離散系統(tǒng)時(shí)域描述差分方程

1第一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.1.1差分的定義連續(xù)函數(shù)，采樣后為簡(jiǎn)寫一階向前差分：二階向前差分：n階向前差分：一階向后差分：二階向后差分：n階向后差分：2第二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.1.2差分方程差分方程是確定時(shí)間序列的方程

連續(xù)系統(tǒng)微分用差分代替一般離散系統(tǒng)的差分方程：差分方程還可用向后差分表示為：代替代替3第三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.1.3線性常系數(shù)差分方程的迭代求解差分方程的解也分為通解與特解。通解是與方程初始狀態(tài)有關(guān)的解。特解與外部輸入有關(guān)，它描述系統(tǒng)在外部輸入作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。例3-1已知差分方程，試求解：采用遞推迭代法，有：4第四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日例3-1采用MATLAB程序求解解序列為：k=0，1，…，9時(shí)，n=10;%定義計(jì)算的點(diǎn)數(shù)c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定義輸入輸出和點(diǎn)數(shù)的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,′k:o′)%繪輸出響應(yīng)圖，每一點(diǎn)上用o表示MATLAB程序：c=0，1.0000，1.5000，1.7500，1.8750，1.9375，1.9688，1.9844，1.9922，1.9961，……差分方程的解序列表示說明：另一個(gè)求解方法是利用z變換求解。5第五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.1離散系統(tǒng)時(shí)域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)3.4離散系統(tǒng)的方塊圖分析3.5離散系統(tǒng)的頻域描述3.6離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3.7應(yīng)用實(shí)例6第六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.2.1z變換定義1.z變換采樣信號(hào)采樣信號(hào)的z變換注意：z變換中，z-1代表信號(hào)滯后一個(gè)采樣周期，可稱為單位延遲因子。7第七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日采樣脈沖序列進(jìn)行z變換的寫法：在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)控制工程中多數(shù)信號(hào)，z變換所表示的無窮級(jí)數(shù)是收斂的，并可寫成閉和形式。z的有理分式：z-1的有理分式:零、極點(diǎn)形式：8第八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日2.z反變換求與z變換相對(duì)應(yīng)的采樣序列函數(shù)的過程稱為z反變換。z反變換唯一，且對(duì)應(yīng)的是采樣序列值。

z變換只能反映采樣點(diǎn)的信號(hào)，不能反映采樣點(diǎn)之間的行為。9第九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.2.2z變換的基本定理1．線性定理2．實(shí)位移定理（時(shí)移定理）(1)右位移（延遲）定理(2)左位移（超前）定理3．復(fù)域位移定理

10第十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.2.2z變換的基本定理4．初值定理5．終值定理

若存在極限，則有：假定函數(shù)全部極點(diǎn)均在z平面的單位圓內(nèi)或最多有一個(gè)極點(diǎn)在z=1處，則

11第十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.2.3求z變換及反變換方法1.z變換方法(1)級(jí)數(shù)求和法(根據(jù)定義)例3-6求指數(shù)函數(shù)的z變換

12第十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日利用s域中的部分分式展開法1.z變換方法(2)F(s)的z變換（L反變換）

(z變換)(采樣)例3-7試求的z變換。解：另一種由F(s)求取F(z)的方法是留數(shù)計(jì)算方法。本書對(duì)此不予討論13第十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日利用MATLAB軟件中的符號(hào)語言工具箱進(jìn)行F(s)部分分式展開已知，通過部分分式展開法求F(z)。F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)；%傳遞函數(shù)F(s)進(jìn)行符號(hào)定義[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式pdenF=sym2poly(denF)；%將分子轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展開MATLAB程序：運(yùn)行結(jié)果：R=0.0833-0.7500-0.50000.6667P=-3.0000-1.0000-1.00000K=[]（此題無K值）對(duì)應(yīng)部分分式分解結(jié)果為：14第十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日1.z變換方法(3)利用z變換定理求取z變換式例3-8已知f(t)=sint的z變換的z變換。解：利用z變換中的復(fù)位移定理可以很容易得到

試求15第十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日1.z變換方法(4)查表法實(shí)際應(yīng)用時(shí)可能遇到各種復(fù)雜函數(shù)，不可能采用上述方法進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算。實(shí)際上，前人已通過各種方法針對(duì)常用函數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，求出了相應(yīng)的F(z)并列出了表格，工程人員應(yīng)用時(shí)，根據(jù)已知函數(shù)直接查表即可。具體表格見附錄A。

部分分式

查表求和

部分分式

查表求和

16第十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日2.z反變換方法(1)查表法（可以直接從表中查得原函數(shù)）如已知z變換函數(shù)F(z)，可以依F(z)直接從給定的表格中求得它的原函數(shù)f*(t)。17第十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日2.z反變換方法(2)部分分式法（較復(fù)雜，無法直接從表格中查其原函數(shù)）

