概率統計和隨機過程課件第十二章平穩(wěn)過程

概率統計和隨機過程課件第十二章平穩(wěn)過程第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六嚴平穩(wěn)過程的含義是:過程的任何有限維概率分布與參數的原點選取無關,二.嚴平穩(wěn)過程的一維,二維分布函數的性質特殊地,取

一維分布函數二維分布函數2第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六上式表明:嚴平穩(wěn)過程的一維分布函數不依賴于參數,

二維分布函數僅依賴于參數間距

而與本身無關.

三.(1)離散狀態(tài)隨機過程,嚴平穩(wěn)性條件3第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六(2)連續(xù)狀態(tài)隨機過程,嚴平穩(wěn)性條件一維概率密度函數二維概率密度函數4第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六四.嚴平穩(wěn)過程的數字特征的性質設

為連續(xù)狀態(tài)嚴平穩(wěn)過程(常數);

(常數);(常數);5第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六(僅依賴于,而不依賴于

);于是得到6第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六

定理一

設是嚴平穩(wěn)過程,如果過程的二階矩存在,那么

(1)均為常數,與參數無關;(2)僅依賴于參數間距,而不依賴于

.7第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六數字特征的這一性質也稱為平穩(wěn)性.定理一的逆定理是不成立的.

例1(Bernoulli序列)獨立重復地進行某項試驗,每次試驗成功的概率為,失敗的概率為

.

表示第次試驗成功的次數,是嚴平穩(wěn)過程.

試驗證8(即，分布函數不變)第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例2

設是相互獨立的標準正態(tài)隨機變量,試驗證隨機過程不是嚴平穩(wěn)過程,

的數字特征也不具有平穩(wěn)性.9第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六第二節(jié)廣義平穩(wěn)過程

(一)廣義平穩(wěn)過程的定義定義2

設隨機過程,對于任意,滿足:(1)存在且有限;(2)是常數;(3)僅依賴于,而與無關,則稱為廣義平穩(wěn)過程,或稱寬平穩(wěn)過程,簡稱平穩(wěn)過程.

10第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六參數集為整數集或可列集的平穩(wěn)過程又稱為平穩(wěn)序列,或稱平穩(wěn)時間序列.(二)廣義平穩(wěn)過程的數字特征的性質設是平穩(wěn)過程,則(1)僅依賴于,而與無關;(2)是常數;(3)是常數;

11第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六(5)(僅依賴于,而與無關)。是常數;

(4)問題:12第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六三.平穩(wěn)過程的例子隨機相位正弦波式中和

是常數,

是上服從均勻分布的隨機變量.

驗證是平穩(wěn)過程.

例113第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例2

隨機振幅正弦波

,其中

和都是隨機變量,且

驗證是平穩(wěn)過程.14第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例4

通訊系統中的加密序列設

是相互獨立的隨機

變量序列.同分布,

同分布,設則加密序列是平穩(wěn)序列.15第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六16第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六

例5

隨機電報信號

電報信號用電流或給出,任意時刻的電報

信號為或的概率各為.又以表示內信號變化的次數,已知是一泊松

過程,則是一個平穩(wěn)過程.泊松過程的定義17第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六18第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六19第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六20第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六解21第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六解22第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六四.

嚴平穩(wěn)過程與廣義平穩(wěn)過程的關系推論

存在二階矩的嚴平穩(wěn)過程必定是廣義平穩(wěn)過程.1.廣義平穩(wěn)過程,不一定是嚴平穩(wěn)過程.2.嚴平穩(wěn)過程,(如果二階矩不存在),不一定是廣義平穩(wěn)過程23第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六五.兩個平穩(wěn)過程的關系下文中廣義平穩(wěn)過程簡稱平穩(wěn)過程.定義3

設和是兩個平穩(wěn)過程,如果互相關函數僅是參數間距

的函數,則稱與平穩(wěn)相關,或稱其為

聯合平穩(wěn)的.此時24第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六定義4

稱為標準互協方差函數.

特別當時,稱兩個平穩(wěn)過程互不相關.

(均為常數).25第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六第三節(jié)正態(tài)平穩(wěn)過程一.正態(tài)過程

正態(tài)隨機變量復習：一維正態(tài)隨機變量,概率密度二維正態(tài)隨機變量第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六維正態(tài)分布概率密度其中協方差矩陣

第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六定義5

如果隨機過程,對任意正整數

,服從正態(tài)分布則稱為正態(tài)過程,又稱高斯(Gauss)過程.獨立正態(tài)過程:如果

是正態(tài)過程,獨立正態(tài)過程.

同時又是獨立過程,則稱為第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六正態(tài)序列:正態(tài)過程,如果是可列集,記那么,

是正態(tài)序列.二.正態(tài)平穩(wěn)過程設是正態(tài)過程,服從正態(tài)分布,則必存在,即二階矩存在.定義

如果正態(tài)過程又是(廣義)平穩(wěn)過程,則

第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六稱為正態(tài)平穩(wěn)過程.

定理二：設是正態(tài)過程.則為嚴平穩(wěn)過程為廣義平穩(wěn)過程.第三十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期六例1

設正態(tài)過程的均值函數

自相關函數

試寫出過程的一維、二維概率密度函數.解第三十一