版數(shù)學(xué)北師大版必修五課件3.1不等關(guān)系

第三章不等式§1不等關(guān)系1|不等關(guān)系現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系,不等關(guān)系

常用不等式表示.2|比較實(shí)數(shù)a,b大小的依據(jù)依據(jù)a-b①

>

0?a>b;a-b②

=

0?a=b;a-b③

<

0?a<b結(jié)論確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系,只需確定它們的④

差

與⑤

0

的大小關(guān)系即可第三章不等式3|不等式的性質(zhì)性質(zhì)名稱性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?⑥

b<a

可逆2傳遞性a>b,b>c?⑦

a>c

不可逆3可加性a>b?a+c⑧

>

b+c可逆4可乘性

?ac⑨

>

bcc的符號(hào)

?ac⑩

<

bc5同向可加性

?a+c

>

b+d同向第三章不等式續(xù)表性質(zhì)名稱性質(zhì)內(nèi)容注意6同向同正可乘性

?ac

>

bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N+)同正8可開方性a>b>0?

>

(n∈N+)第三章不等式4|常見的文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于、高于、超過小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不超過符號(hào)語言><≥≤第三章不等式1.a>b與a≠b都是不等式.

(√)2.a,b,c為實(shí)數(shù),若ac2>bc2,則a<b.

(

?)3.a,b為實(shí)數(shù),若a<b<0,則a2>ab>b2.

(√)4.a,b,c為實(shí)數(shù),若c>a>b>0,則

>

.

(√)5.若

>1,則a>b.

(

?)提示:若

>1,則當(dāng)b>0時(shí),a>b;當(dāng)b<0時(shí),a<b.6.若a3>b3,則a>b.

(√)判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.第三章不等式不等式的性質(zhì)及推論有以下幾點(diǎn)在應(yīng)用時(shí)容易被忽略,從而導(dǎo)致出錯(cuò),應(yīng)注意:1.在使用不等式的性質(zhì)時(shí),一定要弄清它們成立的前提條件.(1)在應(yīng)用傳遞性時(shí),如果兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào),那么等

號(hào)是傳遞不過去的,如a≤b,b<c?a<c;(2)在乘法法則中,要特別注意乘數(shù)c的符號(hào),例如,當(dāng)c≠0時(shí),有a>b?ac2>bc2;若無

“c≠0”這個(gè)條件,則a>b?ac2>bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c=0時(shí),ac2=bc2);(3)“a>b>0?an>bn>0(n∈N+)”成立的條件是“n∈N+,a>b>0”.假如去掉“n∈N

+”這個(gè)條件,取n=-1,a=3,b=2,那么就出現(xiàn)“3-1>2-1,即

>

”的錯(cuò)誤結(jié)論;假如去掉“b>0”這個(gè)條件,取a=3,b=-5,n=2,那么就會(huì)出現(xiàn)“32>(-5)2,即9>25”的錯(cuò)誤結(jié)論.2.注意不等式性質(zhì)的可逆性.只有a>b?b<a,a>b?a+c>b+c,a>b?ac>bc(c>0)是可1|如何正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)及推論逆的,其余幾條性質(zhì)是不可逆的.第三章不等式判斷下列命題是否成立,若不成立,適當(dāng)增加條件使之成立.(1)若a>b,則ac≤bc;(2)若ac2>bc2,則a2>b2;(3)若a>b,則lg(a+1)>lg(b+1);(4)若a>b,c>d,則

>

.思路點(diǎn)撥根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo),尋求應(yīng)增加的條件.第三章不等式解析

(1)不成立.命題“若a>b且c≤0,則ac≤bc”成立,即增加條件“c≤0”.(2)不成立.由ac2>bc2可得a>b,但只有b≥0時(shí),才有a2>b2,即增加條件“b≥0”.(3)不成立.由a>b可得a+1>b+1,但作為真數(shù),應(yīng)有b+1>0,故應(yīng)增加條件“b>-1”.(4)不成立.

>

成立的條件有多種(如a>b>0,c>d>0),因此,可增加條件“b>0,d>0”.第三章不等式利用幾個(gè)代數(shù)式的取值范圍來確定某個(gè)代數(shù)式的取值范圍時(shí),要注意“同向

不等式的兩邊可以相加”,但這種轉(zhuǎn)化是不可逆的.在一道題的解題過程中多次

使用這種轉(zhuǎn)化時(shí),就有可能“擴(kuò)大”取值范圍.解決此類題可用待定系數(shù)法先建

立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,再通過一次不等關(guān)系的運(yùn)算求

得待求式的取值范圍,這是避免犯錯(cuò)誤的一條重要途徑,切不可隨意拆分.2|利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的范圍問題中,如何避免范圍擴(kuò)大第三章不等式

已知α,β滿足

試求α+3β的取值范圍.思路點(diǎn)撥用α+β和α+2β表示α+3β

由已知求α+3β的取值范圍.第三章不等式解析

設(shè)α+3β=λ(α+β)+v(α+2β)=(λ+v)α+(λ+2v)β(λ,v∈R).比較等號(hào)兩邊α,β的系

數(shù),得

解得

所以α+3β=-(α+β)+2(α+2β).又-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,所以1≤α+3β≤7.故α+3β的取值范圍是[1,7].第三章不等式1.利用不等式表示問題中的不等關(guān)系,關(guān)鍵是用代數(shù)式表示相應(yīng)的量,然后用不等式表示其關(guān)系;而對(duì)于涉及條件較多的問題,往往需列不等式組解決.2.建立實(shí)際問題中的不等關(guān)系的關(guān)鍵是找出制約目標(biāo)的自變量,把題中涉及的量

用代數(shù)式表示,從而根據(jù)條件列出不等式(組).3|不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用第三章不等式糖水是日常生活中再簡(jiǎn)單不過的東西.下列關(guān)于糖水濃度的問題,試提煉出

不等式.(1)向一杯糖水里加點(diǎn)糖,“糖水加糖變甜了”;(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起,得到的糖水一定比淡的

濃、比濃的淡.信息提?、偬撬犹亲兲鹆?②混合兩種糖水得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡.數(shù)學(xué)建模

本題由糖水這一生活問題,挖掘出不等式模型.求解的關(guān)鍵是尋找問

題中的不等關(guān)系,再將其轉(zhuǎn)化為不等式.第三章不等式解析

(1)設(shè)原來的糖水b克,含糖a克,則此糖水濃度為

.加入m克糖后的濃度為

,則提煉出不等式:若b>a>0,m>0,則

<

.(2)設(shè)淡糖水b1克,含糖a1克,則濃度為

;濃糖水b2克,含糖a2克,則濃度為

.則混合后的濃度為

,則提煉出不等式:若b1>a1>0,b2>a2>0,且

<

,則

<