三角形的內(nèi)切圓 市賽獲獎

三角形的內(nèi)切圓切線長定理：從圓外一點向圓所作的兩條切線中,切線長相等,并且

這一點與圓心的連線平分從這點向圓所作的兩條切線的夾角。

ABPO?！逷A、PB分別切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPB∴OP⊥AB切線長定理的數(shù)學語言描述：·動手操作1.作一個角的平分線,回憶角平分線的性質.2.作一個圓和所畫角的兩邊都相切.思考：可以畫多少個這樣的圓,圓心在什么地方?.ACB·

如圖是一塊三角形木料，木工師傅要從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？ABC三角形的內(nèi)切圓ABC和三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓三角形叫圓的外切三角形問題１：作圓的關鍵是什么？問題２：怎樣確定圓心的位置？問題３：圓心的位置確定后怎樣確定圓的半徑？ABC（確定圓心和半徑）（作兩條角平分線，其交點就是圓心的位置）（過圓心作三角形一邊的垂線，垂線段的長就是圓的半徑）例1作圓，使它和已知三角形的各邊都相切已知：△ABC（如圖）求作：和△ABC的各邊都相切的圓問題４:在這塊三角形材料上還能裁下更大的圓嗎?（不能）任何一個三角形都只有一個內(nèi)切圓例1作圓，使它和已知三角形的各邊都相切ABCIMND3、以I為圓心，ID為半徑作⊙I，⊙I就是所求的圓.例1作圓，使它和已知三角形的各邊都相切．（自己做圖）已知：△ABC（如圖）求作：和△ABC的各邊都相切的圓ABCMNID作法：1、作∠ABC、∠ACB的平分線BM和CN，交點為I.2、過點I作ID⊥BC，垂足為D.三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心②三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等①三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點③三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部三角形內(nèi)心的性質1、如圖1，△ABC是⊙O的

三角形?！袿是△ABC的

圓，點O叫△ABC的

，它是三角形

的交點。外接內(nèi)接外心三邊中垂線13、如圖2，△DEF是⊙I的

三角形，⊙I是△DEF的

圓，點I是△DEF的

心，它是三角形

的交點。2、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做

，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的

，這個三角形叫做。ABCO．圖1IDEF．圖2三角形的內(nèi)切圓內(nèi)心圓的外切三角形外切內(nèi)切內(nèi)角平分線三角形內(nèi)心的性質：1、三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；2、三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上；3、三角形的內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部

1、三角形的外心到三角形各個頂點的距離相等；

2、三角形的外心在三角形三邊的垂直平分線上；

3、三角形的外心有三種可能

三角形外心的性質：CAB．IDEF．O定義：和多邊形各邊都相切的圓叫做

，這個多邊形叫做

。

多邊形的內(nèi)切圓圓的外切多邊形內(nèi)切外切如上圖，四邊形DEFG是⊙O的

四邊形，⊙O是四邊形DEFG的

圓，DEFG.O思考:我們所學的平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四邊形一定有內(nèi)切圓？(菱形，正方形一定有內(nèi)切圓)填空:

1.三角形的內(nèi)切圓能作____個,圓的外切三角形有_____個,三角形的內(nèi)心在圓的_______.

2.如圖,O是△ABC的內(nèi)心,則

OA平分∠______,OB平分∠______,OC平分∠______,.1無數(shù)內(nèi)部COBA?

BAC

ABC

ACB

判斷題：1、三角形的內(nèi)心到三角形各個頂點的距離相等（）2、三角形的外心到三角形各邊的距離相等（）3、等邊三角形的內(nèi)心和外心重合；（）4、三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部（）5、菱形一定有內(nèi)切圓（）6、矩形一定有內(nèi)切圓（）錯錯對對

錯

對試探索：∠A與∠BOC之間存在怎樣的數(shù)量關系？請說明理由。理由：∵點O是△ABC的內(nèi)心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB∴∠OBC＋∠OCB=（∠ABC+∠ACB）

=（180°－∠A）=90°－∠A在△ABC中，∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）

=180°－（90°－∠A）=90°+∠A答：∠BOC=90°+∠AOA243BC1例題1：如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，點O是內(nèi)心，求∠BOC的度數(shù)。分析：

∠O=?

∠1+∠3=?

O為△ABC的內(nèi)心

BO是∠ABC的角平分線

CO是∠ACB的角平分線

OA243BC1三角形內(nèi)心性質的應用

例2如圖，在△ABC中，點O是內(nèi)心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度數(shù)ABCO（2）若∠A=80°，則∠BOC=

度。（3）若∠BOC=100°，則∠A=

度。13020abcrrr已知△ABC的三邊BC,AB,AC分別為a,b,cI為內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑為r求△ABC的面積ABCI證明：連結AI,BI,CIＳ△ABC

＝Ｓ△ABI+

Ｓ△BCI+Ｓ△ACI＝a·r2+b·r2+c·r2＝(a+b+c）·r2探討2：設△ABC

的內(nèi)切圓的半徑為r，△ABC

的各邊長之和為L，△ABC

的面積S,我們會有什么結論?COBA?DEF三角形面積（L為三角形周長，r為內(nèi)切圓半徑）rLS21=rOBA?

