou0u0大展弦比機(jī)翼繞流

二維流動(dòng)二元翼型繞流資料第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日3.2物質(zhì)導(dǎo)數(shù)速度是同一流體質(zhì)點(diǎn)的位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率。通過位移求速度或通過速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)該在拉格朗日觀點(diǎn)下進(jìn)行。第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日拉格朗日法3.2物質(zhì)導(dǎo)數(shù)拉格朗日方法中，某一時(shí)刻，任一流體質(zhì)點(diǎn)的位置可表示為：式中a、b、c為初始時(shí)刻任意流體質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，即不同的a、b、c代表不同的流體質(zhì)點(diǎn)。對(duì)于某個(gè)確定的流體質(zhì)點(diǎn)，a、b、c為常數(shù)，而t為變量，則得到流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。對(duì)于某個(gè)確定的時(shí)刻，t為常數(shù)，而a、b、c為變量，得到某一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的位置分布。通常稱a、b、c為拉格朗日變量，它不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而是流體質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)。第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）的速度和加速度為：拉格朗日法注意，流體的密度、壓強(qiáng)和溫度也可寫成類似的函數(shù)形式。求導(dǎo)時(shí)a,b,c作為參數(shù)不變，意即跟定流體質(zhì)點(diǎn)第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日歐拉法歐拉法中，任一空間點(diǎn)處速度場可表示為：其中變量x,y,z,t稱為歐拉變量，其中x，y，z有雙重意義，一方面它代表流場的空間坐標(biāo)，另一方面它代表流體質(zhì)點(diǎn)在空間的位移。當(dāng)參數(shù)x，y，z不變而改變時(shí)間t，則表示空間某固定點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。當(dāng)參數(shù)t不變，而改變x，y，z，則代表某一時(shí)刻，空間各點(diǎn)的速度分布。(1)第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日歐拉法根據(jù)流體連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，每一個(gè)空間點(diǎn)上都有流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。而占據(jù)每一個(gè)空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)都有自己的速度，有速度必然產(chǎn)生位移。也就是說，空間坐標(biāo)x，y，z也是流體質(zhì)點(diǎn)位移的變量，它也是時(shí)間t的函數(shù)：x=x(t)y=y(t)z=z(t)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)就流體質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)軌跡的三個(gè)速度分量：(2)第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日歐拉法加速度定義為在dt時(shí)刻內(nèi)，流體質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)某空間點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)軌跡上一段微小距離時(shí)的速度變化率，于是可按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，分別將(1)式中三個(gè)速度分量對(duì)時(shí)間取全導(dǎo)數(shù)，并將(2)式代入，即可得流體質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻經(jīng)過某空間點(diǎn)時(shí)的三個(gè)加速度分量：用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點(diǎn)的問題。(3)第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日=+質(zhì)

點(diǎn)

加

速

度位變

加速度由流速非均勻性引起局部加速度由流速

非恒定

性引起歐拉法V也可為流體密度、壓強(qiáng)和溫度等任一物理量（矢、標(biāo)）。第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日物質(zhì)導(dǎo)數(shù)是反映流體質(zhì)點(diǎn)某一物理量對(duì)時(shí)間的變化率，即觀察者隨流體質(zhì)點(diǎn)一起運(yùn)動(dòng)時(shí)看到的物理量變化率。也可稱為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是拉格朗日觀點(diǎn)下的概念。例子◆流體不可壓是指流體質(zhì)點(diǎn)的密度運(yùn)動(dòng)過程中不變，即◆流體均質(zhì)，則◆若流體既均質(zhì)，同時(shí)不可壓，則流體密度場定常，其不是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，即第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日【例】已知用拉格朗日變量表示得速度分布為u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且t=0時(shí)，x=a，y=b。求（1）t=3時(shí)質(zhì)點(diǎn)分布；（2）a=2，b=2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；（3）質(zhì)點(diǎn)加速度。【解】根據(jù)(2)式得將上式積分，得上式中c1、c2為積分常數(shù)，它仍是拉格朗日變量的函數(shù)。利用t=0時(shí)，x=a，y=b得c1=-2，c2=-2第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日X=(a+2)et-2t-2y=(b+2)et-2t-2（1）將t=3代入上式得X=(a+2)e3-8y=(b+2)e3-8（2）a=2，b=2時(shí)x=4et-2t-2y=4et-2t-2(3)第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日【例】在任意時(shí)刻，流體質(zhì)點(diǎn)的位置是x=5t2，其跡線為雙曲線xy=25。質(zhì)點(diǎn)速度和加速度在x和y方向的分量為多少？【解】根據(jù)式(2)得由式(3)得第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日

跡線是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，是與拉格朗日觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。拉格朗日法中位移表達(dá)式即為跡線的參數(shù)方程。t是變數(shù)，a,b,c是參數(shù)。3.3跡線、流線和染色線，流管跡線第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日在歐拉觀點(diǎn)下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)歐拉變數(shù)x,y,z成為t的函數(shù)，所以跡線的微分方程為：這是由三個(gè)一階微分方程組成的方程組，未知變量為質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)(x,y,z)，它是t的函數(shù)。給定初始時(shí)刻的位置坐標(biāo)，就可以積分得到跡線第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日●根據(jù)定義，流線的微分方程為：實(shí)際上這是兩個(gè)微分方程，其中t是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩?，它們的交線就是流線族其中第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日在非定常流情況下，流線一般會(huì)隨時(shí)間變化。在定常流情況下，流線不隨時(shí)間變，流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線走，跡線與流線重合。跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移曲線，與拉格朗日觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。即使是在定常流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。根據(jù)流線的定義，可以推斷：除非流速為零或無窮大處，流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折。第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日染色線染色線是指試驗(yàn)中，利用流場顯示技術(shù)通過在流場中固定點(diǎn)連續(xù)不斷注入有色物質(zhì)所形成的色線（或煙線）。它實(shí)際是一段時(shí)間內(nèi)相繼經(jīng)過流場中同一空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)連接起來得到的一條曲線，其形狀和結(jié)構(gòu)可反映流場結(jié)構(gòu)和流動(dòng)特點(diǎn)，也稱之為脈線。染色線既不是流線，也不是跡線。非定常流動(dòng)條件下：染色線、流線、跡線互不重合。定常流動(dòng)條件下：染色線與流線、跡線重合。第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日3.4流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)和變形★考察和分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)◆談及相對(duì)運(yùn)動(dòng)就必須把討論問題的尺度從流體質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)大到流體微團(tuán)●給出在同一時(shí)刻流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系▲分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不像剛體那么簡單，除了可以平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)外，還伴隨有變形運(yùn)動(dòng)。變形運(yùn)動(dòng)可分為體變形和角變形兩種。第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日所謂平動(dòng)運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)流體微團(tuán)移動(dòng)到另一個(gè)地方，微團(tuán)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置沒有發(fā)生變化，微團(tuán)的形狀也沒有發(fā)生變化，也稱平移。（1）平動(dòng)第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日流體微團(tuán)的轉(zhuǎn)動(dòng)和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)不同，如果在流體微團(tuán)中引出若干條直線，它們的旋轉(zhuǎn)角速度可以各不相同。因此，要說流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)，只能是平均。（2）旋轉(zhuǎn)第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期日可見，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總是可以分解成：