函數(shù)單調(diào)性深度學(xué)習(xí)進(jìn)階專題

函數(shù)單調(diào)性深度學(xué)習(xí)進(jìn)階專題一.知識(shí)點(diǎn)與方法歸納1.函數(shù)單調(diào)性概念一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D∈I:如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1<x如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的求解過(guò)程（1）化正：將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)（不等式性質(zhì)）34步.（3）求根：求出對(duì)應(yīng)方程的根（因式分解；求根公式）（4）寫解集：寫出不等式的解集3、單變量不等式恒成立問(wèn)題一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1）、，（2）、，（3）、，（4）、，4、雙變量不等式與等式一般地，已知函數(shù)，1、不等關(guān)系（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有成立，故．二、典例選講1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【分析】首先由函數(shù)解析式，求其定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【詳解】由，則，，解得，即函數(shù)的定義域，由題意，令，，則，易知在其定義域上單調(diào)遞減，要求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，需求在上二次函數(shù)的遞增區(qū)間，由，則在上二次函數(shù)的遞增區(qū)間為，故選：C.例2．已知函數(shù)，下列屬于函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的是（

）A．（1，2] B．[-10，-4) C．(-4，0) D．(0，4)【分析】由定義法可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋诤瘮?shù)定義域內(nèi)任取，則當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，同理當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)也是單調(diào)遞增的.當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，同理當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；綜上函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為，在某一個(gè)端點(diǎn)處的開(kāi)閉不影響函數(shù)單調(diào)性，故選項(xiàng)中只要為單調(diào)減區(qū)間的子集即可；故A正確.【跟蹤練習(xí)】1．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【詳解】，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：根據(jù)圖象知：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選：B.2．函數(shù)的遞增區(qū)間是(

)A． B． C． D．【詳解】由，得函數(shù)的定義域?yàn)椋睿瑢?duì)稱軸方程為，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)的遞增區(qū)間為，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的增區(qū)間為.故選：．2.函數(shù)單調(diào)求參數(shù)范圍例1．已知為增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【分析】根據(jù)分段函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)每一段都是增函數(shù)，且注意節(jié)點(diǎn)處的取值，列出不等式組，解之即可.【詳解】因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故，解得.故選：.例2．使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【分析】求出使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)的范圍，結(jié)合充分性、必要性的定義即可得出答案.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，得在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得.結(jié)合A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，知使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是.故選：C.【跟蹤練習(xí)】1．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【詳解】依題意在上恒成立且，又可看成的復(fù)合函數(shù)，單調(diào)遞減，欲使是減函數(shù)，只需遞增，.故選：B2．函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的任意，均有，則（

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)，則，而是定義在上的單調(diào)函數(shù)，故為常數(shù)，所以且，故，設(shè)，因均為上的增函數(shù)，所以為上的增函數(shù)，因?yàn)?，故的解為，所以，故，故選：B.3.判斷、證明函數(shù)單調(diào)性例1．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．(1)求、的值；(2)證明在上為減函數(shù)；(3)若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，可求得的值，再利用奇函數(shù)的定義可求得的值；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明結(jié)論成立；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的都成立，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上為奇函數(shù)，則，解得，由奇函數(shù)的定義可得，所以，，即，則，可得.（2）證明：由（1）得，任取、，且，則，則，，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).（3）解：根據(jù)（1）（2）知，函數(shù)是奇函數(shù)且在上為減函數(shù).不等式恒成立，即恒成立，也就是對(duì)任意的都成立，即對(duì)任意的都成立，則，解得，即的范圍是.10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)一切都有，當(dāng)時(shí)，.(1)判斷的單調(diào)性并加以證明；(2)若，解不等式.【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性定義即可證明在上為增函數(shù)；（2）由題意可得，進(jìn)而將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)為增函數(shù)即可列出關(guān)于x的不等式組，解之即可得到該不等式的解集.【詳解】（1）在上為增函數(shù)，證明如下：任取且，則，則.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，而，所以，所以，所以在上為增函數(shù).（2）由定義域可得，解得，由已知可得，所以，所求不等式可轉(zhuǎn)化為.由在上為增函數(shù)可得，解得，則不等式解集為.【跟蹤練習(xí)】1．已知函數(shù).(1)利用單調(diào)性定義證明：在上是增函數(shù)；(2)解不等式【詳解】（1）證明：任取，，因?yàn)?，所以，，故，所以，即在上是增函?shù)；（2）今，則，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，解得：，即，解得，故不等式得解集是.2．已知函數(shù)是定義在上的函