部分分式

查表求和

查表18第十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日部分分式法例子例3-9求下式的z反變換MATLAB程序：Fz=sym(′(-3*z^2+z)/(z^2-2*z+1)′)；%進(jìn)行符號(hào)定義F=Fz/′z′；[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式pdenF=sym2poly(denF)；[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展開查表可得其中19第十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日2.z反變換方法(3)冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）例3-10已知，求對(duì)該例，從相關(guān)系數(shù)中可以歸納得：20第二十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.2.4差分方程z變換解法例3-11用z變換法求差分方程利用z變換求解線性常系數(shù)差分方程，將差分方程的求解轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程的求解c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k解：(1)對(duì)每一項(xiàng)做z變換(2)歸納整理特解通解

(3)z反變換查表得部分分式展開假設(shè)初始條件為零，上式第2項(xiàng)為零21第二十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.1離散系統(tǒng)時(shí)域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)

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3.7應(yīng)用實(shí)例

22第二十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.3.1脈沖傳遞函數(shù)的定義定義：在初始條件為零時(shí)，離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)又稱為z傳遞函數(shù)輸出量z變換輸入量z變換輸出的采樣信號(hào)：圖3-6脈沖傳遞函數(shù)23第二十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.3.2脈沖傳遞函數(shù)特性離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可以看作是系統(tǒng)輸入為單位脈沖時(shí)，其脈沖響應(yīng)的z變換。若已知采樣系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)G(s)，當(dāng)其輸出端加入虛擬開關(guān)變?yōu)殡x散系統(tǒng)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)可按下述步驟求取：

（1）對(duì)G(s)做拉氏反變換，求得脈沖響應(yīng)（2）對(duì)采樣，求得離散系統(tǒng)脈沖的響應(yīng)為（3）對(duì)離散脈沖響應(yīng)做z變換，即得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為幾種脈沖傳遞函數(shù)的表示法均可應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)完全表征了系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入與輸出之間的特性，并且也只由系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，與輸入信號(hào)無關(guān)。24第二十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.3.2脈沖傳遞函數(shù)特性2.脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)與零點(diǎn)極點(diǎn)當(dāng)G(z)是G(s)由通過z變換得到時(shí)，它的極點(diǎn)是G(s)的極點(diǎn)按z=e-sT的關(guān)系一一映射得到。由此可知，G(z)的極點(diǎn)位置不僅與G(s)的極點(diǎn)有關(guān)，還與采樣周期T密切相關(guān)。當(dāng)采樣周期T足夠小時(shí)，G(s)的極點(diǎn)都將將密集地映射在z=1附近。零點(diǎn)G(z)的零點(diǎn)是采樣周期T的復(fù)雜函數(shù)。采樣過程會(huì)增加額外的零點(diǎn)。若連續(xù)系統(tǒng)G(s)沒有不穩(wěn)定的零點(diǎn)，且極點(diǎn)數(shù)與零點(diǎn)數(shù)之差大于2，當(dāng)采樣周期較小時(shí)，G(z)總會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定的零點(diǎn)，變成非最小相位系統(tǒng)。

有不穩(wěn)定零點(diǎn)的連續(xù)系統(tǒng)G(s)，只要采樣周期取得合適，離散后也可得到?jīng)]有不穩(wěn)定零點(diǎn)的G(z)

。25第二十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.3.3差分方程與脈沖傳遞函數(shù)1.由差分方程求脈沖傳遞函數(shù)已知差分方程，設(shè)初始條件為零。兩端進(jìn)行z變換脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式系統(tǒng)輸出26第二十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.3.3差分方程與脈沖傳遞函數(shù)2.由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程z反變換z反變換27第二十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.1離散系統(tǒng)時(shí)域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)

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3.5離散系統(tǒng)的頻域描述3.6離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

3.7應(yīng)用實(shí)例

28第二十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.4.1環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的等效變換1.采樣系統(tǒng)中連續(xù)部分的結(jié)構(gòu)形式并不是所有結(jié)構(gòu)都能寫出環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)29第二十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.4.1環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的等效變換2.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)30第三十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.4.1環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的等效變換3.并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)根據(jù)疊加定理有：31第三十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.4.2閉環(huán)反饋系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)圖3-10采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)E(z)=R(z)-B(z)B(z)=G2G3H(z)U(z)E(z)=R(z)-G2G3H(z)U(z)C(z)=G2G3(z)U(z)U(z)=G1(z)E(z)C(z)=G2G3(z)G1(z)E(z)E(z)=R(z)/[1+G1(z)G2G3H(z)]

一般系統(tǒng)輸出z變換可按以下公式直接給出：32第三十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.4.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1.數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)控制算法，通常有以下兩種形式：差分方程脈沖傳遞函數(shù)D(z)連續(xù)傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)D(z)(z變換法)(第5章的離散法)33第三十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.4.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)2.連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算機(jī)輸出的控制指令u*(t)是經(jīng)過零階保持器加到系統(tǒng)的被控對(duì)象上的，因此系統(tǒng)的連續(xù)部分由零階保持器和被控對(duì)象組成。

