激光束傳輸與變換第二講

激光束傳輸與變換第二講第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日思考題：

當一束在空氣中傳播的平面光波經(jīng)焦距為f的透鏡聚焦后在相距透鏡為L1的距離處通過一個長度為L2、折射率為n2的介質時，試確定光束焦點位置？第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第二部分高斯光束第一章高斯光束第二章高斯光束的衍射第三章高斯光束的傳輸與變換第四章光束整形與激光組束第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日第一章高斯光束

本章以光的電磁理論為基礎,導出有關高斯光束的幾種形式:

基模高斯光束 高階模高斯光束 橢圓高斯光束 偏心高斯光束 矢量高斯光束并討論它們的場分布特點以及傳輸規(guī)律。第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日本講的主要內容

1.1電磁場的運動方程

1.2平面電磁波

1.3球面波和任意簡諧波第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日§1.1電磁場的運動方程光的經(jīng)典電磁理論：

已達到了相當完善的地步

解釋了許多重要的光學現(xiàn)象 諸如光的反射和折射、光的干涉、衍射、偏振、光的雙折射等現(xiàn)象.

一些光學分支的經(jīng)典理論基礎 如激光、傅里葉光學、集成光學、非線性光學等學科.

不足:不能解釋如原子光譜、黑體輻射、光電效應等光學現(xiàn)象。

研究高斯光束的理論基礎:

經(jīng)典電磁理論比較簡單、直觀。并把高斯光束與平面波及球面波相對照、相比較。第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日本節(jié)內容

麥克斯韋方程組

物質方程

邊值關系

能量密度和能流密度

波動方程第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.麥克斯韋方程組在有介質存在的普遍情況下：式中:E――電場強度矢量D――電位移矢量

H――磁場強度矢量B――磁感應強度矢量

――自由電荷密度j――自由電荷的電流密度該方程組對于物理性質連續(xù)的空間各點都成立。(1.1.1)第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.物質方程物質方程是介質在電磁場的作用下發(fā)生傳導、極化和磁化現(xiàn)象的數(shù)學描述。最簡單的是靜止或緩慢運動狀態(tài)的各向同性介質，在弱場作用的情況下，物質方程取如下形式:第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.物質方程式中――電導率――介電常數(shù)

――磁導率一般在光頻情況下，各種介質的磁導率都近似地等于真空的磁導率0。

(1.1.2)第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.邊值關系

確定場在兩種媒質交界面上的分布微分形式已不在適用麥克斯韋方程組的積分形式在極限的情況下可以得到：第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.邊值關系式中:n――界面法線方向上的單位矢量，方向從介質1指向介質2,f――界面上自由電荷密度(1.1.3)第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.邊值關系第一式說明：電位移矢量在界面法線方向上有躍變。

第二式說明：磁感應強度在界面法線方向是連續(xù)的。第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.邊值關系

第三式說明：電場的切線分量在界面兩側是連續(xù)的。第四式說明：磁場的切線分量在界面兩側是連續(xù)的（只有在沒有面電流的條件下才成立，一般均能滿足這個條件）以上四式統(tǒng)稱為邊值條件，它們也適用于真空與介質的交界面。第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.能量密度和能流密度由麥克斯韋方程組(1.1.1)的第二式和第四式可得在滿足物質方程(1.1.2)的情況下，有(1.1.6)

(1.1.7)

第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.能量密度和能流密度電磁場的能量密度為電磁場的能流密度（也叫坡印廷矢量）為(1.1.8)

(1.1.9)

第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.能量密度和能流密度由(1.1.6)～(1.1.9)式可獲得能量守恒的微分形式在絕緣介質(=0)的情況下反映能量守恒的(1.1.6)式是直接從麥克斯韋方程組導出的，無論物質方程(1.1.2)是否成立，它總是正確的。(1.1.10)

(1.1.11)

第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日5.波動方程在各向同性的均勻介質中，介電常數(shù)和磁導率是與時間和空間位置無關的常數(shù)。由麥克斯韋方程組(1.1.1)可得到E和H分別滿足微分方程