探討3：設△ABC是直角三角形，∠C=90°，它的內(nèi)切圓的半徑為r，△ABC

的各邊長分別為a、b、c，試探討r與a、b、c的關系.C┛cbaFEDr結論：（三）、特殊三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法：R=—c2r=——a+b-c2ABCOIabc直角三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法變式練習1

在RT△ABC中，∠C=90o，AC=3，BC=4，則RT△ABC的內(nèi)切圓的半徑為=_________.BA┛C1變式練習2

若直角三角形斜邊長為10cm，其內(nèi)切圓的半徑為2cm，則它的周長為()A．24cm B．22cmC．14cm D．12cmA2.

△ABC

的內(nèi)切圓⊙O

與AB

、BC

、AC分別相切于點D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，則AD=______,BE=_______,CF=______.1厘米4厘米5厘米例3、如圖，設△ABC的周長為c,內(nèi)切⊙o和各邊分別相切于D,E,F求證：AE+BC=CCBAEDFOr2、等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓的半徑和高的比為（）（A）1∶∶

（B）1∶2∶

（C）1∶∶2

（D）1∶2∶3

（2）如圖，如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,則BC=cm,AC=AB=（3）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長為8CM，則ΔPDE的周長為（）A16cmD8cmC12cmB14cmAPDCBEABDACFE274例:已知：點I是△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交外接圓于E。求證：EB=EI=EC

ABCIDE證明：連結BI∵I是△ABC的內(nèi)心∴∠3=∠4∵∠1=∠2，∠2=∠5∴∠1=∠5∴∠1+∠3=∠4+∠5∴∠BIE=∠IBE∴EB=EI

又∵EB=EC∴EB=EI=EC12345如圖，設△ABC的邊BC=a，CA=b,AB=c,s=(a+b+c),內(nèi)切圓I和各邊分別相切于D,E,F求證：AE=AF=s-aBF=BD=s-bCD=CE=s-cCBAEDFOr知識的應用

思考題：

如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在進入鎮(zhèn)區(qū)的道路交叉口的三角地處建造了一座鎮(zhèn)標雕塑，以樹立起文明古鎮(zhèn)的形象。已知雕塑中心M到道路三邊AC、BC、AB的距離相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。請你幫助計算一下，鎮(zhèn)標雕塑中心M離道路三邊的距離有多遠？ACB古鎮(zhèn)區(qū)鎮(zhèn)商業(yè)區(qū)鎮(zhèn)工業(yè)區(qū).MEDF解：∵雕塑中心M到道路三邊的距離相等∴點M是△ABC的內(nèi)心，連結AM、BM、CM，設⊙M的半徑為r米，⊙M分別切AC、BC、AB于點D、E、F，則MD⊥AC，ME⊥BC，MF⊥AB，則MD=ME=MF=r，∵在Rt△ABC中，AC=40，BC=30，∴AB=50∵△ABC的面積為AC·BC=×40×30=600，又∵△ABC的面積為（AC·MD+BC·ME+AB·MF）=20r+15r+25r=60r∴60r=600，r=10答：鎮(zhèn)標雕塑中心離道路三邊的距離為10米。ACB古鎮(zhèn)區(qū)鎮(zhèn)商業(yè)區(qū)鎮(zhèn)工業(yè)區(qū).MEDF

課堂小結：

1、本節(jié)課從實際問題入手，探索得出三角形內(nèi)切圓的作法.

2、通過類比三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形概念得出三角形的內(nèi)切圓、圓的外切三角形概念，并介紹了多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形的概念。

3、學習時要明確“接”和“切”的含義、弄清“內(nèi)心”與“外心”的區(qū)別，

4、利用三角形內(nèi)心的性質解題時，要注意整體思想的運用，在解決實際問題時，要注意把實際問題轉化為數(shù)學問題。

例3三條公路AB、AC、BC兩兩相交與A、B、C三點（如圖所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米?，F(xiàn)想在△ABC內(nèi)建一加油站M，使它到三條公路的距離相等，請你幫助計算一下，加油站M應建在離公路多遠的地方？ACB讀句畫圖：①以點O為圓心，1cm為半徑畫⊙O②作直線m與⊙O相切于點D，作直線n與⊙O相切于點E，直線m和直線n相交于點A③作直線l與圓O相切于點F，直線l分別與直線m、直線n相交于點A、BmDnAEO．lF

二、填空：如圖，△ABC的頂點在⊙O上，△ABC的各邊與⊙I都相切，則△ABC是⊙I的

三角形；△ABC是⊙O的

三角形；⊙I叫△ABC的

圓；⊙O叫△ABC的

圓，點I是△ABC的

心，點O是△ABC的

心

ABCI外切內(nèi)接內(nèi)切外接．．O內(nèi)外ABCOI三、特殊三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法：R=—c2r=————a+b-c2abc直角三角形外接圓、內(nèi)切圓半徑的求法若已知圓的三條切線呢？ABCDEF設△ABC的BC=a，