被控對(duì)象傳遞函數(shù)圖3-11連續(xù)部分的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)34第三十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.4.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)3.閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取例3-12求下圖所示計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，已知T=1秒。

解：T=1s35第三十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日利用Matlab相應(yīng)命令進(jìn)行Z變換c=[00.6321]d=[1.0000-0.3679]MATLAB命令：num=[1];den=[1,1];[c,d]=c2dm(num,den,0.1,'zoh')計(jì)算輸出即得到36第三十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.4.4干擾作用時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的輸出根據(jù)線性系統(tǒng)疊加定理，可分別計(jì)算指令信號(hào)和干擾信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)。圖3-13有干擾時(shí)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)R(s)單獨(dú)作用時(shí)的系統(tǒng)輸出[N(s)=0]干擾單獨(dú)作用時(shí)的系統(tǒng)輸出[R(s)=0]共同作用時(shí)的系統(tǒng)輸出37第三十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.1離散系統(tǒng)時(shí)域描述——差分方程3.2z變換

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3.5離散系統(tǒng)的頻域描述3.6離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

3.7應(yīng)用實(shí)例

38第三十八頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.5.1離散系統(tǒng)頻率特性定義在離散系統(tǒng)中，一個(gè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性是指，在正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比隨輸入正弦信號(hào)頻率變化的特性。頻率特性定義：圖3-14離散系統(tǒng)的頻率特性39第三十九頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.5.2離散系統(tǒng)頻率特性的計(jì)算離散系統(tǒng)頻率特性的指數(shù)形式

幅頻特性相頻特性1.數(shù)值計(jì)算法——按表達(dá)式逐點(diǎn)計(jì)算它的幅相頻率特性。連續(xù)系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：例3-13要求繪制它們的頻率特性。40第四十頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日Matlab符號(hào)語言實(shí)現(xiàn)Gs=sym(′1/(s+1)′)；%傳遞函數(shù)F(s)T=0.5；[numGs,denGs]=numden(Gs)；%提取分子分母%將分母轉(zhuǎn)化為一般多項(xiàng)式pnumGs=sym2poly(numGs)；pdenGs=sym2poly(denGs)；%Z變換[pnumGz,pdenGz]=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,′zoh′)；w=0:0.1:19；[mag,pha]=bode(pnumGs,pdenGs,w)；[dmag,dpha]=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)；fori=1:1:90ifdpha(i)<=-180dpha(i)=dpha(i)+360endendfori=1:1:190ifdpha(i)<=-180dpha(i)=dpha(i)+360；endendfigure(1);plot(w,mag,′blue′);holdon;plot(w,dmag,′red′);Gridon;axis([0,19,0,1.2]);figure(2);plot(w,pha,′blue′);holdon;plot(w,dpha,′red′);Gridon;axis([0,19,-200,200]);41第四十一頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)D3-15例3-13的幅頻和相頻特性曲線42第四十二頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.5.2離散系統(tǒng)頻率特性的計(jì)算2.幾何作圖法43第四十三頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.5.3離散系統(tǒng)頻率特性的特點(diǎn)1.特點(diǎn)(1)周期性：周期為(2)幅頻特性為的偶對(duì)稱(3)相頻特性為的奇對(duì)稱說明：由于離散環(huán)節(jié)頻率特性不是的有理分式函數(shù)，在繪制對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對(duì)數(shù)頻率特性。

44第四十四頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日2.應(yīng)注意問題離散環(huán)節(jié)頻率特性不是的有理分式函數(shù)，在繪制對(duì)數(shù)頻率特性時(shí)，不能像連續(xù)系統(tǒng)那樣使用漸近對(duì)數(shù)頻率特性。(2)離散環(huán)節(jié)頻率特性形狀與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性形狀有較大差別，特別是當(dāng)采樣周期較大以及頻率較高時(shí)，由于混疊，使頻率特性形狀有較大變化，主要表現(xiàn)有:高頻時(shí)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)峰值；可能出現(xiàn)正相位；僅在較小的采樣周期或低頻段與連續(xù)系統(tǒng)頻率特性相接近。45第四十五頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.1離散系統(tǒng)時(shí)域描述——差分方程3.2z變換

3.3脈沖傳遞函數(shù)

3.4離散系統(tǒng)的方塊圖分析

3.5離散系統(tǒng)的頻域描述3.6離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

3.7應(yīng)用實(shí)例

46第四十六頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日3.7應(yīng)用實(shí)例求下圖所示天線計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程并利用MATLAB軟件計(jì)算系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。圖3-26天線控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖47第四十七頁，共五十四頁，編輯于2023年，星期日電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)加天線負(fù)載的傳遞函數(shù)機(jī)電時(shí)間常數(shù)

電機(jī)傳動(dòng)系數(shù)

速度閉環(huán)傳統(tǒng)函數(shù)速度閉環(huán)回路增益

速度回路時(shí)間常數(shù)

天線角速度與轉(zhuǎn)