(1.1.13)

第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日5.波動方程只要給定了電荷密度和電流密度j的空間分布以及它們隨時間的變化,就可通過這組方程求出電場E和磁場H的運動行態(tài)。第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日5.波動方程在絕緣介質中，波動方程有最簡單的形式這組方程是我們下面討論各種電磁波，包括平面波、球面波、以及高斯光束的基本出發(fā)點。(1.1.15)

第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日§1.2平面電磁波平面電磁波的一般特性：波的表達式、波矢、相速、以及偏振特性等。第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日本節(jié)內容 單色平面波 等相面和相速 平面波的偏振態(tài) 光強第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.單色平面波

可以證明方程(1.1.15)的一組特解為：

(1.2.1)式滿足波動方程的必要條件是(1.2.1)

(1.2.6)

第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.單色平面波上式還可以寫成k是波矢的大小，p稱為相速(p=c/n),可以證明：(1.2.7)

(1.2.8)

第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.單色平面波根據(jù)(1.2.7)式，考慮到電場、磁場、波矢的正交性，（1.2.8）式中的第一式可以寫成電磁波的電場和磁場不是孤立存在的.(1.2.9)

第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.等相面和相速

在時間不變時，相位因子等于某個常數(shù)的點在空間構成一個曲面，這個曲面叫等相面(波陣面)。波在傳播過程中最前邊的等相面叫波前。第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.等相面和相速

(1.2.1)式所表示的平面波，它的等相面方程為式中是一個常數(shù)。這是一個以k為法線,到原點距離等于(t+0-)/|k|的平面方程。(1.2.10)

第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.等相面和相速把等相面方程(1.2.10)對時間t微商，如果沿著k方向r的增量為drk,則可以得到等相面沿法線方向的傳播速度p正是(1.2.7)式中的相速。(1.2.11)

第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.平面波的偏振態(tài)假設平面波沿z軸方向傳播，無論電場還是磁場都與傳播方向z軸垂直，即E和H在x-y平面中。在一個平面中的矢量總可以用兩個獨立的分量來表示，則沿z軸方向傳播的波可表示為:(1.2.15)

第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.平面波的偏振態(tài)

電場的軌跡方程：式中=2-1。(1.2.16)

第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.平面波的偏振態(tài)在x-y平面上(1.2.16)式所表示的電場的軌跡是一個橢圓，稱為橢圓偏振光。當Ex0=Ey0,=(m+1/2)（m是整數(shù)），(1.2.16)式所表征的曲線變成一個圓，稱為圓偏振光；當Ex0=Ey0,=m(m是整數(shù))，(1.2.16)式所表征的曲線退化成一條直線，稱為線偏振光。第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.光強利用平面波電場與磁場的關系(1.2.9)，能量密度表達式(1.1.8)可變成

能流密度表達式(1.1.9)可變成平均能量密度為(1.2.21)

(1.2.18)

(1.2.17)

第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.光強平均能流密度為式中c是真空中的光速，n是介質的折射率，t是介質中光速。(1.2.24)

第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.光強在各向同性介質中，光速t與相速p是相同的。在各向異性介質中，一般情況下，無論是方向還是大小，光速都與相速不同。這時，光速定義為平均能流密度與平均能量密度之比。在光學上常把平均能流密度的大小叫做光強。第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.光強在只考慮光的相對強弱時，光強可以寫成因此，電場與其復共軛的乘積就可以表示光強，而不必再去積分求平均值。(1.2.25)

第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日§1.3球面波和任意簡諧波為了簡單，本節(jié)只討論球面標量波和任意簡諧標量波。在空間不存在電荷和電流的情況下，電場和磁場的任意一個分量都可以從方程(1.1.15)導出，滿足波動方程：

式中E是電場的一個直角坐標分量。(1.3.1)

第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日本節(jié)內容

球面波

任意簡諧波

波包和群速

程函方程與光線方程第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.球面波首先把波動方程(1.3.1)中的拉普拉斯算符2用球坐標系的變量來表示。假設我們研究的場是點波源發(fā)出的，則這樣的場在空間的分布對于角及角都是對稱的。這時波動方程(1.3.1)可以寫成

(1.3.3)

第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.球面波設U(r,t)=rE(r,t),代入(1.3.3)式，結果有該方程的一個特解為(1.3.4)

(1.3.5)

第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.球面波滿足該特解的必要條件是從(1.3.5)式可得到電場為該式表示波源位于坐標原點，向外發(fā)散的球面波。(1.3.6)

(1.3.7)第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.球面波

等相面方程為

是一個常數(shù)，當t不變時，上式表示一個半徑為r=(t+0-)/k的球面。(1.3.8)

第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.球面波方程(1.3.3)的另一個特解為它表示一個向原點收斂的球面波。(1.3.9)

第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日1.球面波球面波的相速可從等相面方程(1.3.8)對時間的微商獲得該式表明，在各向同性的介質中，球面波的相速與平面波的相速大小相等。(1.3.10)

第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.任意簡諧波對于一個圓頻率為的標量時間簡諧波可認為是波動方程的一個特解。其形式為式中A(r)是振幅，g(r)是r的標量函數(shù)。(1.3.11)

(1.3.12)

第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.任意簡諧波一般來說，(1.3.12)式所表征的波其等相面和等振幅面是不一致的，這將導致在同一個等相面上各點的振幅不同。因此，稱這種波為非均勻波。非均勻波的等相面方程為式中為常數(shù)。(1.3.13)

第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.任意簡諧波等相面沿其法線的傳播速度為任意簡諧波的空間部分和時間部分可以分開寫成式中U是空間變量的標量函數(shù)。(1.3.15)(1.3.16)

第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.任意簡諧波將上式代入波動方程(1.3.11)，可得到U所滿足的赫姆霍茲方程(1.3.17)

第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日2.任意簡諧波這個方程與波動方程是等價的。

對于空間變量和時間變量可分離的函數(shù)，其空間部分應滿足這個方程。這個方程是我們后面討論各種形式高斯光束的出發(fā)點。第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速任何一個波E(r,t)都可以看成是不同頻率的單色波的疊加式中a是相應于頻率為的單色波的振幅。（1.3.18)

第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速考慮兩個平面單色波的疊加，假設它們都沿z軸方向傳播，振幅相同，頻率和波數(shù)略有不同，則它們的疊加為式中（1.3.20）

(1.3.21)

第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速

(1.3.20)式可以看成是頻率為、波數(shù)為k、沿z軸方向傳播的平面波。然而這個波的振幅不是常量，而是隨時間t和位置z在0到2a之間變化，產生拍現(xiàn)象。振幅函數(shù)好象是一個調制波。第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速各等振幅面的傳播速度－群速度為

在更普遍的情況下，考慮一個由許多沿z方向傳播的單色波疊加組成的一維波群(1.3.22)

(1.3.23)

第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速如果這些單色波的振幅在

-(/2)+(/2)內顯著不為零，則(1.3.23)式可寫成其中(1.3.24)

(1.3.25)

第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速為了計算方便，假設傅里葉振幅為一個常數(shù)a=a，則(1.3.25)式的積分結果為

(1.3.27)

第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速振幅最大的條件為:

群速度可選定為振幅最大值的等值面的傳播速度。從(1.3.28)式求得(1.3.28)

(1.3.29)

第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日3.波包和群速群速和相速的關系為式中是波長。所有各量都是對平均頻率（或平均波數(shù)k）來說的。(1.3.30)

第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期日4.程函方程與光線方程

在各向同性介質中，簡諧電磁波的表達式為式中：

E0(r)－－電場的振幅,H0(r)--磁場的振幅。

k0－－

真空中的波數(shù)。

(r)－－空間標量函數(shù)，稱為程函數(shù)。它對應幾